1、2.3.2 离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散 型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及二点分布、二项分布的 方差的求法，会利用公式求它们的方差 知识点一 离散型随机变量的方差、标准差 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为 X 和 Y， X 和 Y 的分布列如下： X 0 1 2 P 6 10 1 10 3 10 Y 0 1 2 P 5 10 3 10 2 10 思考 1 试求 E(X)，E(Y) 答案 E(X)0 6 101 1 102 3
2、10 7 10， E(Y)0 5 101 3 102 2 10 7 10. 思考 2 能否由 E(X)与 E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？ 答案 不能，因为 E(X)E(Y) 思考 3 试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？ 答案 方差 梳理 离散型随机变量的方差、标准差 (1)方差及标准差的定义 一般地，设一个离散型随机变量 X 所有可能取的值是 x1，x2，xn，这些值对应的概率是 p1，p2，pn. 方差：D(X)x1E(X)2p1x2E(X)2p2xnE(X)2pn. 标准差： DX. (2)意义：离散型随机变量的方差、标准差都反映了离散型随机变量的取值相对于期望的平均
3、 波动大小 (3)方差的运算性质：D(aXb)a2D(X) 知识点二 二点分布和二项分布的方差 1若 X 服从二点分布，则 D(X)p(1p) 2若 XB(n，p)，则 D(X)np(1p) 1离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定( ) 2若 a 是常数，则 D(a)0.( ) 3离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度( ) 类型一 求随机变量的方差与标准差 例 1 已知 X 的分布列如下： X 1 0 1 P 1 2 1 4 a (1)求 X2的分布列； (2)计算 X 的方差； (3)若 Y4X3，求 Y 的数学期望和方差 考点 离散型随机变量方差的性质 题点 方差性质
4、的应用 解 (1)由分布列的性质，知1 2 1 4a1，故 a 1 4， 从而 X2的分布列为 X2 0 1 P 1 4 3 4 (2)方法一 由(1)知 a1 4，所以 X 的数学期望 E(X)(1) 1 20 1 41 1 4 1 4. 故 X 的方差 D(X) 11 4 21 2 01 4 21 4 11 4 21 4 11 16. 方法二 由(1)知 a1 4，所以 X 的数学期望 E(X)(1)1 20 1 41 1 4 1 4， X2的数学期望 E(X2)01 41 3 4 3 4， 所以 X 的方差 D(X)E(X2)E(X)211 16. (3)因为 Y4X3， 所以 E(Y)
5、4E(X)32，D(Y)42D(X)11. 反思与感悟 方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量 X2的数学 期望比较好计算的情况下， 运用关系式 D(X)E(X2)E(X)2不失为一种比较实用的方法 另 外注意方差性质的应用，如 D(aXb)a2D(X) 跟踪训练 1 已知 的分布列为 0 10 20 50 60 P 1 3 2 5 1 15 2 15 1 15 (1)求方差及标准差； (2)设 Y2E()，求 D(Y) 考点 离散型随机变量方差的性质 题点 方差性质的应用 解 (1)E()01 310 2 520 1 1550 2 1560 1 1516， D()(01
6、6)21 3(1016) 22 5(2016) 21 15(5016) 22 15(6016) 21 15384， D8 6. (2)Y2E()， D(Y)D(2E()22D()43841 536. 类型二 二点分布与二项分布的方差 例 2 某厂一批产品的合格率是 98%. (1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差； (2)从中有放回地随机抽取 10 件产品， 计算抽出的 10 件产品中正品数的方差及标准差 (结果 保留小数点后两位) 考点 三种常用分布的方差 题点 二点分布与二项分布的方差 解 (1)用 表示抽得的正品数，则 0,1. 服从二点分布，且 P(0)0.02，P(1)0.98
7、， 所以 D()p(1p)0.98(10.98)0.019 6. (2)用 X 表示抽得的正品数，则 XB(10,0.98)， 所以 D(X)100.980.020.196， 标准差为 DX0.44. 反思与感悟 解此类问题，首先要确定正确的离散型随机变量，然后确定它是否服从特殊分 布，若它服从二点分布，则其方差为 p(1p)；若其服从二项分布，则其方差为 np(1p)(其 中 p 为成功概率) 跟踪训练2 (1)已知随机变量X服从二项分布B(n， p)， 若E(X)30， D(X)20， 则p_. (2)设 的分布列为 P(k)Ck5 1 3 k 2 3 5k(k0,1,2,3,4,5)，则
