1、1.4 定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理 1.4.1 曲边梯形面积与定积分曲边梯形面积与定积分 学习目标 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积及变力 所做的功.3.了解定积分的概念，理解定积分的几何意义.4.掌握定积分的基本性质 知识点一 曲边梯形的面积 思考 1 如图，为求由抛物线 yx2与直线 x1，y0 所围成的平面图形的面积 S，该图形 与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？ 答案 已知图形是由直线 x1，y0 和曲线 yx2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的 一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段 思考 2 能否将求曲边梯形的面
2、积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤) 答案 分割；近似代替；求和；取极限 梳理 (1)曲边梯形 曲线与平行于 y 轴的直线和 x 轴所围成的图形，称为曲边梯形 (2)求曲边梯形面积的方法 求由直线 xa，xb(ab)，y0 和曲线 yf(x)所围成的曲边梯形(如图)的面积的步骤 分割：把区间a，b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图) 近似代替： 对每个小曲边梯形“以直代曲”， 即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积， 得到每个小曲边梯形的面积的近似值 求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和 取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯
3、形的面积之和趋向一个定值，即为 曲边梯形的面积 知识点二 定积分的概念与基本性质 思考 分析求曲边梯形的面积和变力所做的功，找一下它们的共同点 答案 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特 定形式和的极限 梳理 定积分的有关概念与基本性质 (1)函数定积分的定义 设函数 yf(x)定义在区间a，b上(如图)， 用分点 ax0x1x2xn1xnb，把区间a，b分为 n 个小区间，其长度依次为 xixi1 xi，i0,1,2，n1.记 为这些小区间长度的最大者，当 趋近于 0 时，所有的小区间 长度都趋近于 0，在每个小区间内任取一点 i，作和式 In i0 n
4、1 f (i)xi. 当 0 时，如果和式的极限存在，我们把和式 In的极限叫做函数 f(x)在区间a，b上的定积 分，记作baf(x)dx. (2)定积分的定义式 baf(x)dxlim 0 i0 n1 f(i)xi. (3)定积分的相关名称 符号 f(x) f(x)dx x a b a，b 相关 名称 积分号 被积函数 被积式 积分 变量 积分 下限 积分 上限 积分区间 (4)定积分的基本性质 bacf(x)dxcbaf(x)dx(c 为常数) baf(x)g(x)dxbaf(x)dxbag(x)dx. 1当 n 很大时，函数 f(x)x2在区间 i1 n ，i n 上的值，只能用 i
5、n 2近似代替( ) 2利用求和符号计算 i1 4 i(i1)40.( ) 3baf(x)dxbaf(t)dt.( ) 4baf(x)dx 的值一定是一个正数( ) 5ba x3 1 2 x dxbax3dxba 1 2 xdx.( ) 类型一 求曲边梯形的面积 例 1 求直线 x0，x2，y0 与曲线 yx21 所围成的曲边梯形的面积参考公式 1222 n21 6n(n1) (2n1) 解 令 f(x)x21. (1)分割 将区间0,2n 等分，分点依次为 x00，x12 n，x2 4 n，xn1 2n1 n ，xn2. 第 i 个区间为 2i2 n ，2i n (i1,2，n)，每个区间长
6、度为 x2i n 2i2 n 2 n. (2)近似代替、求和 取 i2i n(i1,2，n)， Sn i1 n f 2i n x i1 n 2i n 21 2 n 8 n3 i1 n i22 8 n3(1 222n2)28 n3 nn12n1 6 2 4 3 23 n 1 n2 2. (3)取极限 Slim nSnlimn 4 3 23 n 1 n2 2 14 3 ， 即所求曲边梯形的面积为14 3 . 反思与感悟 求曲边梯形的面积 (1)思想：以直代曲 (2)步骤：分割近似代替求和取极限 (3)关键：近似代替 (4)结果：分割越细，面积越精确 (5)求和时可用到一些常见的求和公式，如 123
7、nnn1 2 ， 122232n2nn12n1 6 ， 132333n3 nn1 2 2. 跟踪训练 1 求由抛物线 yx2与直线 y4 所围成的曲边梯形的面积 解 yx2为偶函数，图象关于 y 轴对称， 所求曲边梯形的面积应为抛物线 yx2(x0)与直线 x0， y4 所围图形面积 S阴影的 2 倍， 下面求 S阴影 由 yx2x0， y4， 得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线 x0，x2，y0 和曲线 yx2围成的曲边梯形的面 积 (1)分割 将区间0,2 n 等分，则 x2 n， 取 i 2i1 n . (2)近似代替、求和 Sn i1 n 2i1 n 2 2 n 8 n31 22
