1、2.2.2 事件的独立性事件的独立性 学习目标 1.在具体情境中， 了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生 的概率公式解决一些简单的实际问题 知识点 相互独立事件的概念与性质 甲箱里装有 3 个白球、2 个黑球，乙箱里装有 2 个白球，2 个黑球从这两个箱子里分别摸出 1 个球，记事件 A“从甲箱里摸出白球”，B“从乙箱里摸出白球” 思考 1 事件 A 发生会影响事件 B 发生的概率吗？ 答案 不影响 思考 2 P(A)，P(B)，P(AB)的值为多少？ 答案 P(A)3 5，P(B) 1 2， P(AB)32 54 3 10. 思考 3 P(AB)与 P(A)，P(B)有
2、什么关系？ 答案 P(AB)P(A) P(B) 梳理 相互独立事件的概念与性质 (1)定义：事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响，即 P(B|A)P(B)这时，称两个事 件 A，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件 (2)性质：当事件 A，B 相互独立时，A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也相互独立 (3)n 个事件相互独立：对于 n 个事件 A1，A2，An，如果其中任一个事件发生的概率不受 其他事件是否发生的影响，则称 n 个事件 A1，A2，An相互独立 (4)独立事件的概率公式 若事件 A，B 相互独立，则 P(AB)P(A)P(B)； 若事件 A1，A2，
3、An相互独立，则 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An) 1不可能事件与任何一个事件相互独立( ) 2必然事件与任何一个事件相互独立( ) 3如果事件 A 与事件 B 相互独立，则 P(B|A)P(B)( ) 4“P(AB)P(A) P(B)”是“事件 A，B 相互独立”的充要条件( ) 类型一 相互独立事件的判断 例 1 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令 A一个家庭中既有 男孩又有女孩， B一个家庭中最多有一个女孩 对下列两种情形， 讨论 A 与 B 的独立性： (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩 考点 相互独立事件的定义 题点 相互独立事件的
4、判断 解 (1)有两个小孩的家庭， 男孩、 女孩的可能情形为 (男， 男)， (男， 女)， (女， 男)， (女， 女)， 它有 4 个基本事件，由等可能性知概率都为1 4. 这时 A(男，女)，(女，男)， B(男，男)，(男，女)，(女，男)， AB(男，女)，(女，男)， 于是 P(A)1 2，P(B) 3 4，P(AB) 1 2. 由此可知 P(AB)P(A)P(B)， 所以事件 A，B 不相互独立 (2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为 (男，男，男)，(男，男， 女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女， 女
5、) 由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为1 8， 这时 A 中含有 6 个基本事件， B 中含有 4 个基本 事件，AB 中含有 3 个基本事件 于是 P(A)6 8 3 4，P(B) 4 8 1 2，P(AB) 3 8， 显然有 P(AB)3 8P(A)P(B)成立 从而事件 A 与 B 是相互独立的 反思与感悟 三种方法判断两事件是否具有独立性 (1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响 (2)公式法：检验 P(AB)P(A)P(B)是否成立 (3)条件概率法：当 P(A)0 时，可用 P(B|A)P(B)判断 跟踪训练 1 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 A 是“第一枚为正面
6、”，事件 B 是“第 二枚为正面”，事件 C 是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有_(填 序号) A，B；A，C；B，C. 考点 相互独立事件的定义 题点 相互独立事件的判断 答案 解析 根据事件相互独立性的定义判断，只要 P(AB)P(A)P(B)，P(AC)P(A)P(C)， P(BC)P(B)P(C)成立即可 利用古典概型概率公式计算， 可得 P(A)0.5， P(B)0.5， P(C)0.5， P(AB)0.25， P(AC) 0.25，P(BC)0.25. 可以验证 P(AB)P(A)P(B)，P(AC)P(A)P(C)，P(BC)P(B)P(C) 所以根据事件相互独立的
7、定义，事件 A 与 B 相互独立，事件 B 与 C 相互独立，事件 A 与 C 相互独立 类型二 求相互独立事件的概率 例 2 小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概 率分别为 0.8,0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响求： (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率； (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率 考点 相互独立事件同时发生的概率计算 题点 求多个独立事件同时发生的概率 解 用 A，B，C 分别表示这三列火车正点到达的事件， 则 P(A)0.8，P(B)0.7，P(C)0.9， 所以 P( A )0.2，P( B )0.3，P
