1、一、选择题（共12小题）.1已知集合A1，0，1，3，5，Bx|x3或x1，则（RB）A（）A1，0，5B1，2，3C2，3D1，32复数（其中i为虚数单位），则|（）A2BCD3已知直线l1：mx+y10，l2：（2m+3）x+my10，mR，则“m2”是“l1l2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4如图所示，在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域在正三角形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为（）ABCD5设x，y满足约束条件，则zx+y的最小值为（）A0B1C2D36在ABC中是直线BD上一点，且，若，则m+n（）A
2、BCD7中国气象局规定：24小时内降雨的深度称为日降雨量，表示降雨量的单位通常用毫米例如：1毫米的降雨量是指单位面积上水深1毫米在连续几天的暴雨天气中，某同学用一个长方体容器来测量降雨量，已知该长方体的底面是边长为20mm的正方形，高为40mm，该容器的容器口为上底面正方形的内切圆，将该容器放在雨中，雨水从圆形容器口进入容器中，24小时后，测得容器中水深10mm，则该同学测得的降水量约为（）（取3.14）A127毫米B12.7毫米C509毫米D100毫米8已知圆C：x2+（y+2）22，则在x轴和y轴上的截距相等且与圆C相切的直线有几条（）A3条B2条C1条D4条9若函数在区间a，b上是增函数
3、，且f（a）2，f（b）2，则函数在区间a，b上（）A是增函数B是减函数C可以取得最大值2D可以取得最小值210棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中P为正方体表面上的一个动点，且总有PCBD1，则动点P的轨迹的长度为（）AB4C3D411已知F1（c，0）、F2（c，0）是双曲线的左、右焦点，F1关于双曲线的一条渐近线的对称点为P，且点P在抛物线y24cx上，则双曲线的离心率为（）AB2CD12已知等腰三角形一腰上的中线长为2，则该三角形面积的最大值是（）ABCD9二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13若，则aelogae 14设x是函数f（x）3sinxcosx
4、的一个极值点，则sin2+2cos2 15已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，ABBC2，CC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 16已知一族双曲线En：x2y2（nN*，且n2020），设直线x2与En在第一象限内的交点为An，点An在En，的两条渐近线上的射影分别为Bn，n，记AnBnn的面积为an，则a1+a2+a3+a2020 三、解答题（本大题共6个小题，满分0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17如图，正三棱柱ABCA1B1C1（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形的棱柱）的底面边长为6，点M在边BC上，AMC
5、1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形（1）求证：点M为BC边的中点；（2）求点C到平面AMC1的距离18已知数列an，bn满足a1，b11，2an+1an，b1+（1）求an与bn；（2）记数列anbn的前n项和为Tn，求Tn19随着经济的快速增长、规模的迅速扩张以及人民生活水平的逐渐提高，日益剧增的垃圾给城市的绿色发展带来了巨大的压力，相关部门在有5万居民的光明社区采用分层抽样方法得到年内家庭人均GDP与人均垃圾清运量的统计数据如表：人均GDPx（万元/人）3691215人均垃圾清运量y（吨/人）0.130.230.310.410.52（1）已知变量y与x之间存在线性相关关系，求出其回归直线
6、方程；（2）随着垃圾分类的推进，燃烧垃圾发电的热值大幅上升，平均每吨垃圾可折算成上网电量200干瓦时，右图是光明社区年内家庭人均GDP的频率分布直方图，请补全15，18的缺失部分，并利用（1）的结果，估计整个光明社区年内垃圾可折算成的总上网量参考公式回归方程x+中，20已知点F1，F2是椭圆C：1（ab0）的左、右焦点，椭圆上一点P满足PF1x轴，|PF2|5|PF1|，|F1F2|2（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F2的直线l交椭圆C于A，B两点，当ABF1的内切圆面积最大时，求直线l的方程21已知函数，其中a0（1）求f（x）的单调区间；（2）设x1，x2是f（x）的两个极值点，判断的正
