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2.2.3 独立重复试验与二项分布 学案(人教B版高中数学选修2-3)

1、2.2.3 独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布 学习目标 1.理解 n 次独立重复试验的模型及其意义.2.理解二项分布, 并能解决一些简单的 实际问题.3.会求 n 次独立重复试验及二项分布的概率 知识点一 n 次独立重复试验 思考 1 要研究抛掷硬币的规律,需做大量的掷硬币试验其前提是什么? 答案 条件相同 思考 2 试验结果有哪些? 答案 正面向上或反面向上,即事件发生或者不发生 思考 3 各次试验的结果有无影响? 答案 无影响,即各次试验相互独立 梳理 n 次独立重复试验 (1)前提条件:在相同的条件下,重复地做 n 次试验,各次试验的结果相互独立 (2)概率公式:若一次试验中

2、事件 A 发生的概率为 p,则在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好 发生 k 次的概率为 Pn(k)Cknpk(1p)n k(k0,1,2,n) 知识点二 二项分布 在体育课上, 某同学做投篮训练, 他连续投篮 3 次, 每次投篮的命中率都是 0.8, 用 Ai(i1,2,3) 表示第 i 次投篮命中这个事件,用 Bk表示仅投中 k 次这个事件 思考 1 用 Ai如何表示 B1,并求 P(B1) 答案 B1(A1 A2 A3)( A1A2 A3)( A1 A2A3), 因为 P(A1)P(A2)P(A3)0.8, 且 A1 A2 A3, A1A2 A3, A1 A2A3两两互斥, 故 P(

3、B1)0.80.220.80.220.80.22 30.80.220.096. 思考 2 试求 P(B2)和 P(B3) 答案 P(B2)30.20.820.384, P(B3)0.830.512. 思考 3 由以上问题的结果你能得出什么结论? 答案 P(Bk)Ck30.8k0.23 k(k0,1,2,3) 梳理 二项分布 事件 A 发生的次数设为 X,事件 A 发生的概率为 p,不发生的概率为 q1p,那么在 n 次 独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率是 P(Xk)Cknpkqn k,其中 k0,1,2,n. 于是得到 X 的分布列 X 0 1 k n P C0np0qn C1

4、np1qn 1 Cknpkqn k Cnnpnq0 由于表中的第二行恰好是二项式展开式(qp)nC0np0qnC1np1qn 1Ck np kqnkCn n pnq0的各对应项的值, 所以称这样的离散型随机变量 X 服从参数为 n, p 的二项分布, 记作 X B(n,p) 1有放回地抽样试验是独立重复试验( ) 2在 n 次独立重复试验中,各次试验的结果相互没有影响( ) 3在 n 次独立重复试验中,各次试验中事件发生的概率可以不同( ) 4如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率 P(Xk)Cknpk(1p)n k,k0,1,2

5、,n.( ) 类型一 独立重复试验的概率 例 1 甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是2 3和 3 4,假设每次射击是否击中目标, 相互之间没有影响(结果需用分数作答) (1)求甲射击 3 次,至少有 1 次未击中目标的概率; (2)求两人各射击 2 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 1 次的概率 考点 独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 解 (1)记“甲射击 3 次至少有 1 次未击中目标”为事件 A1,由题意,知射击 3 次,相当于 3 次独立重复试验,故 P(A1)1P( A1)1 2 3 319 27. (2)记“甲射击 2 次,恰有

6、2 次击中目标”为事件 A2,“乙射击 2 次,恰有 1 次击中目标”为 事件 B2,则 P(A2)C22 2 3 24 9,P(B2)C 1 2 3 4 1 13 4 3 8,由于甲、乙射击相互独立, 故 P(A2B2)4 9 3 8 1 6. 引申探究 1在本例(2)的条件下,求甲、乙均击中目标 1 次的概率 解 记“甲击中目标 1 次”为事件 A3, “乙击中目标 1 次”为事件 B3, 则 P(A3)C122 3 1 3 4 9,P(B3) 3 8, 所以甲、乙均击中目标 1 次的概率为 P(A3B3)4 9 3 8 1 6. 2在本例(2)的条件下,求甲未击中,乙击中 2 次的概率

