1、2.2.3 独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布 学习目标 1.理解 n 次独立重复试验的模型及其意义.2.理解二项分布， 并能解决一些简单的 实际问题.3.会求 n 次独立重复试验及二项分布的概率 知识点一 n 次独立重复试验 思考 1 要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验其前提是什么？ 答案 条件相同 思考 2 试验结果有哪些？ 答案 正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生 思考 3 各次试验的结果有无影响？ 答案 无影响，即各次试验相互独立 梳理 n 次独立重复试验 (1)前提条件：在相同的条件下，重复地做 n 次试验，各次试验的结果相互独立 (2)概率公式：若一次试验中
2、事件 A 发生的概率为 p，则在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好 发生 k 次的概率为 Pn(k)Cknpk(1p)n k(k0,1,2，n) 知识点二 二项分布 在体育课上， 某同学做投篮训练， 他连续投篮 3 次， 每次投篮的命中率都是 0.8， 用 Ai(i1,2,3) 表示第 i 次投篮命中这个事件，用 Bk表示仅投中 k 次这个事件 思考 1 用 Ai如何表示 B1，并求 P(B1) 答案 B1(A1 A2 A3)( A1A2 A3)( A1 A2A3)， 因为 P(A1)P(A2)P(A3)0.8， 且 A1 A2 A3， A1A2 A3， A1 A2A3两两互斥， 故 P(
3、B1)0.80.220.80.220.80.22 30.80.220.096. 思考 2 试求 P(B2)和 P(B3) 答案 P(B2)30.20.820.384， P(B3)0.830.512. 思考 3 由以上问题的结果你能得出什么结论？ 答案 P(Bk)Ck30.8k0.23 k(k0,1,2,3) 梳理 二项分布 事件 A 发生的次数设为 X，事件 A 发生的概率为 p，不发生的概率为 q1p，那么在 n 次 独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率是 P(Xk)Cknpkqn k，其中 k0,1,2，n. 于是得到 X 的分布列 X 0 1 k n P C0np0qn C1
4、np1qn 1 Cknpkqn k Cnnpnq0 由于表中的第二行恰好是二项式展开式(qp)nC0np0qnC1np1qn 1Ck np kqnkCn n pnq0的各对应项的值， 所以称这样的离散型随机变量 X 服从参数为 n， p 的二项分布， 记作 X B(n，p) 1有放回地抽样试验是独立重复试验( ) 2在 n 次独立重复试验中，各次试验的结果相互没有影响( ) 3在 n 次独立重复试验中，各次试验中事件发生的概率可以不同( ) 4如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率 P(Xk)Cknpk(1p)n k，k0,1,2
5、，n.( ) 类型一 独立重复试验的概率 例 1 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是2 3和 3 4，假设每次射击是否击中目标， 相互之间没有影响(结果需用分数作答) (1)求甲射击 3 次，至少有 1 次未击中目标的概率； (2)求两人各射击 2 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 1 次的概率 考点 独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 解 (1)记“甲射击 3 次至少有 1 次未击中目标”为事件 A1，由题意，知射击 3 次，相当于 3 次独立重复试验，故 P(A1)1P( A1)1 2 3 319 27. (2)记“甲射击 2 次，恰有
6、2 次击中目标”为事件 A2，“乙射击 2 次，恰有 1 次击中目标”为 事件 B2，则 P(A2)C22 2 3 24 9，P(B2)C 1 2 3 4 1 13 4 3 8，由于甲、乙射击相互独立， 故 P(A2B2)4 9 3 8 1 6. 引申探究 1在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标 1 次的概率 解 记“甲击中目标 1 次”为事件 A3， “乙击中目标 1 次”为事件 B3， 则 P(A3)C122 3 1 3 4 9，P(B3) 3 8， 所以甲、乙均击中目标 1 次的概率为 P(A3B3)4 9 3 8 1 6. 2在本例(2)的条件下，求甲未击中，乙击中 2 次的概率