7、负，并说明理由选修4-4:坐标系与参数方程22在平面直角坐标系中，已知曲线C1：（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为（1）求曲线C1的极坐标方程及点P的极坐标；（2）设直线l1与曲线C1交于A、B两点，记POA的面积为S，BOC1的面积为S，求的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）m|x2|，mR，且f（x+2）1的解集A满足1，1A（1）求实数m的取值范围B；（2）若a，b，c（0，+），m0为B中的最小元素且+m0，求证：a+2b+3c参考答案一、选择题（共12小题）.1已知集合A1，0，1，3，5，Bx|x3或x1，则（RB）A
8、（）A1，0，5B1，2，3C2，3D1，3解：集合A1，0，1，3，5，Bx|x2或x1，则RBx|1x3，故选：D2复数（其中i为虚数单位），则|（）A2BCD解：设复数，则|z|故选：C3已知直线l1：mx+y10，l2：（2m+3）x+my10，mR，则“m2”是“l1l2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：直线l1：mx+y10，l2：（2m+3）x+my10，mR，l1l2m（3m+3）+m0，即m2或m0“m2”是“l1l2”的充分不必要条件故选：A4如图所示，在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域在正三角形中随机撒一粒豆子，它落
9、在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为（）ABCD解：设阴影部分的面积为S，结合几何概型公式可得：；解得S3：故选：C5设x，y满足约束条件，则zx+y的最小值为（）A0B1C2D3解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分：由zx+y可得yx+z，则z表示直线yx+z在y轴上的截距，截距越小，z越小，当yx+z经过点A时，z最小，故选：C6在ABC中是直线BD上一点，且，若，则m+n（）ABCD解：如图所示：，m+n故选：D7中国气象局规定：24小时内降雨的深度称为日降雨量，表示降雨量的单位通常用毫米例如：1毫米的降雨量是指单位面积上水深1毫米在连续几天的暴雨天气中，某同学用一个长
10、方体容器来测量降雨量，已知该长方体的底面是边长为20mm的正方形，高为40mm，该容器的容器口为上底面正方形的内切圆，将该容器放在雨中，雨水从圆形容器口进入容器中，24小时后，测得容器中水深10mm，则该同学测得的降水量约为（）（取3.14）A127毫米B12.7毫米C509毫米D100毫米解：由题意，水的体积V2020104000mm3，容器口的面积S102100mm2，该同学测得的降水量约为12.7毫米故选：B8已知圆C：x2+（y+2）22，则在x轴和y轴上的截距相等且与圆C相切的直线有几条（）A3条B2条C1条D4条解：若直线不过原点，其斜率1，设其方程为yx+m，则d，解得m0或8，
11、当m0时，直线过原点；即原点在圆外，所以过原点有2条切线，故选：A9若函数在区间a，b上是增函数，且f（a）2，f（b）2，则函数在区间a，b上（）A是增函数B是减函数C可以取得最大值2D可以取得最小值2解：函数2sin（x+） 在区间a，b上是增函数，且f（a）2，f（b）2，则函数2cos（x+）2sin（x+），令x+t，取t，则t+0，故选：C10棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中P为正方体表面上的一个动点，且总有PCBD1，则动点P的轨迹的长度为（）AB4C3D4解：P点的轨迹为过点C与直线BD1垂直的截面与正方体的交线，就是图形中点三角形ACB1，它的周长为：3故选：C11
12、已知F1（c，0）、F2（c，0）是双曲线的左、右焦点，F1关于双曲线的一条渐近线的对称点为P，且点P在抛物线y24cx上，则双曲线的离心率为（）AB2CD解：如图：F1P垂直直线bxay0，交点为H，F1到双曲线的一条渐近线bxay0的距离为：db，F1PF2中，PF52d2b，抛物线y24cx的焦点坐标（c，0），可得cosOF1P，sinOF4P，P（，），可得：8b24c2，e故选：D12已知等腰三角形一腰上的中线长为2，则该三角形面积的最大值是（）ABCD9解：建立如图所示的直角坐标系，设C（m，0）则B（m，0），A （0，n），D（），由题意可得BD24，当且仅当即n3m时取等号
13、故选：B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若，则aelogae0解：因为，所以ae，故答案为：014设x是函数f（x）3sinxcosx的一个极值点，则sin2+2cos2解：f（x）3cosx+sinx，f（）3cos+sin0，tan3故答案为：15已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，ABBC2，CC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为解：连接B1C，交BC1于点O，则点O为B1C的中点，取AC的中点D，连接BD、OD，ODAB6，BOD即为异面直线AB1与BC1所成角ABC120，ABBC2，CC21，在BOD中，由余弦定理知，cosBOD故答案
