1、第第 2 课时课时 极值的应用极值的应用 学习目标 1.能根据极值点与极值的情况求参数范围.2.会利用极值解决方程的根与函数图 象的交点个数问题 1极大值与导数之间的关系 x x1左侧 x1 x1右侧 f(x) f(x)0 f(x)0 f(x)0 f(x) 增 极大值 f(x1) 减 2.极小值与导数之间的关系 x x2左侧 x2 x2右侧 f(x) f(x)0 x x2左侧 x2 x2右侧 f(x) 减 极小值 f(x2) 增 1函数 yf(x)一定有极大值和极小值( ) 2极值点处的导数一定为 0.( ) 3有极值的函数一定是非单调函数( ) 类型一 由极值的存在性求参数的范围 例 1 若
2、函数 f(x)1 3x 3x2ax1 有极值点，则实数 a 的取值范围为_ 答案 (，1) 解析 f(x)x22xa，由题意，得方程 x22xa0 有两个不同的实数根，所以 4 4a0，解得 a0， x1x220， x1x2a0， 解得 0a0)上存在极值，求实 数 a 的取值范围 考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题 解 f(x)1ln x x ，x0， 则 f(x)ln x x2 . 当 0x0，当 x1 时，f(x)0)上存在极值， a1， 解得1 2a0， g416m0， 解得16m68 27. 即实数 m 的取值范围为 16，68 27 . 反思与感悟 利用导数可以判断
3、函数的单调性， 研究函数的极值情况， 并能在此基础上画出 函数的大致图象， 从直观上判断函数图象与 x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而 为研究方程根的个数问题提供了方便 跟踪训练 2 已知 a 为实数，函数 f(x)x33xa. (1)求函数 f(x)的极值，并画出其图象(草图)； (2)当 a 为何值时，方程 f(x)0 恰好有两个实数根？ 解 (1)由 f(x)x33xa， 得 f(x)3x23， 令 f(x)0，得 x1 或 x1. 当 x(，1)时，f(x)0； 当 x(1，)时，f(x)0； 在区间(x1，x2)，(x3，b)内 f(x)0； 当 x(0,2)时，f(x)0
4、. 所以 f(x)的增区间是(，0)和(2，)，减区间是(0,2)，极大值是 f(0)0，极小值是 f(2) 4. 3已知函数 f(x)x3ax2bxa27a 在 x1 处取得极大值 10，则a b的值为_ 答案 2 3 解析 f(x)x3ax2bxa27a， f(x)3x22axb. 又f(x)x3ax2bxa27a 在 x1 处取得极大值 10， f(1)32ab0，f(1)1aba27a10， a28a120， a2，b1 或 a6，b9. 当 a2，b1 时，f(x)3x24x1(3x1)(x1) 当1 3x1 时，f(x)0，当 x1 时，f(x)0， f(x)在 x1 处取得极小值
5、，与题意不符 当 a6，b9 时，f(x)3x212x93(x1)(x3) 当 x1 时，f(x)0，当 1x3 时，f(x)0， f(x)在 x1 处取得极大值，符合题意， a b 6 9 2 3. 4若函数 f(x)x 2x在 x0处有极小值，则 x0_. 答案 1 ln 2 解析 f(x)2xx 2xln 2，令 f(x)0， 得 x 1 ln 2， 且 x ， 1 ln 2 时，f(x)0， 所以 x 1 ln 2是极小值点 5设函数 f(x)6x33(a2)x22ax.若 f(x)的两个极值点为 x1，x2，且 x1x21，则实数 a 的 值为_ 答案 9 解析 f(x)18x26(a2)x2a. 由已知 f(x1)f(x2)0， 从而 x1x22a 181，所以 a9. 1已知函数极值情况，逆向应用，确定函数的解析式，进而研究函数性质时，需注意 (1)常根据取极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解 (2)因为导数值等于零不是此点取极值的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根 的合理性 2运用极值研究曲线交点问题时要注意运用数形结合、等价转化等数学思想方法.