8、232(n1)28 3 11 n 1 1 2n . (3)取极限 Slim nSnlimn 8 3 11 n 1 1 2n 8 3. 所求平面图形的面积为 S阴影248 3 16 3 . 2S阴影32 3 ， 即抛物线 yx2与直线 y4 所围成的图形面积为32 3 . 类型二 利用定积分表示曲边梯形的面积 例 2 利用定积分表示由直线 yx2，曲线 xy2围成的平面区域的面积 S. 解 曲线所围成的平面区域如图所示， SA1A2， 其中， A1由 y x， y x， x1 围成， A2由 y x，yx2，x1 围成 A110 x( x)dx 102 xdx， A241 x(x2)dx. S1
9、02 xdx41( xx2)dx. 反思与感悟 (1)定积分的几何意义：当函数 f(x)在区间a，b上恒为正时，定积分baf(x)dx 的 几何意义是以曲线 f(x)为曲边的曲边梯形的面积一般情况下，如图，定积分baf(x)dx 的几何 意义是介于 x 轴、函数 f(x)的图象以及直线 xa，xb 之间各部分面积的代数和，在 x 轴上 方的面积取正号，在 x 轴下方的面积取负号 (2)利用定积分表示曲线围成的面积时，关键是弄清定积分的几何意义，特别注意符号问题， 定积分的值可正可负可为零，而面积是正值 跟踪训练 2 利用定积分表示下图中阴影部分的面积 则(1)_； (2)_ 答案 (1) 2
10、1 2 1 dx x (2)11(x21)dx 类型三 利用定积分的几何意义求定积分 例 3 说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值 (1)102dx； (2)21xdx； (3)111x2dx. 解 (1)102dx 表示的是图中阴影部分所示的长方形的面积， 由于这个长方形的面积为 2， 所 以102dx2. (2)21xdx 表示的是图中阴影部分所示的梯形的面积，由于这个梯形的面积为3 2，所以 2 1xdx 3 2. (3)111x2dx 表示的是图中阴影部分所示的半径为 1 的半圆的面积，其值为 2，所以 1 1 1x2dx 2. 引申探究 1将本例(3)改为利用定积分
11、的几何意义，求101x2dx. 解 101x2dx 表示的是图中阴影部分所示半径为 1 的圆的1 4的面积， 其值为 4， 1 0 1x2 dx 4. 2. 将本例(3)改为利用定积分的几何意义，求101x12dx. 解 101x12dx 表示的是图中阴影部分所示半径为 1 的圆的1 4的面积，其值为 4， 1 0 1x12dx 4. 3将本例(3)改为利用定积分的几何意义， 求11(x 1x2)dx. 解 由定积分的性质，得11(x 1x2)dx 11xdx111x2dx. yx 是奇函数，11xdx0. 由例 3(3)知111x2dx 2. 11(x 1x2)dx 2. 反思与感悟 利用定
12、积分所表示的几何意义求baf(x)dx 的值的关键是确定由曲线 yf(x)， 直线 xa，直线 xb 及 x 轴所围成的平面图形的形状常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆 等可求面积的平面图形 跟踪训练 3 用定积分的几何意义求： (1)10(3x2)dx； (2) 3 2 2 sin d ;x x (3)33(|x1|x1|4)dx. 解 (1)如图 1，阴影部分面积为251 2 7 2， 从而10(3x2)dx7 2. (2)如图 2，由于 A 的面积等于 B 的面积， 从而 3 2 2 sin d0.x x (3)令 f(x)|x1|x1|4， 作出 f(x)在区间3，3上的图象， 如图
13、 3 所示，易知定积分33f(x)dx 表示的就是图中阴影部分的面积的代数和 阴影部分的面积 S1S31，S26， 33(|x1|x1|4)dx1164. 1下列结论中成立的个数是( ) 10 x3dx i1 n i3 n3 1 n； 1 0 x 3dxlim n i1 n i13 n3 1 n； 1 0 x 3dxlim n i1 n i3 n3 1 n. A0 B1 C2 D3 答案 C 解析 成立 2关于定积分 a21(2)dx 的叙述正确的是( ) A被积函数为 y2，a6 B被积函数为 y2，a6 C被积函数为 y2，a6 D被积函数为 y2，a6 答案 C 解析 由定积分的概念可知
14、，21(2)dx 中的被积函数为 y2，由定积分的几何意义知， 21(2)dx 等于由直线 x1，x2，y0，y2 所围成的图形的面积的相反数，21( 2)dx236. 3求由曲线 y1 2x 2与直线 x1，x2，y0 所围成的平面图形面积时，把区间 5 等分，则 面积的近似值(取每个小区间的左端点)是_ 答案 1.02 解析 将区间 5 等分所得的小区间为 1，6 5 ， 6 5， 7 5 ， 7 5， 8 5 ， 8 5， 9 5 ， 9 5，2 ，于是所求平 面图形的面积近似等于 1 10 136 25 49 25 64 25 81 25 1 10 255 25 1.02. 4502(
15、x2)dx_. 答案 5 解析 50(x2)dxS2S11 23 21 22 25 2， 故502(x2)dx5. 5计算： 3 2 2 (25sin )d .xx 解 由定积分的几何意义，得 3 2 2 2dx 3 2 2 22. 由定积分的几何意义，得 3 2 2 sin d0.x x 所以 333 222 222 (25sin )d2d5sin d2.xxxx x 1定积分baf(x)dx 是一个和式 i1 n ba n f(i)的极限，是一个常数 2可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分对于一些特殊函数，也可以利用 几何意义求定积分 3几类曲边梯形的面积与定积分的关系 面积 图示 Sbaf(x)dx Sbaf(x)dx Scaf(x)dxbcf(x)dx Sbaf(x)g(x)dx