8、( C )0.1. (1)由题意得 A，B，C 之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为 P1P( A BC)P(A B C)P(AB C ) P( A )P(B)P(C)P(A)P( B )P(C)P(A)P(B)P( C ) 0.20.70.90.80.30.90.80.70.1 0.398. (2)三列火车至少有一列正点到达的概率为 P21P( A B C )1P( A )P( B )P( C ) 10.20.30.10.994. 引申探究 1在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率 解 恰有一列火车正点到达的概率为 P3P(A B C )P( A B C )P( A B C)
9、 P(A)P( B )P( C )P( A )P(B)P( C )P( A )P( B )P(C) 0.80.30.10.20.70.10.20.30.9 0.092. 2若一列火车正点到达计 10 分，用 表示三列火车的总得分，求 P(20) 解 事件“20”表示“至多两列火车正点到达”， 其对立事件为“三列火车都正点到达”， 所以 P(20)1P(ABC)1P(A)P(B)P(C) 10.80.70.90.496. 反思与感悟 明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发 生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义 一般地，已知两个事件 A，B，它们的概率分别为
10、P(A)，P(B)，那么： (1)A，B 中至少有一个发生为事件 AB. (2)A，B 都发生为事件 AB. (3)A，B 都不发生为事件 A B . (4)A，B 恰有一个发生为事件 A B A B. (5)A，B 中至多有一个发生为事件 A B A B A B . 跟踪训练 2 甲、乙 2 人独立地破译一个密码，他们能破译出密码的概率分别为1 3和 1 4，求： (1)2 个人都破译出密码的概率； (2)2 个人都破译不出密码的概率； (3)恰有 1 个人破译出密码的概率； (4)至多有 1 个人破译出密码的概率； (5)至少有 1 个人破译出密码的概率 解 记“甲独立地破译出密码”为事件
11、 A，“乙独立地破译出密码”为事件 B，A，B 为相互 独立事件，且 P(A)1 3，P(B) 1 4. (1)2 个人都破译出密码的概率为 P(AB)P(A)P(B)1 3 1 4 1 12. (2)2 个人都破译不出密码的概率为 P( A B )P( A )P( B )1P(A)1P(B) 11 3 11 4 1 2. (3)恰有 1 个人破译出密码分为两类：甲破译出乙未破译出以及甲未破译出乙破译出，且两个 事件为互斥事件， 所以恰有 1 个人破译出密码的概率为 P(A B )( A B)P(A B )P( A B) P(A)P( B )P( A )P(B) 1 3 11 4 11 3 1
12、 4 5 12. (4)至多有 1 个人破译出密码的对立事件为 2 人都破译出密码，所以至多有 1 个人破译出密码 的概率为 1P(AB)1P(A)P(B)11 3 1 4 11 12. (5)至少有 1 个人破译出密码的对立事件为 2 个人都未破译出密码，所以至少有 1 个人破译出 密码的概率为 1P( A B )1P( A )P( B ) 1 11 3 11 4 1 2. 类型三 相互独立事件的综合应用 例 3 计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合 格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三 人在理论考试中“合格”的概
13、率依次为4 5， 3 4， 2 3， 在实际操作考试中“合格”的概率依次为 1 2， 2 3， 5 6，所有考试是否合格相互之间没有影响 (1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？ (2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率； (3)用 X 表示甲、乙、丙三人在计算机考试后获合格证书的人数，求 X 的分布列 考点 相互独立事件的性质及应用 题点 独立事件与分布列 解 (1)设“甲获得合格证书”为事件 A， “乙获得合格证书”为事件 B， “丙获得合格证书” 为事件 C，则 P(A)4 5 1 2 2 5，P(B) 3 4 2
14、 3 1 2， P(C)2 3 5 6 5 9. 因为 P(C)P(B)P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大 (2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件 D，则 P(D)P(AB C )P(A B C)P( A BC) 2 5 1 2 4 9 2 5 1 2 5 9 3 5 1 2 5 9 11 30. (3)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3. P(X0)3 5 1 2 4 9 2 15， P(X2)P(D)11 30， P(X3)2 5 1 2 5 9 1 9， P(X1)1P(X0)P(X2)P(X3)1 2 15 11 30 1 9 7 18. 所以 X 的分布列
15、为 X 0 1 2 3 P 2 15 7 18 11 30 1 9 反思与感悟 (1)正难则反：灵活应用对立事件的概率关系(P(A)P( A )1)简化问题，是求 解概率问题最常用的方法 (2)化繁为简：将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的 关系“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步(考虑乘法公式，转 化为相互独立事件)组成 (3)方程思想：利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问 题获解 跟踪训练 3 甲、乙两名篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为1 2与 p，且乙 投球 2 次均未命中的概率