14、为：16已知一族双曲线En：x2y2（nN*，且n2020），设直线x2与En在第一象限内的交点为An，点An在En，的两条渐近线上的射影分别为Bn，n，记AnBnn的面积为an，则a1+a2+a3+a2020解：双曲线En：x2y2（nN*，且n2020）的两条渐近线为yx，yx，互相垂直，直线x2与En在第一象限内的交点为An，故答案为：三、解答题（本大题共6个小题，满分0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17如图，正三棱柱ABCA1B1C1（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形的棱柱）的底面边长为6，点M在边BC上，AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形（1）求证：点M为BC边
15、的中点；（2）求点C到平面AMC1的距离解：（1）证明：AMC1为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，AMC3M且AMC1MC1M在底面内射影为CM，AMCM（2）过点C作CHMC1，由（5）知AMC1M且AMCM，CH在平面C1CM内，CHAM，由（1）知，AMC1M3，CMBC3，CC1BC，CH，点C到平面AMC7的距离为底面边长为18已知数列an，bn满足a1，b11，2an+1an，b1+（1）求an与bn；（2）记数列anbn的前n项和为Tn，求Tn解：（1）数列an满足a1，b15，2an+1an，所以（常数），所以当n2时，得，所以，整理得，故bnn所以得：故19随着经济的快速增
16、长、规模的迅速扩张以及人民生活水平的逐渐提高，日益剧增的垃圾给城市的绿色发展带来了巨大的压力，相关部门在有5万居民的光明社区采用分层抽样方法得到年内家庭人均GDP与人均垃圾清运量的统计数据如表：人均GDPx（万元/人）3691215人均垃圾清运量y（吨/人）0.130.230.310.410.52（1）已知变量y与x之间存在线性相关关系，求出其回归直线方程；（2）随着垃圾分类的推进，燃烧垃圾发电的热值大幅上升，平均每吨垃圾可折算成上网电量200干瓦时，右图是光明社区年内家庭人均GDP的频率分布直方图，请补全15，18的缺失部分，并利用（1）的结果，估计整个光明社区年内垃圾可折算成的总上网量参考
17、公式回归方程x+中，解：（1）由表格可得，9，4.32，（6）（0.19）+（5）（0.09）+0（0.01）+30.09+62.2所以0.032，故变量y与x之间的回归直线方程为解得a7，故最右边小矩形的高度为，（11.8+24.5+47.2+610.5+513.5+216.5）10.2（万元/人），于是光明社区年内垃圾清运总量为56.032（10.2+1）1.792（万吨）179202003.584103（千瓦时）即为所求20已知点F1，F2是椭圆C：1（ab0）的左、右焦点，椭圆上一点P满足PF1x轴，|PF2|5|PF1|，|F1F2|2（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F2的直线l交
18、椭圆C于A，B两点，当ABF1的内切圆面积最大时，求直线l的方程解：（1）由题意可得|PF2|5|PF1|，|F1F2|2，|PF1|8+|F1F2|2|PF2|2，解得|PF4|，|PF2|，所以椭圆的方程为+y31；因为F1（，0），F7（，0），设A（x1，y1），B（x2，y5），可得（3+t2）y2+2ty70，则y1+y2，y1y2，故8r，即r，所以直线l的方程为yx或yx+21已知函数，其中a0（1）求f（x）的单调区间；（2）设x1，x2是f（x）的两个极值点，判断的正负，并说明理由解：（1）f（x），其中a0，当a2时，f（x）0 恒成立，当0a1时，由x2+2xa20，解
19、得；所以函数f（x）在区间（0，8）和（1+，+）内单调递减，在区间（7，1+）内单调递增；f（x6）+f（x2）（lnx1+lnx2）设函数g（a）1lna （6a1），则g（a）0，g（a）g（1）0，即1lna0，不妨设x2x2，则0x11x2，结合（1）中函数f（x）的单调性可知：f（x1）f（1）f（x2），0 （为正）选修4-4:坐标系与参数方程22在平面直角坐标系中，已知曲线C1：（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为（1）求曲线C1的极坐标方程及点P的极坐标；（2）设直线l1与曲线C1交于A、B两点，记POA的面积为S，BOC1的面积为S，求的值解：（1）由C1：（为参数），消去参数，可得，即，曲线C1的极坐标方程为点P的极坐标为（，）；圆心C1 的直角坐标为（2，7），设点A（1，），B（2，），1+26，127，选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）m|x2|，mR，且f（x+2）1的解集A满足1，1A（1）求实数m的取值范围B；（2）若a，b，c（0，+），m0为B中的最小元素且+m0，求证：a+2b+3c解：（1）因为f（x）m|x2|，所以f（x+2）1等价于|x|m1，由1，3A知A是非空集合，所以 1mxm1，即实数m的取值范围是B2，+）