1、 新教材 2020-2021 学年上学期高三第一次月考试卷 数数学（学（A） 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在
2、每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1已知集合， ，则（ ） A或 B C D 2设复数（其中，为实数） ，若，满足，则（ ） A B C D 3可知，则（ ） A B C D 4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （称为黄金分割比例） ，已知一位美女身高，穿上高跟鞋后肚脐至鞋底的长 度约，若她穿上高跟鞋后达到黄金比例身材，则她穿的高跟鞋约是（ ） （结果保留一 位小数） A B C D 5函数的图象大致为（ ） A B C D 6回文数是指从左往右读与从右往左读都是一样的正整数，如，等，
3、在所有小于的 三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于的概率为（ ） A B C D 7已知非零向量，满足且，则与夹角为（ ） A B C D 8已知为等差数列的前项和，则（ ） A B C D 二、多项二、多项选择题：选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小题 5 5 分分，共，共 2020 分在分在每小题每小题给出给出的选项中，的选项中，有有多项多项 符合题目要求符合题目要求全部全部选对的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对的得选对的得 3 3 分分，有有选错的得选错的得 0 0 分分 9已知直线和直线 平行，则（ ） A B C D 10已知，成递增等比数列，
4、则在 的展开式中，下列说法正确的是（ ） A二项式系数之和为 B各项系数之和为 2 20Ax xx 2 430Bx xxAB 1x x 1x 23xx 13xx 12xx izxyxyxy 22 (2)4xy2iz 42i22i24 1 5 5a 4 1 log 5 b 1 4 1 log 5 c acbabccabcba 51 2 51 0.618 2 160 cm 103.8cm 8.1cm8.0 cm7.9 cm7.8cm cos2 ( ) | x f x x 3235445200 5 2 5 1 3 2 9 4 15 ab|3 |ab(3 )()ababab 3 6 2 0 n S n
5、 an 7 14S 6 8a 310 n an24 n an 2 319 n Snn 2 313 44 n Snn 2 1:(2 3)320lmxy 2: 350lmxym 11 2 3 3 2 4 n 9 2 (4)nx x 641 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 C展开式中二项式系数最大的项是第项 D展开式中第项为常数项 11若椭圆上的一点 到椭圆焦点的距离之积为 ，当 取得最大值时，点 的坐标可 能为（ ） A B C D 12已知函数有唯一零点，则 的值可能为（ ） A B C D 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每
6、小题 5 5 分分 13曲线在 处的切线方程为 14已知，则 ， 15兵乓球单打比赛在甲、乙两名运动员进行，比赛采取五局三胜制（即先胜 3 局者获胜，比赛结 束） ，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同，且各局比赛结果相互独立，那么甲以获胜的 概率为 16已知双曲线的两条渐近线分别为直线，经过右焦点且垂直于 的直线 分别交，于，两点，且，则该双曲线的离心率为 四、解答题：本四、解答题：本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）若数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）若 ，求
7、数列的前项和 ， （从这三个条件中任选一个填入第（2）问的横线中，并回答问题） 18（12 分） 在锐角三角形 中， 角， ， 的对边分别为， ， ， 已知()(sinsin)caAC (sin2sin)bBA （1）求角的大小； （2）求且，求 19 （12 分）如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，且， ，其中，分别是，上的点且 （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值 45 22 1 169 xy PaaP ( 4,0)(4,0)(0,3)(0, 3) 2222 ( )4()() xx f xxxmm ee m 1122 2 ( )1 x f xxex0 x 1 sin() 48 co
8、s() 4 3 sin() 4 3:2 22 22 1(0,0) xy ab ab 1 l 2 lF 1 ll 1 l 2 lAB3FBAF n a 123 1111 231 n n aaanan n a n bn n T 2 n n n a a b 1 1 n nn b a a ( 1)n nn ba ABCABC a b c C 22 2 coscos 5 ABbasin2A AEDBFCAEDEAAD 3ABAEADMNAFBC 1 3 FMCN FACB MNCDEF A CFB 20 （12 分）某厂加工的零件按箱出厂，每箱有个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验， 人工检验方法如
