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1.3.2 利用导数研究函数的极值(第2课时)利用导数研究函数的最值 学案(含答案)

1、第第 2 课时课时 利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的最值 学习目标 1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函 数的最值 知识点 函数的最大(小)值与导数 如图为 yf(x),xa,b的图象 思考 1 观察a,b上函数 yf(x)的图象,试找出它的极大值、极小值 答案 极大值为 f(x1),f(x3),极小值为 f(x2),f(x4) 思考 2 结合图象判断,函数 yf(x)在区间a,b上是否存在最大值,最小值?若存在,分 别为多少? 答案 存在,f(x)minf(a),f(x)maxf(x3) 思考 3 函数 yf(x)在a,b上的最大(小)值一定是某

2、极值吗? 答案 不一定,也可能是区间端点的函数值 思考 4 怎样确定函数 f(x)在a,b上的最小值和最大值? 答案 比较极值与区间端点的函数值,最大的是最大值,最小的是最小值 梳理 (1)函数的最值 假设函数 yf(x)在闭区间a,b上的图象是一条连续不间断的曲线,则该函数在a,b内一 定能够取得最大值与最小值, 函数的最值必在极值点或区间端点取得, 由于可导函数在区间 (a, b)内的极值只可能在使 f(x)0的点取得, 因此把函数在区间端点的值与区间内使 f(x) 0 的点的值作比较,最大者必为函数在a,b上的最大值,最小者必为最小值 (2)求函数 yf(x)在a,b上的最大(小)值的步

3、骤 求 f(x)在开区间(a,b)内所有使 f(x)0 的点 计算函数 f(x)在区间内使 f(x)0 的所有点和端点的函数值,其中最大的一个为最大值, 最小的一个为最小值. 类型一 求函数的最值 命题角度1 不含参数的函数求最值 例 1 已知函数 f(x)x33x,xR. (1)求 f(x)的单调区间; (2)当 x 3,3时,求 f(x)的最大值与最小值 解 (1)f(x)3x233(x1)(x1), 当 x1 时,f(x)0; 当1x1 时,f(x)0,b2,当 x1,1时,求 f(x)的最小值 解 (1)f(x)3ax23x, 由 f(2)6,得 a1. 由切线方程为 y6x8,得 f

4、(2)4. 又 f(2)8a6bb2,所以 b2, 所以 a1,b2. (2)f(x)3ax23x3x(ax1) 令 f(x)0,解得 x0 或 x1 a,分以下两种情况讨论: 若1 a1,即 0a1, 当 x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: x (1,0) 0 (0,1) f(x) 0 f(x) 极大值 f(1)a3 22,f(1)a 3 22, 所以 f(x)minf(1)1 2a. 若 01 a1, 当 x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: x (1,0) 0 0,1 a 1 a 1 a,1 f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 f(1)1 2a,f 1

5、a 2 1 2a2. 而 f 1 a f(1)2 1 2a2 1 2a 3 2a 1 2a20, 所以 f(x)minf(1)1 2a. 综合知,f(x)minf(1)1 2a. 反思与感悟 对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于 0,等于 0,小于 0 三种情况若 导函数恒不等于 0,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函数可能等 于 0,则求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值 跟踪训练 2 求函数 f(x)1 3x 34x4 在0,a(a0)上的最大值和最小值 解 f(x)x24. 令 f(x)0,得 x2 或 x2(舍去) 因为 0 xa,所以当 02 时,当 x

6、 变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: x 0 (0,2) 2 (2,a) a f(x) f(x) 4 4 3 1 3a 34a4 从上表可知:当 x2 时,f(x)取最小值 f(2)4 3,f(x)的最大值为 f(0)与 f(a)中较大的一个 所以当 22 3时,f(x)的最大值为 f(a)1 3a 34a4. 综上可得: 当 0a2 时,f(x)min1 3a 34a4,f(x) max4; 当 22 3时,f(x)min4 3,f(x)max 1 3a 34a4. 类型二 由函数的最值求参数 例 3 (1)已知函数 f(x)ax36ax2b,x1,2的最大值为 3,最小值为29,

