1、2.2.2 反证法反证法 学习目标 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证 法证明数学问题 知识点 反证法 王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友 一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问 王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而 这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的” 思考 1 本故事中王戎运用了什么论证思想？ 答案 运用了反证法思想 思考 2 反证法解题的实质是什么？ 答案 否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确 梳理 (1)反证法的
2、概念 一般地，由证明 pq 转向证明：綈 qrt，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从 而判定綈 q 为假，推出 q 为真的方法，叫做反证法 (2)反证法常见的几种矛盾 与假设矛盾 与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾 与公认的简单事实矛盾(例如，导出 01,00 之类的矛盾) (3)反证法证明数学命题的一般步骤 分清命题的条件和结论 做出与命题结论相矛盾的假设 由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明 命题为真 1反证法属于间接证明问题的方法( ) 2反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一
3、种演绎推理( ) 3反证法的实质是否定结论导出矛盾( ) 类型一 用反证法证明否定性命题 例 1 已知三个正数 a，b，c 成等比数列但不成等差数列求证： a， b， c不成等差数 列 证明 假设 a， b， c成等差数列，则 2 b a c， 4bac2 ac. a，b，c 成等比数列， b2ac， 由得 b ac，代入式， 得 ac2 ac( a c)20， ac，从而 abc. 这与已知 a，b，c 不成等差数列相矛盾， 假设不成立 故 a， b， c不成等差数列 反思与感悟 对某些结论为肯定形式或者否定命题的证明， 从正面突破较困难时， 可用反证 法 通过反设将肯定命题转化为否定命题或
4、否定命题转化为肯定命题， 然后用转化后的命题 作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的 跟踪训练 1 已知正整数，a，b，c 满足 a2b2c2.求证 a，b，c 不可能都是奇数 证明 假设 a，b，c 都是奇数，则 a2，b2，c2都是奇数 左边奇数奇数偶数，右边奇数，得偶数奇数，矛盾 假设不成立，a，b，c 不可能都是奇数 类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题 例 2 a，b，c(0,2)，求证：(2a)b，(2b)c，(2c)a 不能都大于 1. 证明 假设(2a)b，(2b)c，(2c)a 都大于 1. 因为 a，b，c(0,2)， 所以 2a0,2b0,2c0. 所以2ab
5、 2 2ab1. 同理，2bc 2 2bc1， 2ca 2 2ca1. 三式相加，得2ab 2 2bc 2 2ca 2 3， 即 33，矛盾 所以(2a)b，(2b)c，(2c)a 不能都大于 1. 反思与感悟 (1)用反证法证明“至少”“至多”类命题，可减少讨论情况，目标明确否 定结论时需弄清楚结论的否定是什么， 避免出现错误 需仔细体会“至少有一个”“至多有 一个”等表达的意思 (2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表： 原结论词 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 反设词 一个也没有 (不存在) 至少有两个 至多有 n1 个 至少有 n1 个 跟踪训练 2 已知
6、 a，b，c 是互不相等的实数，求证：由 y1ax22bxc，y2bx22cxa 和 y3cx22axb 确定的三条抛物线至少有一条与 x 轴有两个不同的交点 证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与 x 轴有两个不同的交点， 由 y1ax22bxc，y2bx22cxa，y3cx22axb， 得 1(2b)24ac0，2(2c)24ab0， 且 3(2a)24bc0. 同向不等式求和，得 4b24c24a24ac4ab4bc0， 所以 2a22b22c22ab2bc2ac0， 所以(ab)2(bc)2(ac)20， 所以 abc. 这与题设 a，b，c 互不相等矛盾， 因此假设不成立，从而
7、命题得证 类型三 用反证法证明唯一性命题 例 3 求证：方程 2x3 有且只有一个根 证明 2x3，xlog23. 这说明方程 2x3 有根 下面用反证法证明方程 2x3 的根是唯一的 假设方程 2x3 至少有两个根 b1，b2(b1b2)， 则 1 2b3, 2 2b3，两式相除得 12 2b b 1， b1b20，则 b1b2，这与 b1b2矛盾 假设不成立，从而原命题得证 反思与感悟 用反证法证明唯一性命题的一般思路： 证明“有且只有一个”的问题， 需要证 明两个命题， 即存在性和唯一性 当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等 形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯
8、一性”结论不成立易导出矛盾，因此 可用反证法证其唯一性 跟踪训练 3 求证：两条相交直线有且只有一个交点 证明 设两直线为 a，b，假设结论不成立，即有两种可能：无交点；至少有两个交点 (1)若直线 a，b 无交点，那么 ab 或 a，b 是异面直线，与已知矛盾； (2)若直线 a，b 至少有两个交点，设为 A 和 B，这样同时经过点 A，B 就有两条直线，这与 “经过两点有且只有一条直线”相矛盾 所以假设不成立，两条相交直线有且只有一个交点 1证明“在ABC 中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设( ) A三角形中至少有一个直角或钝角 B三角形中至少有两个直角或钝角 C三角形中没有直角或钝角
9、 D三角形中三个角都是直角或钝角 答案 B 2用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于 60 ”，应先假设这个三角形中( ) A有一个内角小于 60 B每一个内角都小于 60 C有一个内角大于 60 D每一个内角都大于 60 答案 B 3“ab Cab Dab 或 ab 答案 D 4用反证法证明“在同一平面内，若 ac，bc，则 ab”时，应假设( ) Aa 不垂直于 c Ba，b 都不垂直于 c Cab Da 与 b 相交 答案 D 5已知 f(x)x2pxq. (1)求证：f(1)f(3)2f(2)2； (2)求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于1 2. 证
10、明 (1)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2. (2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于1 2不成立， 则|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于1 2， 则|f(1)|2|f(2)|f(3)|2. 因为|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2) (1pq)(93pq)(84p2q)2，这与|f(1)|2|f(2)|f(3)|2 相矛盾， 所以假设不成立，原命题成立， 所以|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不少于1 2. 用反证法证题要把握三点 (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能， 证明都是不全面的 (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论， 不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法 (3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾， 或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的