1、 2.2 条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性 2.2.1 条件概率条件概率 学习目标 1.理解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.利用条件概率公式解决一 些简单的实际问题 知识点一 条件概率 100 件产品中有 93 件产品的长度合格，90 件产品的质量合格，85 件产品的长度、质量都合 格 令 A产品的长度合格，B产品的质量合格，AB产品的长度、质量都合格 思考 1 试求 P(A)，P(B)，P(AB) 答案 P(A) 93 100，P(B) 90 100，P(AB) 85 100. 思考 2 任取一件产品， 已知其质量合格(即 B 发生)， 求它的长度(即 A 发生)
2、也合格(记为 A|B) 的概率 答案 事件 A|B 发生，相当于从 90 件质量合格的产品中任取 1 件长度合格，其概率为 P(A|B) 85 90. 思考 3 P(B)，P(AB)，P(A|B)间有怎样的关系？ 答案 P(A|B)PAB PB . 梳理 (1)条件概率 条件 设 A，B 为两个事件，且 P(A)0 含义 在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率 记作 P(B|A) 计算公式 P(B|A)PAB PA (2)事件 A 与 B 的交(或积) 含义：事件 A 和 B 同时发生所构成的事件； 记法：AB 或 AB. 知识点二 条件概率的性质 1任何事件的条件概率都在 0 和
3、 1 之间，即 0P(B|A)1. 2如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(BC|A)P(B|A)P(C|A) 1若事件 A，B 互斥，则 P(B|A)1.( ) 2事件 A 发生的条件下，事件 B 发生，相当于 A，B 同时发生( ) 类型一 条件概率公式的直接应用 例 1 一个袋中有 2 个黑球和 3 个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑 球”为 A，事件“第二次抽到黑球”为 B. (1)分别求事件 A，B，AB 发生的概率； (2)求 P(B|A) 解 由古典概型的概率公式可知， (1)P(A)2 5，P(B) 2132 54 8 20 2 5， P(AB)21 54
4、 1 10. (2)P(B|A)PAB PA 1 10 2 5 1 4. 反思与感悟 用定义法求条件概率 P(B|A)的步骤 (1)分析题意，弄清概率模型 (2)计算 P(A)，P(AB) (3)代入公式求 P(B|A)PAB PA . 跟踪训练 1 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两 天为优良的概率是 0.6， 已知某天的空气质量为优良， 则随后一天的空气质量为优良的概率是 ( ) A0.8 B0.75 C0.6 D0.45 答案 A 解析 已知连续两天为优良的概率是 0.6， 那么在前一天空气质量为优良的前提下， 要求随后 一天的空气质量为优良的概率
5、，可根据条件概率公式，得 P 0.6 0.750.8. 类型二 缩小基本事件范围求条件概率 例 2 集合 A1,2,3,4,5,6，甲、乙两人各从 A 中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取， 在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 缩小基本事件范围求条件概率 解 将甲抽到数字 a，乙抽到数字 b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)， (1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共 15 个在 这 15 个
6、情形中， 乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)， (1,3)， (1,4)， (1,5)， (1,6)， (3,4)， (3,5)， (3,6)，(5,6)，共 9 个，所以所求概率 P 9 15 3 5. 引申探究 1在本例条件下，求乙抽到偶数的概率 解 在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)， (5,4)，(5,6)，共 9 个，所以所求概率 P 9 15 3 5. 2若甲先取(放回)，乙后取，若事件 A：“甲抽到的数大于 4”；事件 B：“甲、乙抽到的 两数之和等于 7”，求 P(B|A) 解 甲抽到的数大
7、于 4 的情形有(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)， (6,4)，(6,5)，(6,6)，共 12 个，其中甲、乙抽到的两数之和等于 7 的情形有(5,2)，(6,1)，共 2 个所以 P(B|A) 2 12 1 6. 反思与感悟 将原来的基本事件全体缩小为已知的条件事件A， 原来的事件B缩小为AB. 而 A 中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间 上利用古典概型公式计算条件概率，即 P(B|A)nAB nA ，这里 n(A)和 n(AB)的计数是基于 缩小的基本事件范围的 跟踪训练
8、2 现有 6 个节目准备参加比赛，其中 4 个舞蹈节目，2 个语言类节目，如果不放回 地依次抽取 2 个节目，求：在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下，第 2 次抽到舞蹈节目的概率 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 缩小基本事件范围求条件概率 解 设第 1 次抽到舞蹈节目为事件 A，第 2 次抽到舞蹈节目为事件 B，则第 1 次和第 2 次都 抽到舞蹈节目为事件 AB.根据分步乘法计数原理得 n(A)A14A1520， n(AB)A2412. 所以 P(B|A)nAB nA 12 20 3 5. 类型三 条件概率的应用 例 3 在某次考试中，要从 20 道题中随机地抽出 6 道题，若考生至少能
