1、 1.3 二项式定理二项式定理 1.3.1 二项式定理二项式定理 学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会 用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 知识点 二项式定理及其相关概念 (ab)2a22abb2； (ab)3a33a2b3ab2b3； (ab)4a44a3b6a2b24ab3b4； (ab)5a55a4b10a3b210a2b35ab4b5. 根据上述规律归纳出(ab)n(nN，n2)的展开式，并思考下列问题 思考 1 (ab)n展开式中共有多少项？ 答案 n1 项 思考 2 (ab)n展开式中系数有什么特点？ 答案 依次为组合数
2、C0n，C1n，C2n，Cnn. 思考 3 (ab)n展开式中每项的次数有什么特点？项的排列有什么规律？ 答案 每一项的次数和是一样的，都是 n 次，并且 a 是按降幂排列，b 按升幂排列 梳理 二项式定理及相关概念 二项式定理 概念 公式：(ab)nC0nanC1nan 1bC2 na n2b2Cr na nrbrCn nb n(nN )， 这个公式所表示的规律叫做二项式定理 二项式系数 各项系数 Crn(r0,1,2，n)叫做展开式的二项式系数 二项式通项 展开式中的 Crnan rbr 项叫做二项展开式的通项， 通项是展开式中的第 r1 项， 即 Tr1Crnan rbr(其中 0rn，
3、rN，nN ) 二项展开式 C0nanC1nan 1bC2 na n2b2Cr na nrbrCn nb n(nN )叫做(ab)n的二项 展开式 备注 在二项式定理中，如果令 a1，bx，则得到公式(1x)n1C1nxC2nx2 CrnxrCnnxn(nN) 1(ab)n展开式中共有 n 项( ) 2在公式中，交换 a，b 的顺序对各项没有影响( ) 3Crnan rbr 是(ab)n展开式中的第 r 项( ) 4(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数相同( ) 类型一 二项式定理的正用、逆用 例 1 (1)求 3 x 1 x 4的展开式 考点 二项式定理 题点 运用二项式定理求展
4、开式 解 方法一 3 x 1 x 4(3 x)4C1 4(3 x) 3 1 x C24(3 x)2 1 x 2C3 4(3 x) 1 x 3C4 4 1 x 4 81x2108x5412 x 1 x2. 方法二 3 x 1 x 4 3x1 x 41 x2(13x) 4 1 x21C 1 4 3xC 2 4(3x) 2C3 4(3x) 3C4 4(3x) 4 1 x2(112x54x 2108x381x4)1 x2 12 x 54108x81x2. (2)化简：C0n(x1)nC1n(x1)n 1C2 n(x1) n2(1)rCr n(x1) nr(1)nCn n. 考点 二项式定理 题点 逆用
5、二项式定理求和、化简 解 原式C0n(x1)nC1n(x1)n 1(1)C2 n(x1) n2(1)2Cr n(x1) nr(1)rCn n (1)n(x1)(1)nxn. 引申探究 将本例(1)改为求 2x 1 x2 5的展开式 解 方法一 2x1 x2 5C0 5(2x) 5C1 5(2x) 41 x2C 2 5(2x) 3 1 x2 2C3 5(2x) 2 1 x2 3C4 5(2x) 1 x2 4 C55 1 x2 532x580 x280 x 40 x4 10 x7 1 x10. 方法二 2x 1 x2 5 1 x22x 3151 x10(12x 3)51 x101C 1 5(2x
6、3)C2 5(2x 3)2C3 5(2x 3)3C4 5 (2x3)4C55(2x3)5 1 x10 10 x7 40 x4 80 x 80 x232x5. 反思与感悟 (1)(ab)n的二项展开式有(n1)项，是和的形式，各项的幂指数规律是：各 项的次数和等于 n；字母 a 按降幂排列，从第一项起，次数由 n 逐项减 1 直到 0；字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数由 0 逐项加 1 直到 n. (2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想注意分析已知多项式的特点，向二 项展开式的形式靠拢 跟踪训练 1 化简：(2x1)55(2x1)410(2x1)310(2x1)25(2x1)
7、1. 考点 二项式定理 题点 逆用二项式定理求和、化简 解 原式C05(2x1)5C15(2x1)4C25(2x1)3C35(2x1)2C45(2x1)C55(2x1)0(2x 1)15(2x)532x5. 类型二 二项展开式通项的应用 命题角度 1 二项式系数与项的系数 例 2 已知二项式 3 x 2 3x 10. (1)求展开式第 4 项的二项式系数； (2)求展开式第 4 项的系数； (3)求第 4 项 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 解 3 x 2 3x 10的展开式的通项是 Tr1Cr10(3 x)10 r 2 3x rCr 103 10r 2 3 r
8、 10 3 2 r x (r0,1,2，10) (1)展开式的第 4 项(r3)的二项式系数为 C310120. (2)展开式的第 4 项的系数为 C31037 2 3 377 760. (3)展开式的第 4 项为 T4T3177 760 x. 反思与感悟 (1)二项式系数都是组合数 Crn(r0,1,2，n)，它与二项展开式中某一项的 系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念 (2)第 r1 项的系数是此项字母前的数连同符号， 而此项的二项式系数为 Crn.例如， 在(12x)7 的展开式中，第四项是 T4C3717 3(2x)3，其二项式系数是 C3 7
