1、11 导数的概念导数的概念 111 平均变化率平均变化率 学习目标 1.了解平均变化率的实际背景.2.理解平均变化率的含义.3.会求函数在某一点附 近的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题 知识点 平均变化率 假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系A 是出发点，H 是山 顶爬山路线用函数 yf(x)表示 自变量 x 表示某旅游者的水平位置，函数值 yf(x)表示此时旅游者所在的高度设点 A 的 坐标为(x1，y1)，点 B 的坐标为(x2，y2) 思考 1 若旅游者从点 A 爬到点 B，自变量 x 和函数值 y 的改变量分别是多少？ 答案 自变量 x 的改变量为 x
2、2x1，函数值 y 的改变量为 y2y1. 思考 2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？ 答案 对山路 AB 来说，用y2y1 x2x1可近似地刻画其陡峭程度 梳理 (1)一般地，函数 f(x)在区间x1，x2上的平均变化率为fx2fx1 x2x1 . (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视 觉化” 特别提醒：在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点： 函数在区间x1，x2上有意义 在式子fx2fx1 x2x1 中，x2x10，而 f(x2)f(x1)的值可正、可负、可为 0. 实质：函数值的增量与自变量的增量之比 作用：刻画函数值在区间x1，x2上
3、变化的快慢 1对于函数 yf(x)，当 x 从 x1变为 x2时，x2x1一定大于 0.( ) 2对于函数 yf(x)，当 x 从 x1变为 x2时，函数值的变化量为 f(x2)f(x1)可以是正数，也可 以是负数或零( ) 3函数 yf(x)在区间x1，x2上的平均变化率为fx2fx1 x2x1 .( ) 类型一 函数在某区间上的平均变化率 例 1 (1)求函数 f(x)3x22 在区间2,2.1上的平均变化率； (2)求函数 g(x)3x2 在区间2，1上的平均变化率 解 (1)函数 f(x)3x22 在区间2,2.1上的平均变化率为 f2.1f2 2.12 32.1 223222 0.1
4、 12.3. (2)函数 g(x)3x2 在区间2，1上的平均变化率为 g1g2 12 312322 12 58 12 3. 反思与感悟 求函数平均变化率的步骤 (1)求自变量的改变量 x2x1. (2)求函数值的改变量 f(x2)f(x1) (3)求平均变化率fx2fx1 x2x1 . 跟踪训练 1 已知函数 f(x)x22x5，则 f(x)在区间1,0上的平均变化率为_ 答案 1 解析 f(1)(1)22(1)56，f(0)5， f0f1 01 56 1 1. 类型二 实际问题中的平均变化率 例 2 某森林公园在过去的 10 年里， 森林占地面积变化如图所示， 试分别计算前 5 年与后 5
5、 年森林面积的平均变化率 解 前 5 年森林面积的平均变化率为6.52.5 50 0.8(公顷/年) 后 5 年森林面积的平均变化率为14.56.5 105 1.6(公顷/年) 反思与感悟 平均变化率问题在生活中随处可见， 常见的有求某段时间内的平均速度、 加速 度、膨胀率、经济效益等分清自变量和因变量是解决此类问题的关键 跟踪训练 2 (1)圆的半径 r 从 0.1 变化到 0.3 时，圆的面积 S 的平均变化率为_ 答案 0.4 解析 Sr2，圆的半径 r 从 0.1 变化到 0.3 时， 圆的面积 S 的平均变化率为S0.3S0.1 0.30.1 0.3 20.12 0.2 0.4. (
6、2)在 F1赛车中，赛车位移(单位：m)与比赛时间 t(单位：s)存在函数关系 S10t5t2，则赛 车在20,20.1上的平均速度是多少？ 解 赛车在20,20.1上的平均速度为 S20.1S20 20.120 1020.1520.1 210205202 20.120 21.05 0.1 210.5(m/s) 类型三 函数平均变化率的应用 例 3 甲， 乙两人走过的路程 s1(t)， s2(t)与时间 t 的关系如图所示， 则在0， t0这个时间段内， 甲，乙两人的平均速度 v甲，v乙的关系是_(填序号) v甲v乙；v甲s2(0)， 则s1t0s10 t0 v2 v1 解析 v1st1st0
7、 t1t0 kOA， v2st2st1 t2t1 kAB， v3st3st2 t3t2 kBC， 由图象知，kOAkAB v2 v1. 1一物体的运动方程是 s32t，则在2,2.1这段时间内的平均速度是_ 答案 2 解析 s2.1s2 2.12 322.1322 0.1 2. 2已知函数 f(x)x23，当 x2，x0.1 时，y 的值是_ 答案 0.41 解析 yf(xx)f(x)f(20.1)f(2) 0.41. 3函数 f(x)2x4 在区间a，b上的平均变化率为_ 答案 2 解析 fbfa ba 2b42a4 ba 2ba ba 2. 4某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的
8、浓度 c(单位：mg/mL)来表示，它是 时间 t(单位：min)的函数，表示为 cc(t)，下表给出了 c(t)的一些函数值： t/min 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 c(t)/ (mg/mL) 0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63 服药后 3070 min 这段时间内，药物浓度的平均变化率为_ 答案 0.002 解析 c70c30 7030 0.900.98 40 0.002. 5.如图，函数 yf(x)在x1，x2，x2，x3，x3，x4这几个区间上，平均变化率最大的一个区 间是_ 答案 x3，x
9、4 解析 由平均变化率的定义可知，函数 yf(x)在区间x1，x2，x2，x3，x3，x4上平均变化 率分别为fx2fx1 x2x1 ，fx3fx2 x3x2 ，fx4fx3 x4x3 ，结合图象可以发现函数 yf(x)的平均变化率 最大的一个区间是x3，x4 1求函数在指定区间上的平均变化率应注意的问题 (1)平均变化率的公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的自变 量的差 (2)平均变化率公式中，分子、分母中被减数同为右端点，减数同为左端点 2一次函数的平均变化率 一次函数 yf(x)kxb(k0)在区间m，n上的平均变化率为fnfm nm knbkmb nm k.由上述计算可知， 一次函数 ykxb 在区间m， n上的平均变化率与 m， n 的取值无关， 只与一次项系数有关，且其平均变化率等于一次项的系数 3平均变化率的几何意义 (1)平均变化率fx2fx1 x2x1 表示点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量 化” (2)平均变化率的大小类似函数的单调性，可说明函数图象的陡峭程度