1、112 瞬时变化率瞬时变化率导数导数 学习目标 1.了解切线的含义.2.理解瞬时速度与瞬时加速度.3.掌握瞬时变化率导数的 概念，会根据定义求一些简单函数在某点处的导数 知识点一 曲线上某一点处的切线 如图，Pn的坐标为(xn，f(xn)(n1,2,3,4，)，点 P 的坐标为(x0，y0) 思考 1 当点 Pn点 P 时，试想割线 PPn如何变化？ 答案 当点 Pn趋近于点 P 时，割线 PPn趋近于确定的位置，即曲线上点 P 处的切线位置 思考 2 割线 PPn的斜率是什么？它与切线 PT 的斜率有何关系 答案 割线 PPn的斜率 knfxnfx0 xnx0 ；当 Pn无限趋近于 P 时，
2、kn无限趋近于点 P 处切线的 斜率 k. 梳理 (1)设 Q 为曲线 C 上的不同于 P 的一点，这时，直线 PQ 称为曲线的割线随着点 Q 沿曲线 C 向点 P 运动，割线 PQ 在点 P 附近越来越逼近曲线 C.当点 Q 无限逼近点 P 时，直 线 PQ 最终就成为在点 P 处最逼近曲线的直线 l，这条直线 l 称为曲线在点 P 处的切线 (2)若 P(x，f(x)，过点 P 的一条割线交曲线 C 于另一点 Q(xx，f(xx)，则割线 PQ 的斜 率为 kPQfxxfx x ，当 x0 时，fxxfx x 无限趋近于点 P(x，f(x)处的切线的斜 率 知识点二 瞬时速度与瞬时加速度瞬
3、时变化率 1平均速度 在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度 2瞬时速度 一般地，如果当 t 无限趋近于 0 时，运动物体位移 S(t)的平均变化率St0tSt0 t 无限趋 近于一个常数，那么这个常数称为物体在 tt0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变 化率 3瞬时加速度 一般地，如果当 t 无限趋近于 0 时，运动物体速度 v(t)的平均变化率vt0tvt0 t 无限趋 近于一个常数，那么这个常数称为物体在 tt0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时 变化率 知识点三 导数 1导数 设函数 yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若 x 无限趋近于 0
4、时，比值y x fx0 xfx0 x 无限趋近于一个常数 A，则称 f(x)在 xx0处可导，并称该常数 A 为函数 f(x) 在 xx0处的导数，记作 f(x0) 2导数的几何意义 导数 f(x0)的几何意义就是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率 3导函数 (1)若 f(x)对于区间(a， b)内任一点都可导， 则 f(x)在各点的导数也随着自变量 x 的变化而变化， 因而也是自变量 x 的函数，该函数称为 f(x)的导函数，记作 f(x)在不引起混淆时，导函数 f(x)也简称为 f(x)的导数 (2)f(x)在 xx0处的导数 f(x0)就是导函数 f(x)在 xx0
5、处的函数值 1曲线上给定一点 P，过点 P 可以作该曲线的无数条割线( ) 2有的曲线过它上面的某一点可作两条切线( ) 3函数 f(x)在区间(a，b)内可导就是 f(x)对于任意 x0(a，b)都有 f(x0)存在( ) 4 f(x0)表示函数 f(x)在 xx0处的导数， 是对一个点 x0而言的， 它是一个确定的值 ( ) 类型一 求曲线上某一点处的切线 例 1 已知曲线 yf(x)x1 x上的一点 A 2，5 2 ，用切线斜率定义求： (1)点 A 处的切线的斜率； (2)点 A 处的切线方程 解 (1)yf(2x)f(2) 2x 1 2x 21 2 x 22xx， y x x 2x2
6、x x x 1 22x1. 当 x 无限趋近于零时，y x无限趋近于 3 4， 即点 A 处的切线的斜率是3 4. (2)切线方程为 y5 2 3 4(x2)， 即 3x4y40. 反思与感悟 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线在某点处的切线方程，只需求出切 线的斜率，即在该点处，x 无限趋近于 0 时，y x无限趋近的常数 跟踪训练 1 (1)已知曲线 yf(x)2x24x 在点 P 处的切线的斜率为 16，则点 P 坐标为 _ 答案 (3,30) 解析 设点 P 坐标为(x0，y0)， 则fx0 xfx0 x0 xx0 2x 24x 0 x4x x 4x042x. 当 x 无限趋近于
7、0 时，4x042x 无限趋近于 4x04， 因此 4x0416，即 x03， 所以 y023243181230. 即点 P 坐标为(3,30) (2)已知曲线 y3x2x，求曲线上一点 A(1,2)处的切线的斜率及切线方程 解 设 A(1,2)，B(1x，3(1x)2(1x)， 则 kAB31x 21x3121 x 53x， 当 x 无限趋近于 0 时，53x 无限趋近于 5， 所以曲线 y3x2x 在点 A(1,2)处的切线斜率是 5. 切线方程为 y25(x1)，即 5xy30. 类型二 求瞬时速度 例 2 某物体的运动路程 s(单位：m)与时间 t(单位：s)的关系可用函数 s(t)t