9、答对其中的 4 道题即 可通过；若至少能答对其中的 5 道就获得优秀，已知某考生能答对 20 道题中的 10 道题，并 且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率 解 设事件 A 为“该考生 6 道题全答对”，事件 B 为“该考生答对了其中的 5 道题，另一道 题答错”，事件 C 为“该考生答对了其中的 4 道题，而另 2 道题答错”，事件 D 为“该考生 在这次考试中通过”，事件 E 为“该考生在考试中获得优秀”，则 A，B，C 两两互斥，且 D ABC，EAB，由古典概型计算概率的公式及概率的加法公式可知， P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)C 6 10 C620 C510
10、C110 C620 C 4 10C 2 10 C620 12 180 C620 ， P(AD)P(A)，P(BD)P(B)， P(E|D)P(AB|D)P(A|D)P(B|D) PA PD PB PD C610 C620 12 180 C620 C510C110 C620 12 180 C620 13 58. 故所求的概率为13 58. 反思与感悟 (1)分析条件，选择公式：首先看事件 B，C 是否互斥，若互斥，则选择公式 P(BC|A)P(B|A)P(C|A) (2)分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互 不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的
11、概率，再利用加法公式即得所求的复杂事 件的概率 跟踪训练 3 1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球，2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球，现随机从 1 号箱中取出一球放入 2 号箱，然后从 2 号箱中随机取出一球，则从 2 号箱中取出红球的概率 是( ) A.11 27 B. 11 24 C. 16 27 D. 3 8 答案 A 解析 记事件 A 为“从 2 号箱中取出的是红球”，事件 B 为“从 1 号箱中取出的是红球”， 则根据古典概型的概率计算公式和对立事件的概率和为 1 可知，P(B) 4 24 2 3，P( B )1 2 3 1 3. 根据条件概率公式可知， P(A|B)31 8
12、1 4 9，P(A| B ) 3 81 3 9 1 3， 从而 P(A)P(AB)P(A B ) P(A|B)P(B)P(A| B )P( B ) 4 9 2 3 1 3 1 3 11 27. 1已知 P(AB) 3 10，P(A) 3 5，则 P(B|A)等于( ) A. 9 50 B. 1 2 C. 9 10 D. 1 4 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率 答案 B 解析 P(B|A)PAB PA 3 10 3 5 1 2. 2市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 70%，乙厂产品占 30%，甲厂产品的合格率是 95%， 乙厂产品的合格率是 80%，则从市场上买到的一
13、个甲厂的合格灯泡的概率是( ) A0.665 B0.564 C0.245 D0.285 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 条件概率变形公式的应用 答案 A 解析 记事件A为“甲厂产品”， 事件B为“甲厂的合格产品”， 则P(A)0.7， P(B|A)0.95， P(AB)P(A) P(B|A)0.70.950.665. 3从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 B“取 到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)等于( ) A.1 8 B. 1 4 C. 2 5 D. 1 2 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 利用缩小基本事件空间求条
14、件概率 答案 B 解析 P(A)C 2 3C 2 2 C25 2 5，P(AB) C22 C25 1 10， P(B|A)PAB PA 1 4. 4假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有两个小孩，已知有一个是女孩，则另一个小孩 是男孩的概率是_ 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 缩小基本事件范围求条件概率 答案 2 3 解析 一个家庭的两个小孩只有 4 种可能：男，男，男，女，女，男，女，女，由 题意可知这 4 个基本事件的发生是等可能的，所求概率 P2 3. 5抛掷红、蓝两颗骰子，记事件 A 为“蓝色骰子的点数为 4 或 6”，事件 B 为“两颗骰子的 点数之和大于 8”，求： (1)事
15、件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率； (2)事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率 解 抛掷红、蓝两颗骰子，事件总数为 6636，事件 A 的基本事件数为 6212，所以 P(A)12 36 1 3. 由于 366345548,4664558,56658,668. 所以事件 B 的基本事件数为 432110， 所以 P(B)10 36 5 18. 事件 AB 的基本事件数为 6. 故 P(AB) 6 36 1 6. 由条件概率公式，得 (1)P(B|A)PAB PA 1 6 1 3 1 2. (2)P(A|B)PAB PB 1 6 5 18 3 5. 1利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率 P(AB)和 P(A) (2)将它们相除得到条件概率 P(B|A)PAB PA ， 这个公式适用于一般情形， 其中AB表示 A， B 同时发生 2利用缩小基本事件范围计算条件概率的方法 将原来的基本事件全体 缩小为已知的条件事件 A，原来的事件 B 缩小为 AB.而 A 中仅包 含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典 概型公式计算条件概率，即 P(B|A)nAB nA ，这里 n(A)和 n(AB)的计数是基于缩小的基本 事件范围的.