1、3.1.3 复数的几何意义复数的几何意义 学习目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一 一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.4.理解共 轭复数的概念 知识点一 复平面 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， 在复平面内， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴， x 轴的单位是 1，y 轴的单位是 i，实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数 0. 知识点二 复数的几何意义 思考 1 复数 zabi(a，bR)与复平面上的点 Z(a，b)具有怎样的对应关系？ 答案 一一对应 思考 2 复平面内的点 Z 与
2、向量OZ 有怎样的对应关系？ 答案 一一对应 梳理 复数 zabi 一一对应 有序实数对(a，b) 一一对应 点 Z(a，b) 知识点三 复数的模 设OZ abi(a，bR)，则向量OZ的长度叫做复数 abi 的模(或绝对值)，记作|abi|，且|a bi|a2b2. 知识点四 共轭复数 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数复数 z 的 共轭复数用 z 表示，即当 zabi 时，则 z abi，任一实数的共轭复数仍是它本身 1在复平面内，对应于实数的点都在实轴上( ) 2在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数( ) 3若|z1|z2|，则 z1z2.(
3、) 类型一 复数的几何意义 命题角度1 复数与复平面内点的对应关系 例 1 实数 x 分别取什么值时，复数 z(x2x6)(x22x15)i 对应的点 Z 在： (1)第三象限； (2)直线 xy30 上 解 因为 x 是实数，所以 x2x6，x22x15 也是实数 (1)当实数 x 满足 x2x60， x22x150， 即当3x0， x22x150， 即当 2x5 时，点 Z 在第四象限 反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对 应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置 判断复数实部、虚部的取值 跟踪训练 1 在
4、复平面内，复数 i,1,42i 对应的点分别是点 A，B，C.求平行四边形 ABCD 的 D 点所对应的复数 解 由已知得 A(0,1)，B(1,0)，C(4,2)，则 AC 的中点 E 2，3 2 ，由平行四边形的性质知 E 也 是 BD 的中点，设 D(x，y)， 则 x1 2 2， y0 2 3 2， x3， y3， 即 D(3,3) D 点所对应的复数为 33i. 命题角度2 复数与复平面内的向量的关系 例 2 (1)向量OZ1 对应的复数是 54i，向量OZ2 对应的复数是54i，则OZ1 OZ2 对应的复 数是( ) A108i B108i C0 D108i (2)设 O 是原点，
5、向量OA ，OB 对应的复数分别为 23i，32i，那么向量BA 对应的复数是 ( ) A55i B55i C55i D55i 答案 (1)C (2)D 解析 (1)由复数的几何意义，可得 OZ1 (5，4)，OZ2 (5,4)， 所以OZ1 OZ2 (5，4)(5,4)(0,0)， 所以OZ1 OZ2 对应的复数为 0. (2)由复数的几何意义，得OA (2，3)，OB (3,2)，BA OA OB (2，3)(3,2) (5，5) 所以BA 对应的复数是 55i. 反思与感悟 根据复数与平面向量的对应关系可知，当平面向量的起点在原点时，向量的终 点对应的复数即为向量对应的复数反之复数对应的
6、点确定后，从原点引出的指向该点的有 向线段，即为复数对应的向量 跟踪训练 2 (1)在复平面内，O 是原点，向量OA 对应的复数为 2i，若点 A 关于实轴的对称 点为点 B，则向量OB 对应的复数为_ (2)复数 z34i 对应的向量OZ 所在直线的斜率为_ 答案 (1)2i (2)4 3 解析 (1)复数 2i 表示的点 A(2,1)关于实轴对称的点为 B(2，1)，OB 对应的复数为 2 i. (2)复数 z 对应点 Z(3,4)， 向量OZ 所在的直线的斜率为4 3. 类型二 复数的模与共轭复数的计算 例 3 已知复数 z 满足 z|z|28i，求复数 z 及其共轭复数 解 设 zab
7、i(a，bR)，则|z|a2b2，代入方程得 abi a2b228i， a a2b22， b8， 解得 a15， b8. z158i.其共轭复数为158i. 反思与感悟 计算复数的模时， 应先找出复数的实部和虚部， 然后再利用模的公式进行计算， 两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小 跟踪训练 3 (1)若复数 z1ai(i 是虚数单位)的模不大于 2，则实数 a 的取值范围是 _ 答案 3， 3 解析 复数 z1ai(i 是虚数单位)的模不大于 2， 即 1a24，即 a23，可得 a 3， 3 (2)若 x2yi 和 3xi 互为共轭复数，则实数 x 与 y 的值分别是_ 答案 1,
8、1 解析 由共轭复数的定义得 x23x， y1， 得 x1， y1. 1当2 3m1 时，复数 z(3m2)(m1)i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 D 解析 2 3m1，03m21，m1|xyi|y2i| 解析 由 34ixyi， x3，y4. 则|15i| 26，|xyi|34i|5， |y2i|42i|2 5， |15i|xyi|y2i|. 5在复平面内，O 是原点，OA ，OC ，AB 对应的复数分别为2i,32i,15i，那么BC对 应的复数为_ 答案 44i 解析
9、由复数的几何意义可知，OA (2,1)，OC (3,2)，AB (1,5)， OB OA AB (2,1)(1,5)(1,6)， BC OC OB (3,2)(1,6)(4，4)， BC 对应的复数为 44i. 1复数的几何意义 (1)复数 zabi(a，bR)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi) (2)复数 zabi(a，bR)的对应向量OZ 是以原点 O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因 为在复平面内与OZ 相等的向量有无数个 2复数的模 (1)复数 zabi(a，bR)的模|z| a2b2. (2)从几何意义上理解，复数 z 的模表示复数 z 对应的点 Z 和原点间的距离 3共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题