7、解 记“甲未击中目标”为事件 A4,“乙击中 2 次”为事件 B4,则 P(A4)C02 12 3 21 9, P(B4)C22 3 4 29 16,所以甲未击中、乙击中 2 次的概率为 P(A4B4) 1 9 9 16 1 16. 反思与感悟 独立重复试验概率求法的三个步骤 (1)判断:依据 n 次独立重复试验的特征,判断所给试验是否为独立重复试验 (2)分拆:判断所求事件是否需要分拆 (3)计算:就每个事件依据 n 次独立重复试验的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公 式计算 跟踪训练 1 某气象站天气预报的准确率为 80%,计算(结果保留到小数点后面第 2 位): (1)“5 次预报

8、中恰有 2 次准确”的概率; (2)“5 次预报中至少有 2 次准确”的概率 考点 独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 解 (1)记“预报一次准确”为事件 A, 则 P(A)0.8, 5 次预报相当于 5 次独立重复试验 “恰有 2 次准确”的概率为 PC250.820.230.051 20.05, 因此 5 次预报中恰有 2 次准确的概率约为 0.05. (2)“5 次预报中至少有 2 次准确”的对立事件为“5 次预报全部不准确或只有 1 次准确” 其概率为 PC05(0.2)5C150.80.240.006 72. 所以所求概率为 1P10.006 720

9、.99. 所以“5 次预报中至少有 2 次准确”的概率约为 0.99. 类型二 二项分布 命题角度 1 求二项分布的分布列 例 2 某公司招聘员工,先由两位专家面试,若两位专家都同意通过,则视作通过初审予以 录用;若这两位专家都未同意通过,则视作未通过初审不予录用;当这两位专家意见不一致 时,再由第三位专家进行复审,若能通过复审则予以录用,否则不予录用设应聘人员获得 每位初审专家通过的概率均为1 2,复审能通过的概率为 3 10,各专家评审的结果相互独立 (1)求某应聘人员被录用的概率; (2)若 4 人应聘,设 X 为被录用的人数,试求随机变量 X 的分布列 解 设“两位专家都同意通过”为事

10、件 A,“只有一位专家同意通过”为事件 B,“通过复 审”为事件 C. (1)设“某应聘人员被录用”为事件 D, 则 DA(BC), 因为 P(A)1 2 1 2 1 4, P(B)21 2 11 2 1 2, P(C) 3 10, 所以 P(D)PA(BC)P(A)P(B)P(C)2 5. (2)根据题意,X0,1,2,3,4,且 XB 4,2 5 ,Ai表示“应聘的 4 人中恰有 i 人被录用”(i 0,1,2,3,4), 因为 P(A0)C04 3 5 481 625, P(A1)C142 5 3 5 3216 625, P(A2)C24 2 5 2 3 5 2216 625, P(A3

11、)C34 2 5 33 5 96 625, P(A4)C44 2 5 4 3 5 016 625. 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 81 625 216 625 216 625 96 625 16 625 反思与感悟 (1)运用 n 次独立重复试验的概率公式求概率时,首先判断问题中涉及的试验是 否为 n 次独立重复试验,判断时注意各次试验之间是相互独立的,并且每次试验的结果只有 两种(即要么发生,要么不发生),在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等,然后用相 关公式求概率 (2)解此类题常用到互斥事件概率加法公式,相互独立事件的概率公式及对立事件的概率公式 跟踪训练 2 袋

12、子中有 8 个白球,2 个黑球,从中随机地连续抽取三次,求有放回时,取到黑 球个数 X 的分布列 考点 二项分布的应用 题点 求二项分布的分布列 解 取到黑球个数 X 的可能取值为 0,1,2,3. 又由于每次取到黑球的概率均为1 5, 所以 P(X0)C03 1 5 0 4 5 364 125, P(X1)C13 1 5 4 5 248 125, P(X2)C23 1 5 2 4 5 12 125, P(X3)C33 1 5 3 4 5 0 1 125. 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 64 125 48 125 12 125 1 125 命题角度 2 二项分布的实际应用 例 3

13、 经统计,某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应概率如下: 排队人数 05 610 1115 1620 2125 25 概率 0.1 0.15 0.25 0.25 0.2 0.05 (1)求每天不超过 20 人排队结算的概率; (2)若一周 7 天中有 3 天以上(含 3 天)出现超过 15 人排队结算的概率大于 0.75, 则商场就需要 增加结算窗口请问该商场是否需要增加结算窗口? 解 (1)设每天排队结算的人数为 X,则 P(X20)0.10.150.250.250.75, 即每天不超过 20 人排队结算的概率为 0.75. (2)该商场一个结算窗口每天排队结算出现超过 15 人的