16、为 1 16. (1)求乙投球的命中率 p； (2)求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率 考点 相互独立事件的性质及应用 题点 独立事件与互斥事件的综合应用 解 (1)设“甲投一次球命中”为事件 A，“乙投一次球命中”为事件 B. 由题意得 P( B )P( B ) 1 16， 解得 P( B )1 4或 P( B ) 1 4(舍去)， 故 p1P( B )3 4，所以乙投球的命中率为 3 4. (2)方法一 由题设知，P(A)1 2，P( A ) 1 2， 故甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率为 1P( A A )1P( A )P( A )3 4. 方法二 由题设知，P(A)1 2，
17、P( A ) 1 2， 故甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率为 2P(A)P( A )P(A)P(A)3 4. 1坛子里放有 3 个白球，2 个黑球，从中不放回地摸球，用 A1表示第 1 次摸得白球，A2表 示第 2 次摸得白球，则 A1与 A2是( ) A互斥事件 B相互独立事件 C对立事件 D不相互独立事件 考点 相互独立事件的定义 题点 独立事件与互斥事件的区别 答案 D 解析 互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项 A、C 错而事 件 A1的发生对事件 A2发生的概率有影响，故两者是不相互独立事件 2打靶时，甲每打 10 次可中靶 8 次，乙每打 10 次可中
18、靶 7 次，若两人同时射击，则他们同 时中靶的概率是( ) A.14 25 B. 12 25 C. 3 4 D. 3 5 考点 相互独立事件同时发生的概率计算 题点 求两个独立事件同时发生的概率 答案 A 解析 P甲 8 10 4 5，P 乙 7 10，所以 PP 甲 P乙14 25. 3甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是 p1，乙解决这个问题的概率 是 p2，那么恰好有 1 人解决这个问题的概率是( ) Ap1p2 Bp1(1p2)p2(1p1) C1p1p2 D1(1p1)(1p2) 考点 相互独立事件的性质及应用 题点 独立事件与互斥事件的综合应用 答案 B 解析 恰好
19、有 1 人解决可分为甲解决乙没解决、甲没解决乙解决两种情况，这两个事件显然 是互斥的，所以恰好有 1 人解决这个问题的概率为 p1(1p2)p2(1p1)，故选 B. 4在某道路的 A，B，C 三处设有交通灯，这三盏灯在 1 分钟内开放绿灯的时间分别为 25 秒，35 秒，45 秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则在这三处都不停车的概率为( ) A. 7 64 B. 25 192 C. 35 192 D. 35 576 考点 相互独立事件同时发生的概率计算 题点 求多个独立事件同时发生的概率 答案 C 解析 由题意知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为 5 12， 7 12， 3 4，则在这段道路上
20、三处都不停 车的概率为 P 5 12 7 12 3 4 35 192. 5甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床 加工的零件不是一等品的概率为1 4， 乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等 品的概率为 1 12，甲，丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 2 9. (1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率； (2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，求至少有一个一等品的概率 考点 相互独立事件的性质及应用 题点 相互独立事件性质的应用 解 (1)设 A，B，C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的
21、事件 由题意得 PA B 1 4， PB C 1 12， PAC2 9， 即 PA1PB1 4， PB1PC 1 12， PAPC2 9， 由得 P(B)19 8P(C)， 代入得 27P(C)251P(C)220， 解得 P(C)2 3或 P(C) 11 9 (舍去) 将 P(C)2 3代入，得 P(B) 1 4， 将 P(B)1 4代入，得 P(A) 1 3. 故甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是1 3， 1 4， 2 3. (2)记 D 为从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，其中至少有一个一等品的 事件， 则 P(D)1P( D )11P(A)1P(B)1P(C)12 3 3 4 1 3 5 6. 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个进行检验，至少有一个一等品的概率为5 6. 1相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件 发生的概率没有影响 两个事件不可能同时发生， 即 AB 概率公式 A 与 B 相互独立等价于 P(AB) P(A)P(B) 若 A 与 B 互斥，则 P(AB)P(A) P(B)，反之不成立 2.相互独立事件同时发生的概率 P(AB)P(A)P(B)， 即两个相互独立事件同时发生的概率等 于每个事件发生的概率的积