1、习题课习题课 导数的应用导数的应用 学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函 数的单调性、极值与最值的综合应用 知识点一 函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a，b)内的函数 yf(x)： f(x)的正负 f(x)的单调性 f(x)0 单调增函数 f(x)cos x f(x)成 立，则( ) A. 2f 6 f 4 B. 3f 6 f 3 C. 6f 6 2f 4 D. 3f 6 f(x)cos x， 即 f(x)sin xf(x)cos x0， 构造函数 g(x) fx sin x， 则 g(x)fxsin xfxcos x sin2x
2、. 当 x 0， 2 时，g(x)0， 即函数 g(x)在 0， 2 上为单调增函数， g 6 g 3 ， 3f 6 f 3 ， 故选 D. 反思与感悟 解决比较函数值大小题目的关键是构造出恰当的函数，求出该函数的导数，利 用单调性进而确定函数值的大小 跟踪训练 1 已知定义域为 R 的奇函数 yf(x)的导函数为 yf(x)，当 x0 时，f(x)fx x 0，若 a1 2f 1 2 ，b 2f( 2)，c ln 1 2 f ln 1 2 ，则 a，b，c 的大小关系正确的是( ) Aacb Bbca Cabc Dcab 答案 B 解析 令 g(x)xf(x)， 则 g(x)xf(x)xf(
3、x)， g(x)是偶函数 g(x)f(x)xf(x)， f(x)fx x 0 时，xf(x)f(x)0， 当 x0. g(x)在(0，)上是减函数 1 2ln 21 2， g( 2)g(ln 2)g 1 2 . g(x)是偶函数， g( 2)g( 2)，g ln 1 2 g(ln 2)， g( 2)g ln 1 2 f(x)， 且 f(0)2， 则不等 式 f(x)f(x)，g(x)0， 即函数 g(x)在定义域上为单调减函数 f(0)2，g(0)f(0)2， 则不等式等价于 g(x)0，不等式的解集为(0，)，故选 C. 反思与感悟 构造恰当的函数并判断其单调性，利用单调性求解不等式 跟踪训
4、练 2 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数且 f(1)0，其导函数记为 f(x)，当 x0 时，满足 xf(x)f(x)0，则 f(x)0 的解集为_ 答案 (1,0)(1，) 解析 构造函数 g(x)fx x ， 由 f(x)是奇函数， 所以 g(x)是偶函数， 因为 g(x)xfxfx x2 ， 当 x0 时，g(x)0，则 g(x)为增函数， 由此可画出 g(x)的草图，如图， 所以 f(x)0 的解集为(1,0)(1，) 类型二 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 例 3 已知 f(x)axln x，x(0，e，g(x)ln x x ，其中 e 是自然对数的底数，aR. (1
5、)当 a1 时，求函数 f(x)的单调区间和极值； (2)求证：在(1)的条件下，f(x)g(x)1 2； (3)是否存在实数 a，使 f(x)的最小值是 3，若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由 (1)解 因为 f(x)xln x，f(x)11 x x1 x ， 所以当 0x1 时，f(x)0， 此时函数 f(x)为单调减函数， 当 10， 此时函数 f(x)为单调增函数， 所以函数 f(x)的极小值为 f(1)1. (2)证明 因为函数 f(x)的极小值为 1，即函数 f(x)在(0，e上的最小值为 1. 又 g(x)1ln x x2 ， 所以当 0x0， 此时 g(x)为单调增函
6、数 所以 g(x)的最大值为 g(e)1 e1 2. 所以在(1)的条件下，f(x)g(x)1 2. (3)解 假设存在实数 a，使 f(x)axln x，x(0，e有最小值 3， 则 f(x)a1 x ax1 x ， 当 a0 时，f(x)0，f(x)在(0，e上为单调减函数， f(x)minf(e)ae13，a4 e(舍去)， 此时函数 f(x)的最小值不是 3. 当 01 ae 时，f(x)在 0，1 a 上为单调减函数， f(x)在 1 a，e 上为单调增函数， 所以 f(x)minf 1 a 1ln a3，ae2，满足条件 当1 ae 时，f(x)在(0，e上为单调减函数， f(x)
7、minf(e)ae13，a4 e(舍去)， 此时函数 f(x)的最小值不是 3. 综上可知，存在实数 ae2，使 f(x)的最小值是 3. 反思与感悟 (1)求极值时一般需确定 f(x)0 的点和单调性，对于常见连续函数，先确定 单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点 (2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直 接与端点的函数值比较即可求得最值 跟踪训练 3 已知函数 f(x)1 xaln x(a0，aR) (1)若 a1，求函数 f(x)的极值和单调区间； (2)若在区间(0，e上至少存在一点 x0，使得 f(
8、x0)0 成立，求实数 a 的取值范围 解 (1)f(x) 1 x2 a x ax1 x2 ， 当 a1 时，f(x)x1 x2 ，令 f(x)0，得 x1，又 f(x)的定义域为(0，)， 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1，) f(x) 0 f(x) 极小值 当 x1 时，f(x)的极小值为 1. f(x)的单调增区间为(1，)，单调减区间为(0,1) (2)f(x)ax1 x2 (a0，aR) 令 f(x)0，得 x1 a， 若在区间(0，e上存在一点 x0，使得 f(x0)0 成立， 其充要条件是 f(x)在区间(0，e上的最小值小于 0.
