1、1.1.2 瞬时速度与导数瞬时速度与导数 学习目标 1.理解瞬时速度及瞬时变化率的定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体 在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率.3.理解并掌握导数的概念， 掌握求函数在一点处的导数 的方法.4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数 知识点一 瞬时速度与瞬时变化率 一质点的运动方程为 s83t2，其中 s 表示位移，t 表示时间 思考 1 试求质点在1,1t这段时间内的平均速度 答案 s t 831t28312 t 63t. 思考 2 当 t 趋近于 0 时思考 1 中的平均速度趋近于几？怎样理解这一速度？ 答案 当 t 趋近于 0 时，s t趋近
2、于6，这时的平均速度即为 t1 时的瞬时速度 梳理 瞬时速度与瞬时变化率 (1)物体运动的瞬时速度 设物体运动路程与时间的关系是 sf(t)，当 t 趋近于 0 时，函数 f(t)在 t0到 t0t 之间的平 均变化率ft0tft0 t 趋近于某个常数，这个常数称为 t0时刻的瞬时速度 (2)函数的瞬时变化率 设函数 yf(x)在 x0及其附近有定义，当自变量在 xx0附近改变量为 x 时，函数值相应地 改变 yf(x0 x)f(x0)，如果当 x 趋近于 0 时，平均变化率y x fx0 xfx0 x 趋近于 一个常数 l，则常数 l 称为函数 f(x)在点 x0处的瞬时变化率 记作：当 x
3、0 时，fx0 xfx0 x l. 上述过程，通常也记作lim x0 fx0 xfx0 x l. 知识点二 yf(x)在点 x0处的导数 (1)函数 yf(x)在点 x0处的导数定义式： f(x0)lim x0 fx0 xfx0 x . (2)实质：函数 yf(x)在点 x0处的导数即函数 yf(x)在点 x0处的瞬时变化率 知识点三 导函数 对于函数 f(x)x22. 思考 1 如何求 f(1)，f(0)，f 1 2 ，f(a)(aR)? 答案 f(x0)lim x0 x0 x22x202 x lim x0(2x0 x)2x0， f(1)2，f(0)0，f 1 2 1，f(a)2a. 思考
4、2 若 a 是一变量，则 f(a)是常量吗？ 答案 f(a)2a，说明 f(a)不是常量，而是关于 a 的函数 梳理 导函数的概念 (1)函数可导的定义 如果 f(x)在开区间(a，b)内每一点 x 都是可导的，则称 f(x)在区间(a，b)可导 (2)导函数的定义 条件：f(x)在区间(a，b)可导 定义：对开区间(a，b)内每个值 x，都对应一个确定的导数 f(x)，于是，在区间(a，b)内 f(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数 yf(x)的导函数 导函数记法：f(x)或 y(或 yx) 1瞬时变化率是刻画某函数值在区间x1，x2上变化快慢的物理量( ) 2函数 yf(x)在
5、xx0处的导数值与 x 的正、负无关( ) 3函数在一点处的导数 f(x0)是一个常数( ) 类型一 求瞬时速度 例 1 某物体的运动路程 s(单位：m)与时间 t(单位：s)的关系可用函数 s(t)t2t1 表示， 求物体在 t1 s 时的瞬时速度 解 s t s1ts1 t 1t 21t11211 t 3t， lim t0 s tlimt0(3t)3， 物体在 t1 s 处的瞬时变化率为 3， 即物体在 t1 s 时的瞬时速度为 3 m/s. 引申探究 1若本例中的条件不变，试求物体的初速度 解 求物体的初速度，即求物体在 t0 s 时的瞬时速度 s t s0ts0 t 0t 20t11
