1、第二章第二章 概率概率 章末复习章末复习 学习目标 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解离散型随机变量及其分布列， 并掌握两个特殊的分布列二项分布和超几何分布.3.理解离散型随机变量的期望、方差的 概念，并能应用其解决一些简单的实际问题.4.了解正态分布曲线特点及曲线所表示的意义 1条件概率的性质 (1)非负性：0P(B|A)1. (2)可加性：如果 B 和 C 是两个互斥事件， 则 P(BC|A)P(B|A)P(C|A) 2相互独立事件的性质推广 一般地，如果事件 A1，A2，An相互独立，那么这 n 个事件同时发生的概率等于每个事件 发生的概率的积，即 P(A1A2An)P(
2、A1) P(A2) P(An) 3二项分布满足的条件 (1)每次试验中，事件发生的概率是相同的 (2)各次试验中的事件是相互独立的 (3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生 (4)随机变量是 n 次独立重复试验中某事件发生的次数 4超几何分布与二项分布的概率计算 (1)超几何分布：P(Xm)C m MC nm NM CnN (其中 m 为非负整数) (2)二项分布：P(Xk)Cknpk(1p)n k(k0,1,2，n) 5期望与方差及性质 (1)E(X)x1p1x2p2xnpn. (2)D(X)x1E(X)2p1x2E(X)2p2xnE(X)2pn. (3)若 ab(a，b 是常数
3、)， 是随机变量，则 也是随机变量，E()E(ab)aE() b. (4)D(ab)a2D() (5)D()E(2)E()2. 6正态总体在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(X)0.683. (2)P(2X2)0.954. (3)P(3X3)0.997. 类型一 条件概率的求法 例 1 从混有 5 张假钞的 20 张百元钞票中任意抽取两张， 将其中一张放到验钞机上检验发现 是假钞，求两张都是假钞的概率 解 若 A 表示“抽到的两张都是假钞”，B 表示“抽到的两张中至少有一张是假钞”，则所 求概率为 P(A|B) P(AB)P(A) C25 C220，P(B) C25C15C115 C220
4、， P(A|B)PAB PB C25 C25C15C115 10 85 2 17. 反思与感悟 条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清要求 的条件概率是在什么条件下发生的概率一般地，计算条件概率常有两种方法 (1)P(B|A)PAB PA . (2)P(B|A)nAB nA . 在古典概型中， n(AB)指事件 A 与事件 B 同时发生的基本事件个数； n(A)是指事件 A 发生的基 本事件个数 跟踪训练 1 已知男人中有 5%患色盲，女人中有 0.25%患色盲，从 100 个男人和 100 个女人 中任选一人 (1)求此人患色盲的概率； (2)如果此人是色盲，求此人
5、是男人的概率(以上各问结果写成最简分式形式) 考点 条件概率的性质及应用 题点 条件概率的性质的简单应用 解 设“任选一人是男人”为事件 A，“任选一人是女人”为事件 B，“任选一人是色盲” 为事件 C. (1)此人患色盲的概率 P(C)P(AC)P(BC) P(A)P(C|A)P(B) P(C|B) 100 200 5 100 100 200 0.25 100 21 800. (2)由(1)得 P(AC) 5 200，又因为 P(C) 21 800， 所以 P(A|C)PAC PC 5 200 21 800 20 21. 类型二 互斥、对立、独立事件的概率 例 2 乒乓球台面被球网分隔成甲、
6、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域 A，B，乙被 划分为两个不相交的区域 C， D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球 规定： 回球一次，落点在 C 上记 3 分，在 D 上记 1 分，其他情况记 0 分对落点在 A 上的来球，队 员小明回球的落点在 C 上的概率为1 2，在 D 上的概率为 1 3；对落点在 B 上的来球，小明回球的 落点在 C 上的概率为1 5，在 D 上的概率为 3 5.假设共有两次来球且落在 A，B 上各一次，小明的 两次回球互不影响求： (1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和 的分布列与数学期望 解
7、(1)记 Ai为事件“小明对落点在 A 上的来球回球的得分为 i 分”(i0,1,3)， 则 P(A3)1 2，P(A1) 1 3，P(A0)1 1 2 1 3 1 6. 记 Bj为事件“小明对落点在 B 上的来球回球的得分为 j 分”(j0,1,3)， 则 P(B3)1 5，P(B1) 3 5，P(B0)1 1 5 3 5 1 5. 记 D 为事件“小明两次回球的落点中恰有 1 次的落点在乙上” 由题意，得 DA3B0A1B0A0B1A0B3， 由事件的独立性和互斥性，得 P(D)P(A3B0A1B0A0B1A0B3) P(A3B0)P(A1B0)P(A0B1)P(A0B3) P(A3)P(
