1、第三章 数系的扩充与复数 章末复习学习目标1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算且认识复数加减法的几何意义1复数的有关概念(1)复数的概念形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数，若b0，则abi为虚数，若a0且b0，则abi为纯虚数(2)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭ac且bd0(a，b，c，dR)(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面在复平面内x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数
2、(5)复数的模向量的长度叫做复数zabi的模(或绝对值)，记作|z|或|abi|，即|z|abi|.2复数的几何意义(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(2)复数zabi(a，bR)平面向量.3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：i(cdi0)(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任意复数z1，z2，z3，有z1z2z2z1，(
3、z1z2)z3z1(z2z3)4共轭复数的性质(1)zR.(2)z.(3)任一实数的共轭复数仍是它本身；反之，若z，则z是实数(4)共轭复数对应的点关于实轴对称1复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小()2原点是实轴与虚轴的交点()3方程x2x10没有解()类型一复数的概念例1已知复数za2a6i(aR)，分别求出满足下列条件的实数a的值：(1)z是实数；(2)z是虚数；(3)z是0.解由a2a60，解得a2或a3.由a22a150，解得a5或a3.由a240，解得a2.(1)由a22a150且a240，得a5或a3，当a5或a3时，z为实数(2)由a22a150且a240，得a5且a3
4、且a2，当a5且a3且a2时，z是虚数(3)由a2a60，且a22a150，且a240，得a3，当a3时，z0.引申探究本例中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，说明理由解由a2a60，且a22a150，且a240，得a无解，不存在实数a，使z为纯虚数反思与感悟(1)正确确定复数的实部、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据跟踪训练1复数zlog3(x23x3)ilog2(x3)，当x为何实数时，(1)zR；(2)z为虚数解(1)因为一个复数是实数的充要
5、条件是虚部为0，所以解得x4，所以当x4时，zR.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以解得x且x4.所以当x且x4时，z为虚数类型二复数的四则运算例2(1)计算：2 012；(2)已知z1i，求的模解(1)原式1 006i(i)1 00601i.(2)1i，的模为.反思与感悟(1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(abi)(cdi)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化(2)虚数单位i的周期性i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1(nN)inin1in2in30(nN)跟踪训练2计算：(i)547.解(i)547i()5(1i)22(1i)2i716(
6、1i)i(161)i.类型三复数问题实数化思想例3已知复数z12，i，并且|z|2，|zz1|zz2|，求z.解设zabi(a，bR)，z12，i，z22i.|z|2，则2.|zz1|zz2|，即|a2bi|a(b2)i|，由得或z22i或z22i.反思与感悟设出复数z的代数形式，利用复数的分类及运算，列出方程，求得复数的实部和虚部，这是求解复数的常用思路跟踪训练3已知z是复数，z3i为实数，为纯虚数(i为虚数单位)(1)求复数z；(2)求的模解(1)设zabi(a，bR)，z3ia(b3)i为实数，可得b3.又为纯虚数，a1，即z13i.(2)2i，.类型四复数的几何意义例4设复数z满足|z
7、|1，求|z(34i)|的最值解由复数的几何意义知，|z|1表示复数z在复平面内对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，因而|z(34i)|的几何意义是求此圆上的点到点C(3,4)的距离的最大值与最小值如图，易知|z(34i)|max|AC|OC|116，|z(34i)|min|BC|OC|14.反思与感悟复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z1z2|表示复数z1，z2对应的两点Z1，Z2之间的距离跟踪训练4已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1sin2i，z2cos2icos 2，其中(0，)，设对应的复数为z.(1)求复数
8、z；(2)若复数z对应的点P在直线yx上，求的值解(1)由题意得zz2z1cos2sin2(cos 21)i12sin2i.(2)由(1)知，点P的坐标为(1，2sin2)由点P在直线yx上，得2sin2，sin2，又(0，)，sin 0，因此sin ，或.1复数z(aR)在复平面内对应的点在虚轴上，则a等于()A2 B1 C1 D2答案D解析z在复平面内对应的点在虚轴上，所以2a0，即a2.2已知f(x)x31，设i是虚数单位，则复数的虚部是()A1 B1 Ci D0答案B解析f(i)i31i1，1i，虚部是1.3已知2ai，bi(a，bR)是实系数一元二次方程x2pxq0的两根，则p，q的
9、值为()Ap4，q5 Bp4，q5Cp4，q5 Dp4，q5答案A解析由条件知2ai，bi是共轭复数，则a1，b2，即实系数一元二次方程x2pxq0的两个根是2i，所以p(2i)(2i)4，q(2i)(2i)5.4若|z1|2，则|z3i1|的最小值为_答案1解析因为|z1|2，所以复数z在复平面内对应的点在以(1,0)为圆心，2为半径的圆上|z3i1|表示复数z在复平面内对应的点到点(1,3)的距离，因此，距离的最小值为1.5设复数z和它的共轭复数满足4z23i，求复数z.解设zabi(a，bR)因为4z23i，所以2z(2z2)3i.又2z22(abi)2(abi)4a，整体代入上式，得2z4a3i.所以zi.根据复数相等的充要条件，得解得所以zi.1对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念2对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数最后整理成abi(a，bR)的结构形式3对复数几何意义的考查在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义求解复数，往往设出复数的代数形式，将复数问题实数化