9、35，而第四项的系数是 C 3 72 3 280. 跟踪训练 2 已知 x2 x n展开式中第三项的系数比第二项的系数大 162. (1)求 n 的值； (2)求展开式中含 x3的项，并指出该项的二项式系数 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式中的特定项 解 (1)因为 T3C2n( x)n 2 2 x 2 6 2 2 4C n nx ， T2C1n( x)n 1 2 x 3 1 2 2C n nx -， 依题意得 4C2n2C1n162，所以 2C2nC1n81， 所以 n281，n9. (2)设第 r1 项含 x3项，则 Tr1Cr9( x)9 r 2 x r 9 3 2 9
10、 (2) C r rrx ，所以93r 2 3，r1， 所以第二项为含 x3的项：T22C19x318x3. 二项式系数为 C199. 命题角度 2 展开式中的特定项 例 3 已知在 3 x 3 3 x n的展开式中，第 6 项为常数项 (1)求 n； (2)求含 x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式中的特定项 解 通项公式为 Tr1 33 C(3) n rr rr nx x 2 3 C (3) nr rr n x . (1)第 6 项为常数项，当 r5 时，有n2r 3 0，即 n10. (2)令n2r 3 2，得 r1 2(n6
11、)2， 所求的系数为 C210(3)2405. (3)由题意，得 102r 3 Z， 0r10， rN. 令102r 3 t(tZ)， 则 102r3t，即 r53 2t.rN，t 应为偶数 令 t2,0，2，即 r2,5,8. 第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为 405x2，61 236,295 245x 2. 反思与感悟 求二项展开式的特定项的常用方法 (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为 0(即 0 次项) (2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问 题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的
12、整除性 来求解 (3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求 有理项一致 跟踪训练 3 (1)若 xa x 9的展开式中 x3的系数是84，则 a_. 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 1 解析 展开式的通项为 Tr1Cr9x9 r(a)r 1 x rCr 9 (a) rx92r(0r9，rN)当 92r3 时，解得 r3，代入得 x3的系数，根据题意得 C39(a)384，解得 a1. (2)已知 n 为等差数列4， 2,0， 的第 6 项， 则 x2 x n的二项展开式的常数项是_ 考点 二项展开式中的特定项问
13、题 题点 求二项展开式中的特定项 答案 160 解析 由题意得 n6，Tr12rCr6x6 2r，令 62r0，得 r3，常数项为 C3 62 3160. 1若 x2 x2 n5的展开式有 16 项，则自然数 n 的值为( ) A9 B10 C11 D16 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式中特定项的系数 答案 B 2(x2)8的展开式中 x6的系数是( ) A28 B56 C112 D224 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式中特定项的系数 答案 C 解析 T21C28x8 2 22112x6， (x2)8的展开式中 x6的系数是 112. 3二项式 x 2
14、x 12的展开式中的常数项是( ) A第 7 项 B第 8 项 C第 9 项 D第 10 项 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式中的特定项 答案 C 解析 二项展开式中的通项公式为 Tr1Cr12 x12 r 2 x r 3 12 2 12 C2 r rr x ，令 123 2r0，得 r8. 常数项为第 9 项 412C1n4C2n8C3n(2)nCnn等于( ) A1 B1 C(1)n D3n 考点 二项式定理 题点 逆用二项式定理求和、化简 答案 C 解析 逆用二项式定理， 将 1 看成公式中的 a，2 看成公式中的 b，可得原式(12)n( 1)n. 5已知 x 2 3
15、 x n展开式的第 5 项的系数与第 3 项的系数的比值为 30.求： (1)展开式中的所有有理项； (2)n6C2n36C3n6n 1Cn n的值 解 (1) x 2 3 x n展开式的通项为 T r1C r n( x) nr 2 3 x r(r0,1，n)Cr n(2) r 35 6 nr x ， 由于展开式的第 5 项的系数与第 3 项的系数的比值为 30， 则2 4C4 n 22C2n30，化简，得 n 25n840， 解得 n12 或 n7(舍去)， 则展开式的通项为 Tr1Cr12(2)r 36 5 6 r x (r0,1,2， ， 12)， 当 r0,6,12 时， 365r 6 为整数， 则有理项为 T1x6，T726C612x59 136x， T13212C12 12x 44 096x4. (2)n6C2n36C3n6n 1Cn n C1126C21236C312611C12 12 1 6(16C 1 126 2C2 126 3C3 126 12C12 12)1 6 1 6(16) 121 6 7121 6 . 1注意区分项的二项式系数与系数的概念 2要牢记 Crnan rbr 是展开式的第 r1 项，不要误认为是第 r 项 3求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值.