1、3.1 数系的扩充与复数的概念数系的扩充与复数的概念 3.1.1 实数系实数系 3.1.2 复数的概念复数的概念 学习目标 1.了解引入虚数单位 i 的必要性和数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实 数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法， 理解复数相等的充 要条件 知识点一 复数的概念及代数表示 思考 为解决方程 x22 在有理数范围内无根的问题，数系从有理数系扩充到实数系；那么 怎样解决方程 x210 在实数系中无根的问题呢？ 答案 设想引入新数 i，使 i 是方程 x210 的根，即 i i1，方程 x210 有解，同时 得到一些新数 梳理 (1)复数的概
2、念 设 a，b 都是实数，形如 abi 的数叫做复数 (2)复数的表示 复数通常用小写字母 z 表示，即 zabi(a，bR)，其中 a 叫做复数 z 的实部，b 叫做复数 z 的虚部，i 称作虚数单位 知识点二 复数的分类与复数相等的充要条件 思考 1 复数 zabi(a，bR)，当 b0 时，z 是什么数？ 答案 实数 思考 2 复数 zabi(a，bR)，当 a0 且 b0 时，z 是什么数？ 答案 纯虚数 梳理 (1)复数的分类 复数(abi，a，bR) 实数b0 虚数b0 纯虚数a0 非纯虚数a0 集合表示： (2)复数相等的充要条件 如果 a，b，c，d 都是实数，那么 abicd
3、iac，且 bd；abi0a0，且 b0. 1若 a，b 为实数，则 zabi 为虚数( ) 2复数 zbi 是纯虚数( ) 3若两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0，那么这两个复数相等( ) 类型一 复数的概念与分类 例 1 当实数 m 满足什么条件时，复数 lg(m22m7)(m25m6)i： (1)是纯虚数； (2)是实数； (3)是虚数 解 (1)当 lgm22m70， m25m60 时，复数 lg(m22m7)(m25m6)i 是纯虚数，解得 m 4. (2)当 m22m70， m25m60 时，复数 lg(m22m7)(m25m6)i 是实数，解得 m2 或 m 3. (3)当
4、m22m70， m25m60 时，复数 lg(m22m7)(m25m6)i 是虚数，解得 m12 2且 m2 且 m3. 反思与感悟 利用复数的代数形式对复数分类时， 关键是根据分类标准列出实部、 虚部应满 足的关系式(等式或不等式(组)，求解参数时，注意参数本身的取值范围，如分母不能为 0. 跟踪训练 1 实数 m 为何值时，复数 zmm2 m1 (m22m3)i 分别是(1)实数；(2)虚数； (3)纯虚数 解 (1)要使 z 是实数，m 需满足 m22m30，且mm2 m1 有意义， 即 m10，解得 m3. (2)要使 z 是虚数，m 需满足 m22m30，且mm2 m1 有意义， 即
5、 m10，解得 m1 且 m3. (3)要使 z 是纯虚数，m 需满足mm2 m1 0，m10， 且 m22m30， 解得 m0 或 m2. 类型二 复数相等 例 2 (1)已知 x2y22xyi2i，求实数 x，y 的值 (2)关于 x 的方程 3x2a 2x1(10 x2x 2)i 有实根，求实数 a 的值 解 (1)x2y22xyi2i， x2y20， 2xy2， 解得 x1， y1 或 x1， y1. (2)设方程的实数根为 xm，则原方程可变为 3m2a 2m1(10m2m 2)i， 3m2a 2m10， 10m2m20， 解得 a11 或 a71 5 . 反思与感悟 两个复数相等，
6、 首先要分清两复数的实部与虚部， 然后利用两个复数相等的充 要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数 跟踪训练 2 已知 M1，(m22m)(m2m2)i，P1,1,4i，若 MPP，求实数 m 的值 解 MPP，MP， (m22m)(m2m2)i1 或(m22m)(m2m2)i4i. 由(m22m)(m2m2)i1，得 m22m1， m2m20， 解得 m1； 由(m22m)(m2m2)i4i，得 m22m0， m2m24， 解得 m2. 综上可知 m1 或 m2. 1下列复数中，满足方程 x220 的是( ) A 1 B i C 2i D 2i 答案 C 2若(x21)(x23x2)
7、i 是纯虚数，则实数 x 的值是( ) A1 B1 C 1 D以上都不对 答案 A 解析 因为(x21)(x23x2)i 是纯虚数，所以 x210 且 x23x20，解得 x1，故 选 A. 3下列几个命题： 两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等； 两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等； 1ai(aR)是一个复数； 虚数的平方不小于 0； 1 的平方根只有一个，即为i； i 是方程 x410 的一个根； 2i 是一个无理数 其中真命题的个数为( ) A3 B4 C5 D6 答案 B 解析 命题正确，错误 4复数 43aa2i 与复数 a24ai 相等，则实数 a_. 答案 4 解析 根据复数相等的充要条件， 有 43aa2， a24a， 解得 a4. 5以 2i 5的虚部为实部，以 i2i2的实部为虚部的新复数是_ 答案 22i 解析 2i 5的虚部为 2，i2i22i， 其实部为2. 新复数 z22i. 1区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数 加以区别对于纯虚数 bi(b0，bR)不要只记形式，要注意 b0. 2应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实 部与虚部，然后列出等式求解 3若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实 数