1、第一章 导数及其应用 章末复习学习目标1.理解导数的几何意义，并能解决有关斜率、切线方程等问题.2.掌握初等函数的求导公式.3.熟练掌握利用导数判断函数单调性，会用导数求函数的极值与最值.4.掌握微积分基本定理，能利用定积分求不规则图形的面积1函数yf(x)在点x0处的导数(1)定义式：f(x0).(2)几何意义：曲线在点(x0，f(x0)处切线的斜率2基本初等函数的导数公式yf(x)yf(x)ycy0yxn(nN)ynxn1，n为正整数yx(x0，0且Q)yx1，为有理数yax(a0，a1)yaxln aylogax(a0，a1，x0)yysin xycos_xycos xysin_x3.导
2、数的四则运算法则4复合函数的求导法则(1)复合函数记法：yf(g(x)(2)中间变量代换：yf(u)，ug(x)(3)逐层求导法则：yxyuux.5函数的单调性与其导数符号的关系设函数yf(x)在区间(a，b)内可导，(1)若在(a，b)内，f(x)0，则f(x)在此区间是增函数(2)若在(a，b)内，f(x)0.()类型一导数与曲线的切线例1已知函数f(x)ln x，g(x)axb.若函数g(x)axb是函数f(x)ln x图象的切线，求ab的最小值解设切点(m0)，函数f(x)ln x的导数为f(x)，即切线的斜率为，若直线g(x)axb是函数f(x)ln x图象的切线，则a，ln mma
3、b，即bln m1，abln m1，令t0，则abln ttt21(t0)，令ab(t)ln tt2t1(t0)，则(t)2t1(t0)，当t(0,1)时，(t)0，(t)在(1，)上单调递增即当t1时，(t)取得极小值，也为最小值则ab(t)(1)1，故ab的最小值为1.反思与感悟利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出常见的类型有两种：一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点(x0，y0)不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由f(x1)和y1f(x1)，求出x1，y1的值，转化为第一
4、种类型跟踪训练1已知曲线yx2aln x(a0)上任意一点处的切线的斜率为k，若k的最小值为4，则此时切点的坐标为_答案(1,1)解析函数yx2aln x(a0)的定义域为x|x0，y2x24，则a2，当且仅当x1时等号成立，此时y1，所以切点的坐标为(1,1)类型二利用导数研究函数的单调性、极值与最值例2已知函数f(x)(4x24axa2)，其中a0)，得x或x2.令f(x)0，得x或x(2，)，故函数f(x)的单调增区间为和(2，)(2)因为f(x)，a0，令f(x)0，得x或x.当x时，f(x)单调递增；当x时，f(x)单调递减；当x时，f(x)单调递增，易知f(x)(2xa)20，且f
5、0.当1，即2a0时，f(x)在1,4上的最小值为f(1)，由f(1)44aa28，得a22，均不符合题意当14，即8a4，即a0.(1)记f(x)的极小值为g(a)，求g(a)的最大值；(2)若对任意实数x恒有f(x)0，求f(a)的取值范围解(1)函数f(x)的定义域是(，)，f(x)exa，令f(x)0，得xln a，所以f(x)的单调增区间是(ln a，)；令f(x)0，得xln a，所以f(x)的单调减区间是(，ln a)，函数f(x)在xln a处取极小值，g(a)f(ln a)eln aaln aaaln a，g(a)1(1ln a)ln a，当0a0，g(a)在(0,1)上单调
6、递增；当a1时，g(a)0，exax0恒成立，当x0时，f(x)0，即exax0，即a .令h(x)，x(0，)，h(x) .当0x1时，h(x)1时，h(x)0，故h(x)的最小值为h(1)e，所以ae，故实数a的取值范围是(0，ef(a)eaa2，a(0，e，f(a)ea2a，易知在(0，e内ea2a0恒成立，故f(a)在(0，e上单调递增，所以f(0)1f(a)f(e)eee2，即f(a)的取值范围是(1，eee2类型三定积分及其应用例3如图，是由直线yx2，曲线y2x所围成的图形，试求其面积S.解由得x1或x4，故A(1，1)，B(4,2)，如图所示，S2dx(x2)dx2|2.反思与
7、感悟求两个曲线围成平面图形面积的方法(1)画出两个曲线，先将两个方程联立方程组求解，得到两个曲线的交点的横坐标a，b(af2(x)跟踪训练3求由曲线y2xx2及y2x24x所围成的图形的面积解由解得x10，x22.如图，由于y2x24x与x轴围成图形的面积为负值，故应加绝对值符号S(2xx2)dx222304844.1已知曲线y12与y2x3x22x在xx0处切线的斜率的乘积为3，则x0的值为()A2 B2 C. D1答案D解析曲线y12，y2x3x22x，y1，y23x22x2.曲线y12与y2x3x22x在xx0处切线的斜率的乘积为3，(3x2x02)3，解得x01，故选D.2已知函数f(
8、x)ax3bx2cx的图象如图所示，则有()Aa0，c0，c0Ca0，c0 Da0答案A解析由函数f(x)的图象知f(x)先递增，再递减，再递增，f(x)先为正，再变为负，再变为正f(x)3ax22bxc，a0，0在递减区间内，f(0)0，即c0，故选A.3函数f(x)ax2c(a0)，若f(x)dxf(x0)，则x0的值为()A B. C. D.答案A解析f(x)ax2c(a0)，f(x)dxac.f(x)dxf(x0)，f(x0)axcac，x0.故选A.4.如图，yf(x)是可导函数，直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(
9、3)_.答案0解析f(3)1，又点(3,1)在直线l上，3k21，从而k，f(3)k.g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，则g(3)f(3)3f(3)130.5设函数f(x)ln xax2bx.(1)当a2，b3时，求函数f(x)的极值；(2)令F(x)f(x)ax2bx(00)，令f(x)0，得x或x1.可知f(x)的极大值为fln 2，f(x)的极小值为f(1)2.(2)F(x)ln x，x(0,3，则有kF(x0)在(0,3上恒成立，amax.当x01时，xx0取得最大值，a.(3)当a0，b1时，f(x)ln xxmx(x1，e2)，得 m1在1，e2有两个实数解，设h(x
10、)1，x，则h(x)，x，当1xe时，h(x)0；当exe2时，h(x)0.h(x)maxh(e)1，h(1)1，h(e2)11，结合图象知，h(e2)mh(e)m时，方程有两个实数解1函数中求参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围2在解决问题的过程中主要处理好等号的问题：(1)注意定义域(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f(x)0(或f(x)0)，且f(x)不恒为零(3)与函数最值有关的问题要注意最值能否取得的情况，一般我们研究临界值取舍即可