9、()当 x1 a0，即 a0 时，f(x)0 对 x(0，)成立， f(x)在区间(0，e上单调递减， 故 f(x)在区间(0，e上的最小值为 f(e)1 ealn e 1 ea，由 1 ea0，得 a0，即 a0 时， 若 e1 a，则 f(x)0 对 x(0，e成立， f(x)在区间(0，e上单调递减， f(x)在区间(0，e上的最小值为 f(e)1 ealn e 1 ea0， 显然，f(x)在区间(0，e上的最小值小于 0 不成立 若 01 a 1 e， 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x 0，1 a 1 a 1 a，e f(x) 0 f(x) 极小值 f(x)在区
10、间(0，e上的最小值为 f 1 a aaln 1 a， 由 f 1 a aaln 1 aa(1ln a)0， 得 1ln ae，即 a(e，) 综上，由()()可知，a ，1 e (e，) 类型三 导数的综合应用 例 4 已知函数 f(x)excxc(c 为常数，e 是自然对数的底数)，f(x)是函数 yf(x)的导函 数 (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)当 c1 时，试求证： 对任意的 x0，不等式 f(ln cx)f(ln cx)恒成立； 函数 yf(x)有两个相异的零点 (1)解 函数 f(x)excxc 的导数为 f(x)exc， 当 c0 时，f(x)0 恒成立，可得 f(
11、x)的增区间为 R； 当 c0 时，由 f(x)0，可得 xln c， 由 f(x)0，可得 x0， 则 g(x)exe x2， 由 x0，可得 exe x22 ex ex20， 即 g(x)0， 所以 g(x)在(0，)上为单调增函数， 可得 g(x)g(0)0， 又 c1，则 c(exe x2x)0， 可得不等式 f(ln cx)f(ln cx)恒成立 函数 f(x)excxc 的导数为 f(x)exc，当 c1 时，f(x)的增区间为(ln c，)；减区 间为(，ln c)， 可得 f(x)在 xln c 处取得极小值，且为最小值， 由 f(ln c)eln ccln ccccln cc
12、cln c0， 可得 f(x)0 有两个不等的实根， 则函数 yf(x)有两个相异的零点 反思与感悟 利用导数解决不等式的证明及函数的零点的求解与证明时，注意运用构造函数 和转化思想 跟踪训练 4 已知函数 f(x)axln x1，若曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线与直线 2xy 10 垂直 (1)求 a 的值； (2)函数 g(x)f(x)m(x1)(mR)恰有两个零点 x1，x2(x1x2)，求函数 g(x)的单调区间及实数 m 的取值范围 解 (1)函数 f(x)的定义域为(0，) 由 f(x)a1 x，且 f(2) 1 2，解得 a1. (2)因为 g(x)(1m)(x1)l
13、n x，x(0，)， 则 g(x)1m1 x 1mx1 x . ()当 1m0 即 m1 时，g(x)0， 所以 g(x)在(0，)上为单调减函数， 此时只存在一个零点，不合题意 ()当 m1 时，令 g(x)0，解得 x 1 1m. 当 x 变化时，g(x)与 g(x)的变化情况如下表： x 0， 1 1m 1 1m 1 1m， g(x) 0 g(x) 极小值 由题意可知，g(x)极小值g 1 1m mln(1m) 下面判断极小值的正负，设 h(m)mln(1m)，m1. 当 m0 时，h(0)0，即 g(x)极小值0， 此时 g(x)恰有一个零点，不合题意 当 m0 且 m1 时，h(m)
14、1 1 1m m 1m. 当 m0； 当 0m1 时，h(m)0. 所以 h(m)在(，0)上为单调增函数，在(0,1)上为单调减函数， 所以 h(m)h(0)0，此时 g(x)恰有两个零点， 综上，m 的取值范围是(，0)(0,1). 1若函数 yx32x2mx 是 R 上的单调函数，则实数 m 的取值范围是( ) A. 4 3， B. ，4 3 C. 4 3， D. ，4 3 答案 C 2 已知 f(x)是定义在(0， )上的非负可导函数， 且满足 xf(x)f(x)0， 对任意的正数 a， b，若 ab，则必有( ) Abf(b)af(a) Bbf(a)af(b) Caf(a)bf(b)
15、 Daf(b)bf(a) 答案 A 解析 设 g(x)xf(x)，x(0，)， 则 g(x)xf(x)f(x)0， g(x)在区间(0，)上为单调减函数或 g(x)为常函数 a3， 则f(x)3x4的解集为_ 答案 (1，) 解析 设 F(x)f(x)(3x4)， 则 F(1)f(1)(34)110. 又对任意的 xR，f(x)3， F(x)f(x)30， F(x)在 R 上是增函数， F(x)0 的解集是(1，)， 即 f(x)3x4 的解集为(1，) 4 函数 f(x)x33ax23(a2)x3 既有极大值又有极小值， 则实数 a 的取值范围是_ 答案 (，1)(2，) 5已知函数 f(x
16、)x(x2ax3) (1)若 x1 3是 f(x)的极值点，求 f(x)在区间1,4上的最大值与最小值； (2)若 f(x)在1，)上是增函数，求实数 a 的取值范围 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 解 (1)由 f(x)x3ax23x， 得 f(x)3x22ax3， 由已知得 f 1 3 0，解得 a5， f(x)x35x23x，f(x)3x210 x3， 由 f(x)0，解得 x1 3或 x3， 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x 1 1，1 3 1 3 1 3，3 3 (3,4) 4 f(x) 0 0 f(x) 9 13 2
17、7 9 4 函数 f(x)在1,4上的最小值为9，最大值是13 27. (2)f(x)3x22ax3， 由 f(x)在1，)上单调递增，得 3x22ax30， 即 a3 2 x1 x 在1，)上恒成立， 要使上式成立，只要 a 3 2 x1 x min即可， 设 g(x)x1 x(x1)， 由于 g(x)在1，)上单调递增， g(x)min2，a3， 即实数 a 的取值范围是(，3 导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值 等问题，都可以通过导数得以解决不但如此，利用导数得到函数的性质后，还可以进一步 研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法