1、第第 2 课时课时 利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的最值 学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函 数的最值 知识点 函数的最大(小)值与导数 如图为 yf(x)，xa，b的图象 思考 1 观察a，b上函数 yf(x)的图象，试找出它的极大值、极小值 答案 极大值为 f(x1)，f(x3)，极小值为 f(x2)，f(x4) 思考 2 结合图象判断，函数 yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分 别为多少？ 答案 存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3) 思考 3 函数 yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是某
2、极值吗？ 答案 不一定，也可能是区间端点的函数值 思考 4 怎样确定函数 f(x)在a，b上的最小值和最大值？ 答案 比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值 梳理 (1)函数的最值 假设函数 yf(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在a，b内一 定能够取得最大值与最小值， 函数的最值必在极值点或区间端点取得， 由于可导函数在区间 (a， b)内的极值只可能在使 f(x)0的点取得， 因此把函数在区间端点的值与区间内使 f(x) 0 的点的值作比较，最大者必为函数在a，b上的最大值，最小者必为最小值 (2)求函数 yf(x)在a，b上的最大(小)值的步
3、骤 求 f(x)在开区间(a，b)内所有使 f(x)0 的点 计算函数 f(x)在区间内使 f(x)0 的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值， 最小的一个为最小值. 类型一 求函数的最值 命题角度1 不含参数的函数求最值 例 1 已知函数 f(x)x33x，xR. (1)求 f(x)的单调区间； (2)当 x 3，3时，求 f(x)的最大值与最小值 解 (1)f(x)3x233(x1)(x1)， 当 x1 时，f(x)0； 当1x1 时，f(x)0，b2，当 x1,1时，求 f(x)的最小值 解 (1)f(x)3ax23x， 由 f(2)6，得 a1. 由切线方程为 y6x8，得 f
4、(2)4. 又 f(2)8a6bb2，所以 b2， 所以 a1，b2. (2)f(x)3ax23x3x(ax1) 令 f(x)0，解得 x0 或 x1 a，分以下两种情况讨论： 若1 a1，即 0a1， 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x (1,0) 0 (0,1) f(x) 0 f(x) 极大值 f(1)a3 22，f(1)a 3 22， 所以 f(x)minf(1)1 2a. 若 01 a1， 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x (1,0) 0 0，1 a 1 a 1 a，1 f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 f(1)1 2a，f 1
5、a 2 1 2a2. 而 f 1 a f(1)2 1 2a2 1 2a 3 2a 1 2a20， 所以 f(x)minf(1)1 2a. 综合知，f(x)minf(1)1 2a. 反思与感悟 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于 0，等于 0，小于 0 三种情况若 导函数恒不等于 0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等 于 0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值 跟踪训练 2 求函数 f(x)1 3x 34x4 在0，a(a0)上的最大值和最小值 解 f(x)x24. 令 f(x)0，得 x2 或 x2(舍去) 因为 0 xa，所以当 02 时，当 x
6、 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x 0 (0,2) 2 (2，a) a f(x) f(x) 4 4 3 1 3a 34a4 从上表可知：当 x2 时，f(x)取最小值 f(2)4 3，f(x)的最大值为 f(0)与 f(a)中较大的一个 所以当 22 3时，f(x)的最大值为 f(a)1 3a 34a4. 综上可得： 当 0a2 时，f(x)min1 3a 34a4，f(x) max4； 当 22 3时，f(x)min4 3，f(x)max 1 3a 34a4. 类型二 由函数的最值求参数 例 3 (1)已知函数 f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为 3，最小值为29，
7、求 a，b 的 值 解 由题设知 a0，否则 f(x)b 为常数函数，与题设矛盾 求导得 f(x)3ax212ax3ax(x4)， 令 f(x)0，得 x10，x24(舍去) 当 a0，且当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x 1 (1,0) 0 (0,2) 2 f(x) 0 f(x) 7ab b 16ab 由表可知，当 x0 时， f(x)取得极大值 b，也就是函数在1,2上的最大值， f(0)b3. 又 f(1)7a3，f(2)16a3f(1)， f(2)16a329，解得 a2. 当 af(1)， f(2)16a293，解得 a2. 综上可得 a2，b3 或 a2，b2
8、9. (2)已知 h(x)x33x29x1 在区间k,2上的最大值是 28，求 k 的取值范围 解 h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9. 令 h(x)0，解得 x13，x21， 当 x 变化时，h(x)及 h(x)的变化情况如下表： x (，3) 3 (3,1) 1 (1，) h(x) 0 0 h(x) 28 4 当 x3 时，f(x)取极大值 28； 当 x1 时，f(x)取极小值4. 而 h(2)30，求 f(x)的最小值为 2 时的 m 的值 解 因为 f(x)xm x2 (x0)， 所以当 x(0，m)时， f(x)0，f(x)在(m，)上是增函数， 所以当 xm 时， f
9、(x)取得极小值，也是最小值，即极小值为 2， 即 f(m)ln mm m2，所以 me. 类型三 与最值有关的恒成立问题 例4 (1)已知2xln xx2ax3对一切x(0， )恒成立， 则a的取值范围为_ 答案 (，4 解析 由 2xln xx2ax3(x0)， 得 a2ln xx3 x(x0) 设 h(x)2ln x3 xx(x0) 则 h(x)x3x1 x2 ， 当 x(0,1)时，h(x)0，h(x)为单调增函数 h(x)minh(1)4. ah(x)min4. (2)设函数 f(x)tx22t2xt1(xR，t0)，h(t)为 f(x)的最小值 求 h(t)； 若 h(t)0)，
10、当 xt 时，f(x)取最小值 f(t)t3t1， 即 h(t)t3t1. 令 g(t)h(t)(2tm)t33t1m， 由 g(t)3t230，得 t1，t1(不合题意，舍去) 当 t 变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表： t (0,1) 1 (1,2) g(t) 0 g(t) 1m g(t)在(0,2)内有最大值 g(1)1m. h(t)2tm 在(0,2)内恒成立等价于 g(t)0 在(0,2)内恒成立，即等价于 1m0， m 的取值范围为(1，) 反思与感悟 分离参数法求解不等式恒成立问题的步骤 跟踪训练 4 设 f(x)ln x，g(x)f(x)f(x) (1)求 g(x)的
11、单调区间和最小值； (2)求 a 的取值范围，使得 g(a)g(x)0 成立 解 (1)由题设知 f(x)的定义域为(0，)， f(x)1 x，g(x)ln x 1 x，所以 g(x) x1 x2 . 令 g(x)0，得 x1.当 x(0,1)时，g(x)0， 故(1，)是 g(x)的单调增区间 因此，x1 是 g(x)在(0，)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最 小值为 g(1)1. (2)g(a)g(x)0 成立， 即 ln a0 成立 由(1)知，g(x)的最小值为 1， 所以 ln a1，解得 0a0 时，x0； 当 f(x)0 时，2x0)在1，)上的最大值为 3
12、3 ，则实数 a 的值为_ 答案 31 解析 f(x) ax2 x2a2， 当 x a时， f(x)0，f(x)为单调减函数； 当 ax0，f(x)为单调增函数 若 a1，即 a1， 则当 x1，)时， f(x)maxf( a) a 2a 3 3 ， 解得 a 3 2 1，不合题意， a1，且当 x1，)时， f(x)maxf(1) 1 1a 3 3 ， 解得 a 31，满足 a1. 综上，实数 a 的值为 31. 1求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间 内只有一个极值，这个极值就是最值 2已知最值求参数时，可先用参数表示最值，注意分类讨论，再利用最值求出参数 3“恒成立”问题可转化为函数最值问题