8、B0)P(A1)P(B0)P(A0)P(B1)P(A0)P(B3) 1 2 1 5 1 3 1 5 1 6 3 5 1 6 1 5 3 10， 所以小明两次回球的落点中恰有 1 次的落点在乙上的概率为 3 10. (2)由题意，得随机变量 可能的取值为 0,1,2,3,4,6， 由事件的独立性和互斥性，得 P(0)P(A0B0)1 6 1 5 1 30， P(1)P(A1B0A0B1)P(A1B0)P(A0B1) 1 3 1 5 1 6 3 5 1 6， P(2)P(A1B1)1 3 3 5 1 5， P(3)P(A3B0A0B3)P(A3B0)P(A0B3) 1 2 1 5 1 6 1 5
9、2 15， P(4)P(A3B1A1B3)P(A3B1)P(A1B3) 1 2 3 5 1 3 1 5 11 30， P(6)P(A3B3)1 2 1 5 1 10. 可得随机变量 的分布列为 0 1 2 3 4 6 P 1 30 1 6 1 5 2 15 11 30 1 10 所以数学期望 E()0 1 301 1 62 1 53 2 154 11 306 1 10 91 30. 反思与感悟 在本类题求解中，主要运用对立事件、独立事件的概率公式 (1)P(A)1P( A ) (2)若事件 A，B 相互独立，则 P(AB)P(A)P(B) (3)若事件 A，B 是互斥事件，则 P(AB)P(A
10、)P(B) 跟踪训练 2 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为2 3和 3 5.现安排 甲组研发新产品 A，乙组研发新产品 B.设甲、乙两组的研发相互独立 (1)求至少有一种新产品研发成功的概率； (2)若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品 B 研发成功，预计企业可获 利润 100 万元求该企业可获利润的分布列和数学期望 考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题 题点 互斥、对立、独立事件的概率问题 解 记 E甲组研发新产品成功，F乙组研发新产品成功由题设知 P(E)2 3，P( E ) 1 3，P(F) 3 5，P( F ) 2 5，且事件
11、E 与 F，E 与 F ， E 与 F， E 与 F 都相互独立 (1)记 H至少有一种新产品研发成功，则 H E F ， 于是 P( H )P( E )P( F )1 3 2 5 2 15， 故所求的概率为 P(H)1P( H )1 2 15 13 15. (2)设企业可获利润为 X 万元，则 X 的可能取值为 0,100,120,220. 因为 P(X0)P( E F )1 3 2 5 2 15， P(X100)P( E F)1 3 3 5 1 5， P(X120)P(E F )2 3 2 5 4 15， P(X220)P(E F)2 3 3 5 2 5， 故所求的分布列为 X 0 100
12、 120 220 P 2 15 1 5 4 15 2 5 E(X)0 2 15100 1 5120 4 15220 2 5140. 类型三 离散型随机变量的分布列、数学期望和方差 例 3 一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有 1,2,2,3,3,3 六个 数字) (1)设随机变量 表示一次掷得的点数和，求 的分布列； (2)若连续投掷 10 次，设随机变量 表示一次掷得的点数和大于 5 的次数，求 E()，D() 考点 数学期望与方差的应用 题点 数学期望与方差的综合应用 解 (1)由已知，得随机变量 的取值为 2,3,4,5,6. 设掷一个正方体骰子所得点数为 0，
13、 P(01)1 6，P(02) 1 3，P(03) 1 2， 所以 P(2)1 6 1 6 1 36， P(3)21 6 1 3 1 9， P(4)21 6 1 2 1 3 1 3 5 18， P(5)21 3 1 2 1 3， P(6)1 2 1 2 1 4. 故 的分布列为 2 3 4 5 6 P 1 36 1 9 5 18 1 3 1 4 (2)由已知，得满足条件的一次投掷的点数和取值为 6， 设某次发生的概率为 p，由(1)知，p1 4. 因为随机变量 B 10，1 4 ， 所以 E()np101 4 5 2， D()np(1p)101 4 3 4 15 8 . 反思与感悟 求离散型随
14、机变量的数学期望与方差的步骤 跟踪训练 3 设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 T，T 只与道路畅通状况有关，对其 容量为 100 的样本进行统计，结果如下： T(分钟) 25 30 35 40 频数(次) 20 30 40 10 (1)求 T 的分布列与数学期望 E(T)； (2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个 50 分钟的讲座，结束后立即返回老校区， 求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率 解 (1)由统计结果可得 T 的频率分布为 T(分钟) 25 30 35 40 频率 0.2 0.3 0.4 0.1 以频率估计概率得 T 的分布列为 T 25
15、 30 35 40 P 0.2 0.3 0.4 0.1 从而 E(T)250.2300.3350.4400.132(分钟) (2)设 T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与 T 的分布列相同， 设事件 A 表示“刘教授共用时间不超过 120 分钟”，由于讲座时间为 50 分钟，所以事件 A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过 70 分钟” 方法一 P(A)P(T1T270)P(T125，T245)P(T130，T240)P(T135，T235) P(T140，T230) 0.210.310.40.90.10.50.91. 方法二 P( A )P(T1T270)P(T1