7、解 记“甲未击中目标”为事件 A4，“乙击中 2 次”为事件 B4，则 P(A4)C02 12 3 21 9， P(B4)C22 3 4 29 16，所以甲未击中、乙击中 2 次的概率为 P(A4B4) 1 9 9 16 1 16. 反思与感悟 独立重复试验概率求法的三个步骤 (1)判断：依据 n 次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验 (2)分拆：判断所求事件是否需要分拆 (3)计算：就每个事件依据 n 次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公 式计算 跟踪训练 1 某气象站天气预报的准确率为 80%，计算(结果保留到小数点后面第 2 位)： (1)“5 次预报
8、中恰有 2 次准确”的概率； (2)“5 次预报中至少有 2 次准确”的概率 考点 独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 解 (1)记“预报一次准确”为事件 A， 则 P(A)0.8， 5 次预报相当于 5 次独立重复试验 “恰有 2 次准确”的概率为 PC250.820.230.051 20.05， 因此 5 次预报中恰有 2 次准确的概率约为 0.05. (2)“5 次预报中至少有 2 次准确”的对立事件为“5 次预报全部不准确或只有 1 次准确” 其概率为 PC05(0.2)5C150.80.240.006 72. 所以所求概率为 1P10.006 720
9、.99. 所以“5 次预报中至少有 2 次准确”的概率约为 0.99. 类型二 二项分布 命题角度 1 求二项分布的分布列 例 2 某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以 录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致 时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用设应聘人员获得 每位初审专家通过的概率均为1 2，复审能通过的概率为 3 10，各专家评审的结果相互独立 (1)求某应聘人员被录用的概率； (2)若 4 人应聘，设 X 为被录用的人数，试求随机变量 X 的分布列 解 设“两位专家都同意通过”为事
10、件 A，“只有一位专家同意通过”为事件 B，“通过复 审”为事件 C. (1)设“某应聘人员被录用”为事件 D， 则 DA(BC)， 因为 P(A)1 2 1 2 1 4， P(B)21 2 11 2 1 2， P(C) 3 10， 所以 P(D)PA(BC)P(A)P(B)P(C)2 5. (2)根据题意，X0,1,2,3,4，且 XB 4，2 5 ，Ai表示“应聘的 4 人中恰有 i 人被录用”(i 0,1,2,3,4)， 因为 P(A0)C04 3 5 481 625， P(A1)C142 5 3 5 3216 625， P(A2)C24 2 5 2 3 5 2216 625， P(A3
11、)C34 2 5 33 5 96 625， P(A4)C44 2 5 4 3 5 016 625. 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 81 625 216 625 216 625 96 625 16 625 反思与感悟 (1)运用 n 次独立重复试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是 否为 n 次独立重复试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有 两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相 关公式求概率 (2)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件的概率公式及对立事件的概率公式 跟踪训练 2 袋
12、子中有 8 个白球，2 个黑球，从中随机地连续抽取三次，求有放回时，取到黑 球个数 X 的分布列 考点 二项分布的应用 题点 求二项分布的分布列 解 取到黑球个数 X 的可能取值为 0,1,2,3. 又由于每次取到黑球的概率均为1 5， 所以 P(X0)C03 1 5 0 4 5 364 125， P(X1)C13 1 5 4 5 248 125， P(X2)C23 1 5 2 4 5 12 125， P(X3)C33 1 5 3 4 5 0 1 125. 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 64 125 48 125 12 125 1 125 命题角度 2 二项分布的实际应用 例 3
13、 经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应概率如下： 排队人数 05 610 1115 1620 2125 25 概率 0.1 0.15 0.25 0.25 0.2 0.05 (1)求每天不超过 20 人排队结算的概率； (2)若一周 7 天中有 3 天以上(含 3 天)出现超过 15 人排队结算的概率大于 0.75， 则商场就需要 增加结算窗口请问该商场是否需要增加结算窗口？ 解 (1)设每天排队结算的人数为 X，则 P(X20)0.10.150.250.250.75， 即每天不超过 20 人排队结算的概率为 0.75. (2)该商场一个结算窗口每天排队结算出现超过 15 人的