7、求 a,b 的 值 解 由题设知 a0,否则 f(x)b 为常数函数,与题设矛盾 求导得 f(x)3ax212ax3ax(x4), 令 f(x)0,得 x10,x24(舍去) 当 a0,且当 x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: x 1 (1,0) 0 (0,2) 2 f(x) 0 f(x) 7ab b 16ab 由表可知,当 x0 时, f(x)取得极大值 b,也就是函数在1,2上的最大值, f(0)b3. 又 f(1)7a3,f(2)16a3f(1), f(2)16a329,解得 a2. 当 af(1), f(2)16a293,解得 a2. 综上可得 a2,b3 或 a2,b2

8、9. (2)已知 h(x)x33x29x1 在区间k,2上的最大值是 28,求 k 的取值范围 解 h(x)x33x29x1,h(x)3x26x9. 令 h(x)0,解得 x13,x21, 当 x 变化时,h(x)及 h(x)的变化情况如下表: x (,3) 3 (3,1) 1 (1,) h(x) 0 0 h(x) 28 4 当 x3 时,f(x)取极大值 28; 当 x1 时,f(x)取极小值4. 而 h(2)30,求 f(x)的最小值为 2 时的 m 的值 解 因为 f(x)xm x2 (x0), 所以当 x(0,m)时, f(x)0,f(x)在(m,)上是增函数, 所以当 xm 时, f

9、(x)取得极小值,也是最小值,即极小值为 2, 即 f(m)ln mm m2,所以 me. 类型三 与最值有关的恒成立问题 例4 (1)已知2xln xx2ax3对一切x(0, )恒成立, 则a的取值范围为_ 答案 (,4 解析 由 2xln xx2ax3(x0), 得 a2ln xx3 x(x0) 设 h(x)2ln x3 xx(x0) 则 h(x)x3x1 x2 , 当 x(0,1)时,h(x)0,h(x)为单调增函数 h(x)minh(1)4. ah(x)min4. (2)设函数 f(x)tx22t2xt1(xR,t0),h(t)为 f(x)的最小值 求 h(t); 若 h(t)0),

10、当 xt 时,f(x)取最小值 f(t)t3t1, 即 h(t)t3t1. 令 g(t)h(t)(2tm)t33t1m, 由 g(t)3t230,得 t1,t1(不合题意,舍去) 当 t 变化时,g(t),g(t)的变化情况如下表: t (0,1) 1 (1,2) g(t) 0 g(t) 1m g(t)在(0,2)内有最大值 g(1)1m. h(t)2tm 在(0,2)内恒成立等价于 g(t)0 在(0,2)内恒成立,即等价于 1m0, m 的取值范围为(1,) 反思与感悟 分离参数法求解不等式恒成立问题的步骤 跟踪训练 4 设 f(x)ln x,g(x)f(x)f(x) (1)求 g(x)的

11、单调区间和最小值; (2)求 a 的取值范围,使得 g(a)g(x)0 成立 解 (1)由题设知 f(x)的定义域为(0,), f(x)1 x,g(x)ln x 1 x,所以 g(x) x1 x2 . 令 g(x)0,得 x1.当 x(0,1)时,g(x)0, 故(1,)是 g(x)的单调增区间 因此,x1 是 g(x)在(0,)上的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最 小值为 g(1)1. (2)g(a)g(x)0 成立, 即 ln a0 成立 由(1)知,g(x)的最小值为 1, 所以 ln a1,解得 0a0 时,x0; 当 f(x)0 时,2x0)在1,)上的最大值为 3

12、3 ,则实数 a 的值为_ 答案 31 解析 f(x) ax2 x2a2, 当 x a时, f(x)0,f(x)为单调减函数; 当 ax0,f(x)为单调增函数 若 a1,即 a1, 则当 x1,)时, f(x)maxf( a) a 2a 3 3 , 解得 a 3 2 1,不合题意, a1,且当 x1,)时, f(x)maxf(1) 1 1a 3 3 , 解得 a 31,满足 a1. 综上,实数 a 的值为 31. 1求函数在闭区间上的最值,只需比较极值和端点处的函数值即可;若函数在一个开区间 内只有一个极值,这个极值就是最值 2已知最值求参数时,可先用参数表示最值,注意分类讨论,再利用最值求出参数 3“恒成立”问题可转化为函数最值问题