16、35，T240)P(T140，T235)P(T140，T2 40) 0.40.10.10.40.10.10.09， 故 P(A)1P( A )0.91. 类型四 正态分布及应用 例 4 从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结 果得如下频率分布直方图 (1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2(同一组中的数据用该组区间的 中点值作代表)； (2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N(，2)，其中 近似为样本 平均数 x ，2近似为样本方差 s2. 利用该正态分布，求 P(187.8Z212.2)； 某用
17、户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间 (187.8,212.2)的产品件数，利用的结果，求 E(X) 附： 15012.2. 若 ZN(，2)，则 P(Z)0.683，P(2Z2)0.954. 解 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2分别为 x 1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02 200， s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.08 3020.02150. (2)由(1)知，ZN(200,150)，从而
18、 P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.683. 由知， 一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.683， 依题意知XB(100， 0.683)，所以 E(X)1000.68368.3. 反思与感悟 (1)注意“3”原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率 (2)注意数形结合由于正态曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用 对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题 跟踪训练 4 某市去年高考考生成绩 X 服从正态分布 N(500,502)，现有 25 000 名考生，试确 定考生成绩在 550 分600 分的人数
19、 考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用 解 考生成绩 XN(500,502)，500，50， P(550X600) 1 2P(500250X500250)P(50050X50050) 1 2(0.9540.683)0.135 5. 故考生成绩在 550 分600 分的人数约为 25 0000.135 53 388. 类型五 概率的实际应用 例 5 某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题 回答正确各得 10 分，回答不正确得 0 分，第三个问题回答正确得 20 分，回答不正确得10 分 如果一个挑战者回答前两个问题正确的概率都是 0.8， 回答第三个
20、问题正确的概率为 0.6， 且各题回答正确与否相互之间没有影响 (1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分 的分布列和数学期望； (2)求这位挑战者总得分不为负分(即 0)的概率 考点 分类讨论思想 题点 分类讨论思想 解 (1)三个问题均答错，得 00(10)10(分) 三个问题均答对，得 10102040(分) 三个问题一对两错，包括两种情况： 前两个问题一对一错，第三个问题错， 得 100(10)0(分)； 前两个问题错，第三个问题对，得 002020(分) 三个问题两对一错，也包括两种情况： 前两个问题对，第三个问题错， 得 1010(10)10(分)； 第三个问题对，前两个问题一对一错
21、，得 2010030(分) 故 的可能取值为10,0,10,20,30,40. P(10)0.20.20.40.016， P(0)C120.20.80.40.128， P(10)0.80.80.40.256， P(20)0.20.20.60.024， P(30)C120.80.20.60.192， P(40)0.80.80.60.384. 所以 的分布列为 10 0 10 20 30 40 P 0.016 0.128 0.256 0.024 0.192 0.384 所以 E()100.01600.128100.256200.024300.192400.38424. (2)这位挑战者总得分不为负
22、分的概率为 P(0)1P(0)10.0160.984. 反思与感悟 解需要分类讨论的问题的实质是：整体问题转化为部分问题来解决转化成部 分问题后增加了题设条件，易于解题，这也是解决需要分类讨论问题的总的指导思想 跟踪训练 5 某地有 A，B，C，D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感，其中只有 A 到过疫区， B 肯定是受 A 感染，对于 C，因为难以断定他是受 A 还是受 B 感染的，于是假定他受 A 和受 B 感染的概率都是1 2.同样也假定 D 受 A，B 和 C 感染的概率都是 1 3.在这种假定之下，B，C，D 中直接受 A 感染的人数 X 就是一个随机变量写出 X 的分布列(不要求