14、概率为 P(X15)0.250.20.05 0.5. 设 7 天中出现超过 15 人排队结算的天数为 Y,则 P(Y3)1P(Y0)P(Y1)P(Y2) 1C070.57C170.57C270.57 99 128. 因为 99 1280.75,所以该商场需要增加结算窗口 反思与感悟 用二项分布模型解决实际问题的步骤 (1)根据题意设出随机变量 (2)分析随机变量是否服从二项分布 (3)若随机变量服从二项分布,求出参数 n 和 p 的值 (4)根据需要列出相关式子,解决问题 跟踪训练 3 一批玉米种子,其发芽率是 0.8.每穴只要有一粒发芽,就不需补种,否则需要补 种问:每穴至少种几粒,才能保证

15、每穴不需补种的概率大于 98%?(lg 20.301 0) 解 记事件 A:“种一粒种子,发芽”,则 P(A)0.8,P( A )10.80.2, 设每穴至少种 n 粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于 98%. 每穴种 n 粒相当于做了 n 次独立重复试验, 记事件 B: “每穴至少有一粒发芽”, 则 P( B ) C0n0.80(10.8)n0.2n, P(B)1P( B )10.2n. 由题意,令 P(B)98%, 即 0.2n0.02,两边取常用对数,得 nlg 0.2lg 0.02, 即 n(lg 21)lg 22 lg 21 1.699 0 0.699 02.43,且 nN,n

16、3. 答 每穴至少种 3 粒,才能保证每穴不需补种的概率大于 98%. 1 在 4 次独立重复试验中, 随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生 2 次的概率, 则事件 A 在 1 次试验中发生的概率 p 的取值范围是( ) A0.4,1) B(0,0.4 C(0,0.6 D0.6,1) 考点 n 次独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验概率的应用 答案 A 解析 由题意知,C14p(1p)3C24p2(1p)2, 解得 p0.4,故选 A. 2某人进行射击训练,一次击中目标的概率为3 5,经过三次射击,此人至少有两次击中目标 的概率为( ) A. 36 125 B. 54

17、125 C. 72 125 D. 81 125 考点 n 次独立重复试验的计算 题点 用独立重复试验的概率公式求概率 答案 D 解析 两次击中目标的概率为 P1C23 3 5 2 13 5 54 125,三次击中目标的概率为 P2 3 5 3 27 125,所以至少有两次击中目标的概率为 PP1P2 81 125. 3排球比赛的规则是 5 局 3 胜制(无平局),甲在每局比赛获胜的概率都为2 3,前 2 局中乙队 以 20 领先,则最后乙队获胜的概率是_ 考点 n 次独立重复试验的计算 题点 用独立重复试验的概率公式求概率 答案 19 27 解析 乙队 30 获胜的概率为1 3, 乙队 31

18、获胜的概率为 2 3 1 3 2 9, 乙队 32 获胜的概率为 2 3 21 3 4 27. 最后乙队获胜的概率为 P1 3 2 9 4 27 19 27. 4设 XB(2,p),若 P(X1)5 9,则 p_. 考点 二项分布的计算及应用 题点 二项分布的实际应用 答案 1 3 解析 因为 XB(2,p), 所以 P(Xk)Ck2pk(1p)2 k,k0,1,2. 所以 P(X1)1P(X1)1P(X0) 1C02p0(1p)21(1p)2. 所以 1(1p)25 9, 结合 0p1,解得 p1 3. 5 从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通灯, 假设在各个交通灯遇到红灯的事件是相互独 立

19、的,并且概率都是2 5,设 为途中遇到红灯的次数,求随机变量 的分布列 考点 二项分布的计算及应用 题点 求二项分布的分布列 解 由题意知 B 3,2 5 , 则 P(0)C03 2 5 0 3 5 327 125, P(1)C13 2 5 1 3 5 254 125, P(2)C23 2 5 2 3 5 136 125, P(3)C33 2 5 3 8 125. 所以随机变量 的分布列为 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 1n 次独立重复试验要从三方面考虑:第一,每次试验是在相同条件下进行的;第二,各次 试验的结果是相互独立的;第三,每次试验都只有两种结果,即事件发生,事件不发生 2如果 1 次试验中某事件发生的概率是 p,那么 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 r 次 的概率为 Pn(r)Crnpr (1p)n r.此概率公式恰为(1p)pn 展开式的第 r1 项,故称该公式 为二项分布公式.