6、t 1t， lim t0(1t)1， 物体在 t0 s 时的瞬时变化率为 1， 即物体的初速度为 1 m/s. 2若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为 9 m/s. 解 设物体在 t0时刻的瞬时速度为 9 m/s. 又s t st0tst0 t (2t01)t， lim t0 s tlimt0(2t01t)2t01， 2t019，t04. 即物体在 4 s 时的瞬时速度为 9 m/s. 反思与感悟 (1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解题的常 见错误 (2)求运动物体瞬时速度的三个步骤 求时间改变量 t 和位移改变量 ss(t0t)s(t0) 求平均速度
7、 v s t. 求瞬时速度 vlim t0 s t. 跟踪训练 1 一质点 M 按运动方程 s(t)at21 做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)， 若质点 M 在 t2 s 时的瞬时速度为 8 m/s，求常数 a 的值 解 质点 M 在 t2 s 时的瞬时速度即为函数在 t2 s 处的瞬时变化率 质点 M 在 t2 s 附近的平均变化率为 s t s2ts2 t a2t 24a t 4aat， 又lim t0 s t4a8，a2. 类型二 求函数在某一点处的导数 例 2 (1)设函数 yf(x)在 xx0处可导，且lim x0 fx03xfx0 x a，则 f(x0)_. 答案 1 3a
8、 解析 lim x0 fx03xfx0 x lim x0 fx03xfx0 3x 3 3f(x0)a， f(x0)1 3a. (2)利用导数的定义求函数 yf(x) x在 x1 处的导数 解 yf(1x)f(1) 1x1， y x 1x1 x 1 1x1， f(1)lim x0 y xlimx0 1 1x1 1 2. 反思与感悟 (1)求函数 yf(x)在点 x0处的导数的三个步骤 简称：一差，二比，三极限 (2)瞬时变化率的变形形式 lim x0 fx0 xfx0 x lim x0 fx0 xfx0 x lim x0 fx0nxfx0 nx lim x0 fx0 xfx0 x 2x f(x0
9、) 跟踪训练 2 已知 f(x)3x2，f(x0)6，求 x0. 解 f(x0)lim x0 fx0 xfx0 x lim x0 3x0 x23x20 x lim x0(6x03x)6x0， 又 f(x0)6，6x06，即 x01. 1 设函数 f(x)在点 x0附近有定义， 且有 f(x0 x)f(x0)axb(x)2 (a， b 为常数)， 则( ) Af(x)a Bf(x)b Cf(x0)a Df(x0)b 答案 C 解析 f(x0)lim x0 fx0 xfx0 x lim x0 (abx)a. 2 物体运动方程为 s(t)3t2(位移单位： m， 时间单位： s)， 若 vlim t
10、0 s3ts3 t 18 m/s， 则下列说法中正确的是( ) A18 m/s 是物体从开始到 3 s 这段时间内的平均速度 B18 m/s 是物体从 3 s 到(3t)s 这段时间内的速度 C18 m/s 是物体在 3 s 这一时刻的瞬时速度 D18 m/s 是物体从 3 s 到(3t)s 这段时间内的平均速度 考点 导数的概念 题点 导数概念的理解 答案 C 3函数 yf(x)2x24x 在 x3 处的导数为_ 答案 16 解析 f(3)lim x0 y x lim x0 23x243x23243 x 16. 4一物体的运动方程为 s(t)t23t2，则其在 t_时的瞬时速度为 1. 答案
11、 2 解析 设物体在 tt0时的瞬时速度为 1， 因为s t st0tst0 t t0t 23t 0t2t 2 03t02 t 2t03t， 所以lim x0(2t03t)2t031，解得 t02. 5 已知物体运动的速度与时间之间的关系是 v(t)t22t2， 则在时间间隔1,1t内的平 均加速度是_，在 t1 时的瞬时加速度是_ 答案 4t 4 解析 在1,1t内的平均加速度为v t v1tv1 t t4， 当 t 无限趋近于 0 时， v t 无限趋近于 4. 利用导数定义求导数三步曲 (1)作差求函数的增量 yf(x0 x)f(x0) (2)作比求平均变化率y x fx0 xfx0 x . (3)取极限得导数 f(x0)lim x0 y x. 简记为一差，二比，三极限