9、下：先从每箱的零件中随机抽取个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则 停止检验；若抽取的零件至少有 1 个至多有个次品，则对剩下的个零件逐一检验已知每个零 件检验合格的概率为，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为元 （1）设 1 箱零件人工检验总费用为元，求的分布列； （2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的 检验费为元，现有箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检 验中，应该选择哪一个？说明你的理由 21 （12 分）过点的直线 与抛物线交于，两点，是抛物线的焦点 （1）若直线 的斜率为，求的值； （
10、2）若，求 22 （12 分）已知函数，当时，证明： （1）有唯一极值点； （2）有个零点 12 5 47 0.93 XX 21000 (1,0)El 2 2yxABF l3|AFBF 1 2 AEEB|AB 222 ( )(1 2)lnf xxaxax1ae ( )f x ( )f x2 数数学（学（A）答案答案 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 【答案】B 【解析】由题意可知，或， 则，故选 B 2 【答案】C 【
11、解析】， 故选 C 3 【答案】C 【解析】， ，故选 C 4 【答案】B 【解析】设该美女穿的高跟鞋为，则，解得， 故选 B 5【答案】C 【解析】易知函数为偶函数，排除 A，B 选项； ，当时，即，排除 D 6 【答案】B 【解析】 列出所有小于的三位回文数如下：， 共个，从中任取两个数共有种情况， 其中两个回文数的三位数字之和均大于有种情况， 故所求概率为，故选 B 7【答案】C 【解析】，则，得， ， 设与夹角为，则，即夹角为 8 【答案】A 【解析】由题意得，解得，故 二、多项二、多项选择题：选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小题 5 5 分分，共，共 2020 分在分
12、在每小题每小题给出给出的选项中，的选项中，有有多项多项 符合题目要求符合题目要求全部全部选对的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对的得选对的得 3 3 分分，有有选错的得选错的得 0 0 分分 9 【答案】AD 【解析】直线和直线平行， 直线的斜率为，直线的斜率为， 则，即，解得或 10 【答案】ACD 【解析】由，成递增等比数列可得， 故的二项式系数之和为，A 正确； 令，则的各项系数之和为，B 错误； 的展开式共有项，则二项式系数最大的项是第项，C 正确； 的展开式中展开式中第项为常数项，D 正确， 1Ax x2x 13Bxx 23ABxx izxy2i(2)izxy 22 2i(2)4
13、2zxy 1 0 5 0551 4 1 log0 5 b 144 4 1 loglog 5log 41 5 c cab cmx 103.851 0.618 1602x 8.0 x cos2 ( ) | x f x x cos 2 ( )0 4 4 f (0,) 4 xcos20 x( )0f x 200101111 121131141151 161 171 181 19110 2 10 C45 5 2 6 C15 151 453 P (3 )()abab(3 ) ()0abab 22 |23|0 aa bb 22 3| 2 ba a b ab 22 3| cos0 2| | ba ab 2 1
14、 1 72114 58 ad ad 1 7 3 a d 2 317 22 310 n n Snn an 2 1:(2 3)320lmxy 2: 350lmxy 1 l 2 1 23 3 m k 2 l 2 3 m k 12 kk 2 23 33 mm 1m 3 2 4 n 96n 6 2 (4)x x 64 1x 66 2 (4)264x x 6 2 (4)x x 64 6 2 (4)x x 74 6 2 (4)x x 5 424 6 2 C (4 ) ()15 16 16x x 故答案选 ACD 11 【答案】CD 【解析】记椭圆的两个焦点分别为，故， 可得，当且仅当时取等号， 即点位于椭圆
15、的短轴的顶点处时，取得最大值， 此时点的坐标为点或 12 【答案】BC 【解析】， 令，则，定义域为， ，故函数为偶函数， 所以函数的图象关于对称， 要使得函数有唯一零点，则， 即，解得或， 故答案选 BC 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13 【答案】 【解析】， 根据导数的几何意义可知曲线在点处的切线斜率为， 切线方程为，即 14 【答案】， 【解析】，则， ， 根据，得 15 【答案】 【解析】因为利用比赛规则，那么甲以获胜表示甲在前 4 局中胜 2 局，最后一局甲赢， 则利用独立重复实验的概率公式可知 16 【答案】
16、【解析】由题意得， 由题得， 整理得，即， ，即 四、解答题：本四、解答题：本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】 （1）； （2）见解析 【解析】 （1）， 当时， 两式相减得， 当时，满足， 数列的通项公式为 （2）选条件 22 1 169 xy 1 F 2 F 12 | 8PFPF 2 12 12 | | ()16 2 PFPF PFPF 12 | | 4PFPF Pa P(0,3)(0, 3) 22222222 ( )4()()(2)4()() xxxx f xxxmm
17、eexmm ee 2tx 22 ( )4()() tt g ttmm ee R 22 ()()4()()( ) tt gttmm eeg t ( )g t ( )f x2x ( )f x(2)0f 2 4 82()0mm 1m2 10 xy ( )2 xx fxex ex (0)1f (0, 1)(0)1k f 1yx 10 xy 1 8 3 7 8 1 sin() 48 1 cos()cos()sin() 42448 3 sin()sin()cos() 4244 22 sin ()cos ()1 44 3 7 cos() 48 3 16 3:2 222 4 1113 C( )( ) 2221