23、写出计算过程) 考点 分类讨论思想 题点 分类讨论思想 解 (1)A 直接感染一个人有 2 种情况，分别是 ABCD 和 AB C， D， 概率是1 2 1 3 1 2 1 3 1 3. (2)A 直接感染二个人有 3 种情况，分别是 A BC， D， A BD， C， A B， CD， 概率是1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2. (3)A 直接感染三个人只有一种情况概率是1 2 1 3 1 6. 随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 P 1 3 1 2 1 6 16 位同学参加百米短跑比赛，赛场有 6 条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在 第二跑道的概率为(
24、) A.2 5 B. 1 5 C. 2 9 D. 3 7 答案 B 解析 记“甲同学排在第一跑道”为事件 A，“乙同学排在第二跑道”为事件 B，则 n(A) A55120，n(AB)A4424，所以 P(B|A) 24 120 1 5. 2国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是1 3， 1 4， 1 5.假定三人的行动相互之间 没有影响，那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的概率为( ) A.59 60 B. 3 5 C. 1 2 D. 1 60 考点 相互独立事件的性质及应用 题点 独立事件与互斥事件的综合应用 答案 B 解析 设“国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游”分别为事件
25、 A，B，C，则 A，B，C 相互独立且P(A)1 3， P(B) 1 4， P(C) 1 5， 至少有 1 人去北京旅游的概率为 1P( A B C ) 1P( A ) P( B ) P( C )1 11 3 11 4 11 5 12 5 3 5，故选 B. 3某班有 50 名学生，一次考试后的数学成绩 N(110,102)，若 P(100110)0.34，则 估计该班学生的数学成绩在 120 分以上(含 120 分)的人数为( ) A10 B9 C8 D7 考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用 答案 C 解析 数学成绩 服从正态分布 N(110,102)， 且 P(100110)
26、0.34， P(120)P(100)1 2(10.342)0.16， 该班数学成绩在 120 分以上的人数为 0.16508. 4设 X 为随机变量，XB n，1 3 ，若 X 的方差为 D(X)4 3，则 P(X2)等于( ) A.13 16 B. 13 243 C. 6 243 D. 80 243 考点 三种常用分布的方差 题点 二项分布的方差 答案 D 解析 由 D(X)1 3 2 3n 4 3，得 n6. P(X2)C26 1 3 2 2 3 480 243，故选 D. 5某公司安装了 3 台报警器，它们彼此独立工作，且发生险情时每台报警器报警的概率均为 0.9.求发生险情时，下列事件
27、的概率： (1)3 台都未报警； (2)恰有 1 台报警； (3)恰有 2 台报警； (4)3 台都报警； (5)至少有 2 台报警； (6)至少有 1 台报警 解 令 X 为在发生险情时 3 台报警器中报警的台数，那么 XB(3,0.9)，则它的分布列为 P(X k)Ck30.9k (10.9)3 k(k0,1,2,3) (1)3 台都未报警的概率为 P(X0)C030.900.130.001. (2)恰有 1 台报警的概率为 P(X1)C130.910.120.027. (3)恰有 2 台报警的概率为 P(X2)C230.920.10.243. (4)3 台都报警的概率为 P(X3)C33
28、0.930.100.729. (5)至少有 2 台报警的概率为 P(X2)P(X2)P(X3)0.2430.7290.972. (6)至少有 1 台报警的概率为 P(X1)1P(X0)10.0010.999. 1条件概率的两个求解策略 (1)定义法：计算 P(A)，P(B)，P(AB)，利用 P(A|B)PAB PB 或PB|APAB PA 求解 (2)缩小样本空间法：利用 P(B|A)nAB nA 求解 其中(2)常用于古典概型的概率计算问题 2求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题 (1)“P(AB)P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件， 也是解答相互独立事件概率问 题的唯一工具 (2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系 (3)公式“P(AB)1P( A )P( B )”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率 3求解实际问题的数学期望与方差的解题思路：先要将实际问题数学化，然后求出随机变量 的分布列，同时要注意运用二点分布、二项分布等特殊分布的数学期望、方差公式以及数学 期望与方差的线性性质