8、2t1 表示， 求物体在 t1 s 时的瞬时速度 解 在 1 到 1t 的时间内，物体的平均速度 v s t s1ts1 t 1t 21t11211 t 3t， 当 t 无限趋近于 0 时， v 无限趋近于 3， 物体在 t1 处的瞬时变化率为 3. 即物体在 t1 s 时的瞬时速度为 3 m/s. 引申探究 1若本例中的条件不变，试求物体的初速度 解 求物体的初速度，即求物体在 t0 时的瞬时速度 s t s0ts0 t 0t 20t11 t 1t， 当 t0 时，1t1， 物体在 t0 时的瞬时变化率为 1， 即物体的初速度为 1 m/s. 2若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速
9、度为 9 m/s. 解 设物体在 t0时刻的速度为 9 m/s. 又s t st0tst0 t (2t01)t. 当 t0 时，s t2t01. 则 2t019，t04. 则物体在 4 s 时的瞬时速度为 9 m/s. 反思与感悟 (1)求瞬时速度的题目的常见错误是不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时 变化率 (2)求运动物体瞬时速度的三个步骤 求时间改变量 t 和位移改变量 ss(t0t)s(t0) 求平均速度 v s t. 求瞬时速度，当 t 无限趋近于 0 时，s t无限趋近于的常数 v 即为瞬时速度 跟踪训练 2 有一做直线运动的物体，其速度 v(单位：m/s)与时间 t(单位：s)的
10、关系是 v3t t2，求此物体在 t2 s 时的瞬时加速度 解 因为 v(2t)v(2)3(2t)(2t)2(3222)3t4t(t)2t(t)2， 所以v2tv2 t 1t， 所以当 t 趋于 0 时，1t 无限趋近于1. 所以该物体在 t2 s 时的瞬时加速度为1 m/s2. 类型三 求函数在某点处的导数 例 3 已知 f(x)x23. (1)求 f(x)在 x2 处的导数； (2)求 f(x)在 xa 处的导数 解 (1)因为y x f2xf2 x 2x 23223 x 4x， 当 x 无限趋近于 0 时，4x 无限趋近于 4， 所以 f(x)在 x2 处的导数等于 4. (2)因为y
11、x faxfa x ax 23a23 x 2ax， 当 x 无限趋近于 0 时，2ax 无限趋近于 2a， 所以 f(x)在 xa 处的导数等于 2a. 反思与感悟 求一个函数 yf(x)在 xx0处的导数的步骤 (1)求函数值的改变量 yf(x0 x)f(x0) (2)求平均变化率y x fx0 xfx0 x . (3)令 x 无限趋近于 0，求得导数 跟踪训练 3 (1)设 f(x)ax4，若 f(1)2，则 a_. 答案 2 解析 f1xf1 x a1x4a4 x a， f(1)a，即 a2. (2)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第 x h 原
12、油的温度(单位：)为 f(x)x27x15(0 x8)求函数 yf(x)在 x6 处的导数 f(6)， 并解释它的实际意义 解 当 x 从 6 变到 6x 时，函数值从 f(6)变到 f(6x)，函数值 y 关于 x 的平均变化率为 f6xf6 x 6x 276x15627615 x 5xx 2 x 5x. 当 x0 时，5x 趋近于 5， 所以 f(6)5，导数 f(6)5 表示当 x6 时原油温度大约以 5 /h 的速度上升 1设函数 f(x)可导，则当 x0 时，f13xf1 3x 趋近于_ 答案 f(1) 解析 当 x0 时，f13xf1 3x f(1) 2若函数 f(x)在点 A(1
13、,2)处的导数是1，那么过点 A 的切线方程是_ 答案 xy30 解析 kf(1)1， 切线方程是 y2(x1)，即 xy30. 3已知函数 yf(x)在点(2,1)处的切线与直线 3xy20 平行，则 f(2)_. 答案 3 解析 因为直线 3xy20 的斜率为 3， 所以由导数的几何意义可知 f(2)3. 4已知曲线 yf(x)2x2上一点 A(2,8)，则点 A 处的切线斜率为_ 答案 8 解析 因为y x f2xf2 x 22x 28 x 82x， 当 x0 时，82x 趋近于 8.即 k8. 5函数 yf(x)x1 x在 x1 处的导数是_ 答案 0 解析 函数 yf(x)x1 x，
14、 yf(1x)f(1)1x 1 1x11 x2 1x， y x x 1x，当 x0 时， y x0， 即 yf(x)x1 x在 x1 处的导数为 0. 1平均变化率和瞬时变化率的关系 平均变化率y x fx0 xfx0 x ，当 x 无限趋近于 0 时，它所趋近于的一个常数就是函数在 xx0处的瞬时变化率 即有：x 无限趋近于 0 是指自变量间隔 x 越来越小，能达到任意小的间隔，但始终不能为 0.即对于瞬时变化率，我们通过减小自变量的改变量以致无限趋近于零的方式，实现用割线 斜率“逼近”切线斜率， 用平均速度“逼近”瞬时速度 一般地， 可以用平均变化率“逼近” 瞬时变化率 2求切线的斜率、瞬时速度和瞬时加速度的解题步骤(1)计算 y.(2)求y x.(3)当 x0 时， y x 无限趋近于一个常数(4)常数即为所求值.