8、 D(3)_. 考点 三种常用分布的方差 题点 二项分布的方差 答案 (1)1 3 (2)10 解析 (1)由题意知 np30， np1p20， 解得 p1 3. (2)由题意知 B 5，1 3 ， 则 D()51 3 2 3 10 9 ， 所以 D(3)9D()910 9 10. 类型三 方差的实际应用 例 3 有甲、乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息： 甲单位不同职位月工资 X1(元) 1 200 1 400 1 600 1 800 获得相应职位的概率 P1 0.4 0.3 0.2 0.1 乙单位不同职位月工资 X2(元) 1 000 1 400 1 800 2 200 获得相应职
9、位的概率 P2 0.4 0.3 0.2 0.1 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解 根据月工资的分布列，可得 E(X1)1 2000.41 4000.31 6000.21 8000.11 400， D(X1)(1 2001 400)20.4(1 4001 400)20.3(1 6001 400)20.2(1 8001 400)20.140 000； E(X2)1 0000.41 4000.31 8000.22 2000.11 400， D(X2)(1 0001 400)20.4(1 4001 400)20.3(1 8001 400)20.2(2 2001 400)20.1160
10、000. 因为 E(X1)E(X2)，D(X1)D()，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同， 但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定. 1已知随机变量 X 的分布列为 X 1 0 1 P 1 2 1 3 1 6 则下列式子：E(X)1 3；D(X) 23 27；P(X0) 1 3.其中正确的个数是( ) A0 B1 C2 D3 考点 数学期望、方差的综合应用 题点 求随机变量的数学期望与方差 答案 C 解析 由分布列可知， E(X)(1)1 20 1 31 1 6 1 3， 故正确； D(X) 11 3 21 2 01 3 21 3 11
11、 3 21 6 5 9，故不正确，显然正确 2已知随机变量 X 服从二项分布 XB(n，p)，且 E(X)2.4，D(X)1.44，则( ) An4，p0.6 Bn6，p0.4 Cn8，p0.3 Dn24，p0.1 答案 B 解析 E(X)np2.4，D(X)np(1p)1.44， 解得 n6，p0.4. 3有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各 10 株的分蘖数据，计算出样本期望 E(X甲)E(X乙)， 方差分别为 D(X甲)11，D(X乙)3.4.由此可以估计( ) A甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
12、 考点 期望、方差的综合应用 题点 期望与方差在实际中的应用 答案 B 4已知离散型随机变量 X 的分布列如下表所示，若 E(X)0，D(X)1，则 a_，b _. X 1 0 1 2 P a b c 1 12 考点 数学期望、方差的综合应用 题点 数学期望与方差在实际中的应用 答案 5 12 1 4 解析 由题意知 abc11 12， ac1 60， ac1 31， 解得 a 5 12， b1 4， c1 4. 5编号为 1,2,3 的三位学生随意入座编号为 1,2,3 的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座 位编号相同的学生的人数是 ，求 E()和 D() 考点 数学期望、方差的综合应用
13、题点 求随机变量的数学期望与方差 解 的所有可能取值为 0,1,3，0 表示三位学生全坐错了，有 2 种情况，即编号为 1,2,3 的座位上分别坐了编号为 2,3,1 或 3,1,2 的学生， 则 P(0) 2 A33 1 3； 1 表示三位学生只有 1 位学生坐对了， 则 P(1)C 1 3 A33 1 2； 3 表示三位学生全坐对了，即对号入座， 则 P(3) 1 A33 1 6. 所以 的分布列为 0 1 3 P 1 3 1 2 1 6 E()01 31 1 23 1 61. D()1 3(01) 21 2(11) 21 6(31) 21. 1随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及 随机变量取值偏离于数学期望的平均程度方差 D(X)或标准差 DX越小，则随机变量 X 偏 离数学期望的平均程度越小；方差 D(X)或标准差 DX越大，表明偏离的平均程度越大，说 明 X 的取值越分散 2求离散型随机变量 X 的数学期望、方差的步骤 (1)理解 X 的意义，写出 X 的所有可能的取值 (2)求 X 取每一个值的概率 (3)写出随机变量 X 的分布列 (4)由数学期望、方差的定义求 E(X)，D(X) 特别地，若随机变量服从二点分布或二项分布，可根据公式直接计算 E(X)和 D(X)