18、6 P 6 2 FAb3FBbOAa tantan b BOFAOF a 2 4 tantan2 1 ( ) bb b aa BOABOF b a a 22 2ab 222 2()aca 22 32ac 2 3 2 e 6 2 e 1 n an 123 1111 231 n n aaanan 2n 123 11111 23(1) n n aaanan 111 1(1) n nn nannn n 1 n an 1n 1 2a 1 n an n a1 n an ， 两式相减得 ， 选条件： ， 选条件： ， 当为奇数时，； 当为偶数时， 18 【答案】 （1）； （2） 【解析】 （1）由正弦定理
19、得，故， 即， ， （2）， ， ， ，即，得， 又为锐角三角形， 则， 19 【答案】 （1）证明见解析； （2） 【解析】 （1）证明：如下图，分别在，上取点， 连接，及， ，及， 1 1 22 n n n an an b 2341 2341 2222 n n n T 3452 12341 22222 n n n T 1 234122 11 (1) 12111111 82 1 22222222 1 2 n n nnn nn T 122 31133 42242 nnn nn 1 33 22 n n n T 1 1111 (1)(2)12 n nn b a annnn 1111111111 2
20、33445122224 n n T nnnn ( 1)n nn ba n 13 2345(1)11 222 n nn Tnn n234(1)1 22 n nn Tn 3 22 2 n n n T n n ， 为奇数 ，为偶数 4 C 614 10 ()()(2 )ca acb ba 222 2caab b 222 2abcab 222 2 cos 22 abc C ab (0,)C 4 C 4 C 3 22 2 BA 22 1 cos21 cos2 coscos 22 AB AB 1122 (cos2cos2 ) 11(cos2sin2 )1sin(2) 22245 ABAAA 3 2 sin
21、(2) 45 A baBA 3 4 AA 3 8 A ABC 3 442 A 42 A 3 48 A 2 442 A 7 cos(2) 45 A sin2sin(2)sin(2) coscos(2) sin 444444 AAAA 3 2272614 525210 6 3 FCEFPQ 1 3 CPFQ CFFE NPPQMQ 1 3 FMCN FACB 1 3 MFFQ MQAE FAFE 1 3 MQAE 且， ，四边形为平行四边形， 又平面，平面，平面 （2）如下图所示，以为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为 轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 由题易知平面的法向量为， 设
22、平面的法向量为， 则，取，则， ，则二面角的正弦值为 20 【答案】 （1）分布列见解析； （2）人工检验，详见解析 【解析】 （1）的可能取值为， ， ， 则的分布列为 （2）由（1）知， 1000 箱零件的人工检验总费用的数学期望为元 1000 箱零件的机器检验总费用的数学期望为元， 且，应该选择人工检验 21 【答案】 （1）； （2） 【解析】设， （1）由题意可知直线 的方程为， 由，消去，得， （2）由，可知， 设直线 的方程为， 由，消去，得，恒成立， ， 由解得或，得， 22 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析 【解析】 （1）的定义域为， ， 当时，单减；当时，单
23、增， 有唯一极值点 （2）由（1）知在单减，在单增， 在时取得极小值为， ， 又， 1 3 CNCP NPBF CBCF 1 3 NPBF MQNPMQNPMNPQMNQP MN CDEFQP CDEFMNCDEF AAExADyAB z (0,0,0)A(3,0,3)F(0,3,3)C(0,0,3)B(3,0,3)AF (0,3,3)AC BCF 1 (0,0,1)n ACF 2 ( , , )x y zn 2 2 0330 330 0 AFxz yz AC n n 1x 2 (1,1, 1)n 12 12 12 13 cos, 33 n n n n nn A CFB 6 3 X1536 5
24、5 (15)0.90.10.590490.000010.5905P X (36)1 0.59050.4095P X X ()15 0.590536 0.409523.5995E X ()1000 23.599523599.5E X 2 12 100024000 2400023599.5 29 9 3 5 2 11 ( ,)A x y 22 (,)B xy l33yx 2 2 33 yx yx y 2 92090 xx 12 20 9 xx 12 2029 |1 99 AFBFxxp 1 2 AEEB 21 2yy lykxk 2 2yx ykxk x 2 220kyyk 2 480k 12 2
25、 yy k 12 2y y 1 2 1 2 y y 1 2 1 2 y y 12 2 | | 1yy k 2 11 4k 13 5 |11 8 42 AB ( )f x(0,) 2222 2 2(1 2) ( )2(1 2) axaxa fxxa xx 2 (21)()xxa x 2 (0,)xa( )0fx( )f x 2 (,)xa( )0fx( )f x ( )f x ( )f x 2 (0,)a 2 (,)a ( )f x 2 xa 2222 ()(1ln)f aaaa 1ae 2 1ae 2 ln0a 2 ()0f a 2 22 22 111 2112 ( )(1)0 a faa eeeeee 根据零点存在性定理，函数在上有且只有一个零点 ， ， ， 时， 根据零点存在性定理，函数在上有且只有一个零点， 有个零点 ( )f x 2 (0,)a lnxx 222 ( )(1 2)lnf xxaxax 222 (1 2)xaxa x 222 (1 3)(1 3)xaxx xa 1ae 222 31210aaa 22 31aa 2 31xa( )0f x ( )f x 2 (,)a ( )f x2