14、概率为 P(X15)0.250.20.05 0.5. 设 7 天中出现超过 15 人排队结算的天数为 Y，则 P(Y3)1P(Y0)P(Y1)P(Y2) 1C070.57C170.57C270.57 99 128. 因为 99 1280.75，所以该商场需要增加结算窗口 反思与感悟 用二项分布模型解决实际问题的步骤 (1)根据题意设出随机变量 (2)分析随机变量是否服从二项分布 (3)若随机变量服从二项分布，求出参数 n 和 p 的值 (4)根据需要列出相关式子，解决问题 跟踪训练 3 一批玉米种子，其发芽率是 0.8.每穴只要有一粒发芽，就不需补种，否则需要补 种问：每穴至少种几粒，才能保证
15、每穴不需补种的概率大于 98%？(lg 20.301 0) 解 记事件 A：“种一粒种子，发芽”，则 P(A)0.8，P( A )10.80.2， 设每穴至少种 n 粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于 98%. 每穴种 n 粒相当于做了 n 次独立重复试验， 记事件 B： “每穴至少有一粒发芽”， 则 P( B ) C0n0.80(10.8)n0.2n， P(B)1P( B )10.2n. 由题意，令 P(B)98%， 即 0.2n0.02，两边取常用对数，得 nlg 0.2lg 0.02， 即 n(lg 21)lg 22 lg 21 1.699 0 0.699 02.43，且 nN，n
16、3. 答 每穴至少种 3 粒，才能保证每穴不需补种的概率大于 98%. 1 在 4 次独立重复试验中， 随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生 2 次的概率， 则事件 A 在 1 次试验中发生的概率 p 的取值范围是( ) A0.4,1) B(0,0.4 C(0,0.6 D0.6,1) 考点 n 次独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验概率的应用 答案 A 解析 由题意知，C14p(1p)3C24p2(1p)2， 解得 p0.4，故选 A. 2某人进行射击训练，一次击中目标的概率为3 5，经过三次射击，此人至少有两次击中目标 的概率为( ) A. 36 125 B. 54
17、125 C. 72 125 D. 81 125 考点 n 次独立重复试验的计算 题点 用独立重复试验的概率公式求概率 答案 D 解析 两次击中目标的概率为 P1C23 3 5 2 13 5 54 125，三次击中目标的概率为 P2 3 5 3 27 125，所以至少有两次击中目标的概率为 PP1P2 81 125. 3排球比赛的规则是 5 局 3 胜制(无平局)，甲在每局比赛获胜的概率都为2 3，前 2 局中乙队 以 20 领先，则最后乙队获胜的概率是_ 考点 n 次独立重复试验的计算 题点 用独立重复试验的概率公式求概率 答案 19 27 解析 乙队 30 获胜的概率为1 3， 乙队 31
18、获胜的概率为 2 3 1 3 2 9， 乙队 32 获胜的概率为 2 3 21 3 4 27. 最后乙队获胜的概率为 P1 3 2 9 4 27 19 27. 4设 XB(2，p)，若 P(X1)5 9，则 p_. 考点 二项分布的计算及应用 题点 二项分布的实际应用 答案 1 3 解析 因为 XB(2，p)， 所以 P(Xk)Ck2pk(1p)2 k，k0,1,2. 所以 P(X1)1P(X1)1P(X0) 1C02p0(1p)21(1p)2. 所以 1(1p)25 9， 结合 0p1，解得 p1 3. 5 从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通灯， 假设在各个交通灯遇到红灯的事件是相互独 立
19、的，并且概率都是2 5，设 为途中遇到红灯的次数，求随机变量 的分布列 考点 二项分布的计算及应用 题点 求二项分布的分布列 解 由题意知 B 3，2 5 ， 则 P(0)C03 2 5 0 3 5 327 125， P(1)C13 2 5 1 3 5 254 125， P(2)C23 2 5 2 3 5 136 125， P(3)C33 2 5 3 8 125. 所以随机变量 的分布列为 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 1n 次独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次 试验的结果是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件发生，事件不发生 2如果 1 次试验中某事件发生的概率是 p，那么 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 r 次 的概率为 Pn(r)Crnpr (1p)n r.此概率公式恰为(1p)pn 展开式的第 r1 项，故称该公式 为二项分布公式.