1、3.2.2 复数的乘法和除法复数的乘法和除法 学习目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法 对加法的分配律.3.掌握共轭复数的性质 知识点一 复数的乘法 思考 怎样进行复数的乘法运算？ 答案 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的 i2换成1，并且把实 部与虚部分别合并即可 梳理 (1)复数的乘法 设 z1abi，z2cdi，a，b，c，dR，定义 z1z2(acbd)(adbc)i. (2)复数乘法的运算律 对任意复数 z1，z2，z3，有 交换律 z1 z2z2 z1 结合律 (z1 z2) z3z1 (z2 z3) 乘法对加法的分
2、配律 z1 (z2z3)z1 z2z1 z3 对复数 z，z1，z2和自然数 m，n 有 zm znzm n，(zm)nzmn，(z 1 z2) nzn 1 z n 2. (3)共轭复数的性质 设 z 的共轭复数为 z ，则： zz |z|2| z |2. z2( z )2. z1 z2 z1z2. 知识点二 复数的除法法则 思考 类比根式除法的分母有理化， 比如1 3 3 2 1 33 2 3 23 2， 你能写出复数的除法法则 吗？ 答案 设 z1abi，z2cdi(cdi0)， 则z1 z2 abi cdi acbd c2d2 bcad c2d2 i. 梳理 (1)复数的倒数 已知 za
3、bi(a，bR)，如果存在一个复数 z，使 z z1，则 z叫做 z 的倒数，记作1 z. (2)复数的除法法则 设 z1abi， z2cdi(cdi0)， 则z1 z2 abi cdi acbd c2d2 bcad c2d2 i(a， b， c， dR 且 cdi0) 特别提醒：复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果； 而复数的除法是先将两复数的商写成分式， 然后分母实数化(分子、 分母同乘分母的共轭复数) 1复数加、减、乘、除的混合运算法则是先乘除，再加减( ) 2两个共轭复数的和与积是实数( ) 3若 z1，z2C，且 z21z220，则 z1z20.( )
4、 类型一 复数的乘除运算 例 1 计算： (1)(1i)(1i)(1i)； (2) 1 2 3 2 i 3 2 1 2i (1i)； (3)(23i) (12i)； (4)32i 23i 32i 23i. 解 (1)(1i)(1i)(1i)1i2(1i)21i1i. (2) 1 2 3 2 i 3 2 1 2i (1i) 3 4 3 4 3 4 1 4 i (1i) 3 2 1 2i (1i) 3 2 1 2 1 2 3 2 i 1 3 2 1 3 2 i. (3)(23i) (12i)23i 12i 23i12i 12i12i 2634i 1222 4 5 7 5i. (4)方法一 32i
5、23i 32i 23i 32i23i32i23i 23i23i 613i6613i6 49 26i 132i. 方法二 32i 23i 32i 23i i23i 23i i23i 23i ii2i. 反思与感悟 (1)复数的乘法运算可以把 i 看作字母，类比多项式的乘法进行 (2)复数的除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，类比实数中的分母有理化进行 跟踪训练 1 计算： (1)(1i) 1 2 3 2 i (1i)； (2) 2 3i 3 2i； (3) i2i1 1ii1i. 解 (1)原式(1i)(1i) 1 2 3 2 i 2 1 2 3 2 i 1 3i. (2)原式 2 3ii
6、3 2ii 2 3ii 2 3i i. (3)原式i2i1 i2 i1. 类型二 共轭复数的性质及应用 例 2 已知复数 z 满足：zz 2iz86i，求复数 z 的实部与虚部的和 解 设 zabi(a，bR)， 则 zz a2b2， a2b22i(abi)86i， 即 a2b22b2ai86i， a2b22b8， 2a6， 解得 a3， b1. ab4，复数 z 的实部与虚部的和是 4. 反思与感悟 (1)zz |z|2| z |2是共轭复数的常用性质 (2)实数的共轭复数是它本身，即 zRz z ，利用此性质可以证明一个复数是实数 (3)若 z0 且 z z 0，则 z 为纯虚数，利用此性
7、质可证明一个复数是纯虚数 跟踪训练 2 已知复数 z 满足|z|1，且(34i)z 是纯虚数，求 z 的共轭复数 z . 解 设 zabi(a，bR)，则 z abi 且|z|a2b21，即 a2b21. 因为(34i)z(34i)(abi)(3a4b)(3b4a)i，而(34i)z 是纯虚数， 所以 3a4b0，且 3b4a0. 由联立，解得 a4 5， b3 5 或 a4 5， b3 5. 所以 z 4 5 3 5i 或 z 4 5 3 5i. 类型三 in的周期性 例 3 计算： (1)(4i5)(62i7)(7i11)(43i)； (2)1 3i 3 1i6 2i 12i ； (3)2
8、 3i 12 3i 2 1i 2 01648i 248i2 11 7i . 解 (1)原式2(4i)(3i)(7i)(43i) 2(123i4ii2)(284i21i3i2) 4739i. (2)原式1 3i 3 1i23 2i12i 5 1 3i 3 2i3 24ii2 5 3i 2 3iii0. (3)原式2 3i12 3i 12 3i12 3i 2 1i 2 1 0080 13i 112(i) 1 008i1. 反思与感悟 (1)in的周期性 i4n 1i，i4n21，i4n3i，i4n1(nN ) inin 1in2in30(nN ) (2)记住以下结果，可提高运算速度 (1i)22i
9、，(1i)22i. 1i 1ii， 1i 1ii. 1 ii. 设 1 2 3 2 i，则 21 2 3 2 i，31,120. 跟踪训练 3 计算：1ii2i3i2 012. 解 i21，i3i i2i，i4(i2)21，i5i4 ii， i4n 1i，i4n21，i4n3i，i4n1 且 ii2i3i40， 1ii2i3i2 0121(ii2i3i4)5031. 1若复数 z 2 1i，其中 i 为虚数单位，则 z 等于( ) A1i B1i C1i D1i 答案 B 解析 z 2 1i 21i 1i1i 21i 2 1i， z 1i，故选 B. 2设复数 z11i，z2mi，若 z1 z
10、2为纯虚数，则实数 m 可以是( ) Ai Bi2 Ci3 Di4 答案 B 解析 z1 z2(1i)(mi)m1(m1)i. z1 z2为纯虚数， m10， m10， 即 m1， m1， 得 m1，i21， 实数 m 可以是 i2，故选 B. 3.已知 i 为虚数单位，图中复平面内的点 A 表示复数 z，则表示复数 z 1i的点是( ) AM BN CP DQ 答案 D 解析 由图可知 z3i. 复数 z 1i 3i 1i 3i1i 1i1i 42i 2 2i 表示的点是 Q(2，1)故选 D. 4复数 z 的共轭复数记作 z .已知(12i)( z 3)43i，则 z_. 答案 5i 解析
11、 (12i)( z 3)43i， z 343i 12i， z 3 43i 12i， z 343i12i 12i12i3 105i 5 5i， 则 z5i. 5已知复数 z 的共轭复数为 z ，且 z ( z 3i) 10 13i，求 z. 解 设 zabi(a，bR)， 则 z abi， 由 z ( z 3i) 10 13i，得 z z 3zi13i， 即 a2b23b3ai13i， 由复数相等的充要条件，得 a2b23b1， 3a3， 解得 a1， b0 或 a1， b3， 所以 z1 或 z13i. 1复数代数形式的乘除运算 (1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法 对加法的分配律 (2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘 以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化 2共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题 3复数问题实数化思想 复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数 zabi(a，bR)，利用 复数相等的充要条件转化.