1、1.2 导数的运算导数的运算 1.2.1 常数函数与幂函数的导数常数函数与幂函数的导数 1.2.2 导数公式表及数学软件的应用导数公式表及数学软件的应用 学习目标 1.能根据定义求函数 yC，yx，yx2，yx3，y1 x，y x的导数.2.能利用给 出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数 知识点一 几个常用函数的导数 (1)若 yf(x)C，则 f(x)0. (2)若 yf(x)x，则 f(x)1. (3)若 yf(x)x2，则 f(x)2x_. (4)若 yf(x)x3，则 f(x)3x2. (5)若 yf(x)1 x，x0，则 f(x)x 2_1 x2(x0) (6)若 yf(x)
2、x，x0，则 f(x) 1 2 1 2 x 1 2 x(x0) 知识点二 基本初等函数的导数公式表 yf(x) yf(x) yc y0 yxn(nN) ynxn 1，n 为正整数 yx(x0，0 且 Q) yx 1， 为有理数 yax(a0，a1) yaxln a ylogax(a0，a1，x0) y 1 xln a ysin x ycos_x ycos x ysin_x 特别提醒：(1)记忆公式时要采用对比的方法来记忆 将 xu与 ax对比记忆，两公式最易混淆 将 ax与 logax 对比记忆，并且要强化记忆，这两个公式最难记 将 sin x 与 cos x 对比记忆，注意正、负号问题 (2
3、)函数 f(x)logax 的导数公式为 f(x)(logax) 1 xln a， 当 ae 时， 上述公式就变为(ln x) 1 x，即 f(x)ln x 是 f(x)logax 当 ae 时的特殊情况类似地，还有 f(x)a x，当 ae 时， (ex)ex. 1若 y 2，则 y1 221.( ) 2若 f(x)sin x，则 f(x)cos x( ) 3f(x) 1 x3，则 f(x) 3 x4.( ) 类型一 利用导数公式求函数的导数 例 1 求下列函数的导数 (1)ycos 6；(2)y 1 x5；(3)y x2 x； (4)ylg x；(5)y5x；(6)ycos 2x . 解
4、(1)y0. (2)y 1 x5x 5，y(x5)5x65 x6. (3)y x2 x 3 2 x，y( 3 2 x) 1 2 3 2 x3 2 x. (4)y 1 xln 10. (5)y5xln 5. (6)ycos 2x sin x，y(sin x)cos x. 反思与感悟 若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形 后求导，如根式化指数幂的形式求导 跟踪训练 1 求下列函数的导数 (1)yx12； (2)y 5 x3； (3)ylog2x； (4)y2sin x 2cos x 2. 解 (1)y(x12)12x11. (2)y( 5 x3)( 3 5 x)3
5、5 2 5 x 3 55x2 . (3)y(log2x) 1 xln 2. (4)y 2sin x 2cos x 2 (sin x)cos x. 类型二 导数公式的综合应用 命题角度1 利用导数公式解决切线问题 例 2 (1)已知 P，Q 为抛物线 y1 2x 2上两点，点 P，Q 的横坐标分别为 4，2，过 P，Q 分 别作抛物线的切线，两切线交于点 A，则点 A 的坐标为_ 答案 (1，4) 解析 由抛物线方程，得 yx， kPAy|x44，kQAy|x22. P(4,8)，Q(2,2)， PA 的直线方程为 y84(x4)， 即 y4x8. QA 的直线方程为 y22(x2)，即 y2x
6、2. 联立方程组 y4x8， y2x2， 得 x1， y4， A(1，4) (2)已知两条曲线 y1sin x，y2cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两 条曲线的切线互相垂直？并说明理由 解 设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直， 则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为 k1y1| 0 xx cos x0，k2y2| 0 xx sin x0. 要使两切线垂直，必须有 k1k2cos x0(sin x0)1， 即 sin 2x02，这是不可能的 两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直 反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用以下三个条
7、件联立方程解决 (1)切点处的导数是切线的斜率 (2)切点在切线上 (3)切点又在曲线上 跟踪训练 2 已知直线 ykx 是曲线 y1ln x 的一条切线，则 k_. 答案 1 e 解析 设切点坐标为(x0，y0)， 由题意得 y1| 0 xx 1 x0k， 又 y0kx0， 而且 y0ln x0， 由可得 x0e，y01，则 k1 e. 命题角度2 利用导数公式求最值问题 例 3 求抛物线 yx2上的点到直线 xy20 的最短距离 解 设切点坐标为(x0，x20)，依题意知与直线 xy20 平行的抛物线 yx2的切线的切点到 直线 xy20 的距离最短 y(x2)2x，2x01，x01 2，
8、 切点坐标为 1 2， 1 4 ， 所求的最短距离 d 1 2 1 42 2 7 2 8 . 反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点 P(x0，y0)处的切线方程， 可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关解题时 可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算 跟踪训练 3 已知 A，B，C 三点在曲线 y x上，其横坐标依次为 1，m,4(1m4)，当ABC 的面积最大时，m 的值为_ 答案 9 4 解析 如图，在ABC 中，边 AC 是确定的，要使ABC 的面积最大，则点 B 到直线 AC 的 距离应最大，可以将直线 A
9、C 作平行移动，显然当直线与曲线相切时，距离达到最大，即当 在点 B 处的切线平行于直线 AC 时，ABC 的面积最大 y|xm 1 2 m， 又 A 点坐标为(1,1)，C 点坐标为(4,2)， kAC21 41 1 3， 1 2 m 1 3，m 9 4. 1下列函数求导运算正确的个数为( ) (3x)3xlog3e；(log2x) 1 xln 2； 1 ln xx；若 y 1 x2，则 y|x3 2 27. A1 B2 C3 D4 答案 C 解析 中(3x)3xln 3，均正确 2函数 f(x)x3的斜率等于 1 的切线有( ) A1 条 B2 条 C3 条 D不确定 答案 B 解析 设切
10、点为(x0，y0)，f(x0)3x201， x0 3 3 .故斜率等于 1 的切线有 2 条 3设函数 f(x)logax，f(1)1，则 a_. 答案 1 e 解析 f(x) 1 xln a，则 f(1) 1 ln a1，a 1 e. 4过原点作曲线 yex的切线，则切点的坐标为_，切线的斜率为_ 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 (1，e) e 解析 设切点坐标为(x0，y0)， 切线的斜率为 y| 0 xx 0 ex，则 0 exy00 x00， 又 y0 0 ex， 由可得 x01，切点坐标为(1，e)，切线的斜率为 e. 5求过曲线 ysin x 上点 P 6
11、， 1 2 且与在这一点处的切线垂直的直线方程 解 曲线 ysin x 在点 P 6， 1 2 处切线的斜率 ky| 6 x cos 6 3 2 ， 则与切线垂直的直线的斜率为2 3 3 ， 所求直线方程为 y1 2 2 3 3 x 6 ， 即 12 3x18y2 390. 1 利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数， 其关键是牢记和运用好导数公 式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归 2有些函数可先化简再应用公式求导 如求 y12sin2x 2的导数因为 y12sin 2x 2cos x， 所以 y(cos x)sin x. 3对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化