1、 2020-2021 学年上学期高三第一次月考试卷 理科理科数数学（学（B） 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在
2、每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1已知集合，则（ ） A B C D 2设复数满足，则在复平面内所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知非零向量，满足，则“”是“”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4已知实数，满足，则的最小值为（ ） A B C D 5设等差数列的前项和为，已知，则（ ） A B C D 6已知函数是定义在上的偶函数，当时，则， ，的大小关系为（ ） A B C D 7公元年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积
3、去逼近圆的面积求圆周率，他 从单位圆内接正六边形算起， 令边数一倍一倍地增加， 即， 逐个算出正六边形， 正十二边形，正二十四边形，正一百九十二边形，的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘 徽算到了正一百九十二边形，这时候的近似值，刘徽称这个方法为“割圆术” ，并且把 “割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所 失矣” ， 刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、 可求的来逼近未知的、 要求的， 用有限来逼近无穷， 这种思想极其重要，对后世产生了巨大影响，按照上面“割圆术” ，用正二十四边形来估算圆周率， 则的近似值是（ ） （精确到） （参考数据） A
4、B C D 8已知函数（，）的部分图像如图所示，若 ，则的最小值为（ ） A B C D 9已知，为双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，且线段 的中点坐标为，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 10某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） | 24Axx Z 2 |230Bx xx AB ( 2,1)( 1,3) 1,00,1,2 z(1 i)2zz ab| |ab|2 | |2|ababab xy 5 210 220 xy xy xy 3zxy 13511 n an n S 313 1352aS 9 S 9182736 ( )f xR0 x( ) x f xex 3 2 ( 2
5、 )af 2 (log 9)bf( 5)cf abcacbbacbca 263 12,24,48,192, 3.141024 0.01sin150.2588 3.143.113.103.05 ( )sin()f xAx0A0 | 2 ()()0f axf ax|a 12 6 3 5 12 1 F 2 F 22 22 :1(0,0) xy Cab ab PC 1 PF(0, )bC 5322 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 A B C D 11 已知定义在上的函数满足， ， 且当时， ，则（ ） A B C D 12已知 ，是互不相同的正数，且( )( )( )f af
6、bf c ( )f d，则的取值范围是（ ） A B C D 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13 已知圆的圆心坐标是， 若直线与圆相切于点， 则 14 已知数列满足， 且，成等差数列， 则， 则 15的展开式中的系数为 16点为曲线图象上的动点，为曲线在点处的切线的倾斜角， 则当取最小值时的值为 三、解答题：三、解答题：本本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分） 在中，角，所对的角分别为， ， ，已知sin(
7、sinsin)bBaAB sincC （1）求角的大小； （2）求的取值范围 18 （12 分）已知数列满足 （1）求，的值； （2）求数列的通项公式； （3）设，数列的前项和为，求证：， 19 （12 分）已知椭圆（）过点，离心率为，直线 与椭圆交于，两点 （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线 的斜率 20 （12 分）当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进，高中联招对初三毕业学生进 行体育测试， 是激发学生、 家长和学校积极开展体育活动保证学生健康成长的有效措施某地区 2 4 3 2 3 1 3 R ( )f x()( )0fxf x(1)1f xfx( 1,0)x 4 1 (
8、 )log () 2 f xx 17 () 2 f 1 2 1 1 2 1 2 2 |log|,02 ( ) 15 3,2 84 xx f x xxx a b c d, , abcd (18,28)(16,25)(21,24)(20,25) C(0,)m10 xy C( 2, 1)A m n a0 n a lg n a 1 lg n a 2 lg n a 3467 4a a a a 5 a 4 1 (2)x x 2 x P 2 1 2ln(41)() 4 yxxx P x ABCABCabc C sinsinAB n a * 32 1 1 (1) 23 () 2 n aaa an nn n N
9、 1 a 2 a n a 1 21 n nn n b a a n bn n Sn N 3 1 4 n S 22 22 :1 xy C ab 0ab(2,1) 2 2 :20l kxyCAB C AOBOl 2019 年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、 分钟跳绳三项测试，三项考 试满分为分，其中立定跳远分，掷实心球分， 分钟跳绳分，某学校在初三上期开始时 要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况， 随机抽取了名学生进行测试， 得到如下频率分布直方图， 且规定计分规则如下表： （1）现从样本的 100 名学生中，任意选取人，求两人得分之和不大于分的概率； （2）若该校初三年级所
10、有学生的跳绳个数服从正态分布，用样本数据的平均值和方差 估计总体的期望和方差 （结果四舍五人到整数） ， 已知样本方差（各组数据用中点值代替） ， 根据往年经验， 该校初三年级学生经过一年的训练， 正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步， 假设明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加个，利用现所得正态分布 模型： 预估全年级恰好有名学生， 正式测试时每分钟跳个以上的人数；（结果四舍五入到整数） 若在该地区年所有初三毕业生中任意选取 人，记正式测试时每分钟跳个以 上的人数为，求随机变量的分布列和期望 附：若随机变量服从正态分布，则 ， 21 （12 分）已知函数（） （1）讨
11、论的单调性； （2）若对，恒成立，求的取值范围 22 （12 分）已知函数，对，满足 （1）求的值； （2）若，使不等式，求实数的取值范围 1 501515120 100 233 X 2 ( ,)N 2 77.8S 10 1000193 20203202 X 2 ( ,)N 77.89()PX 0.6826(22 )0.9544PX(33 )0.9974PX ( )lnf xaxxaR ( )f x (0,)x ( )0 x f xeaxa ( ) |22 |()f xxaaRx R( )f x( )(2)f xfx a x R 2 1 ( )(2) 2 f xf xmmm 理科理科数数学（学
12、（B）答案答案 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 【答案】D 【解析】， 2 【答案】D 【解析】，故选 D 3 【答案】C 【解析】， ， 4 【答案】A 【解析】画出可行域，由图可知，可行域三个顶点分别为， 当直线平移到点时，取到最小值为 5 【答案】B 【解析】， 6 【答案】C 【解析】依题意得， ，当时，在上单调递增， ，即 7 【答案】B 【解析】圆内接正二十四边形的边所对圆心角是， 因此，单位圆内接正二十
13、四边形的面积为 ， 单位圆的面积为，依题意，所以 8 【答案】A 【解析】由图象易知，即， ，由图可知（） ， ，由，得， ，关于点对称， 即有，的最小值为 9 【答案】A 【解析】设为点，连接，依题意为的中位线， 所以，即轴且， 所以点的坐标为，在双曲线上， 所以，即，所以离心率为 10 【答案】C 【解析】如图所示，由三视图可知，在三棱锥中，平面， 底面为等腰三角形，且底边长为，高为 ， 故三棱锥的体积为 2 |230( 1,3)Bx xx 1,0,1,2,3A 0,1,2AB 2 1 i 1 i z 222222 |2 | |2|2 |2|444 ababababaa bbaa bb |
14、 | 0ab|2 | |2|0ababa bab (2, 3)A(4, 1)B(0,1)C 3yx (0,1)Cz3 0 1 1z 37 131352aa 37 4aa 37 5 2 2 aa a 95 99 218Sa 33 22 ( 2 )(2 )aff 3 2 2 522 23log 90 x( )f x0,) 3 2 2 (log 9)(2 )( 5)fffbac 360 15 24 24 1 24 (1 1 sin15 )12 0.25883.10563.11 2 S 2 1S 圆24 SS 圆 3.11 2A (0)1f2sin1 | 2 6 11 2 126 k * kN 242
15、 11 k 11 12 311 412 T T 1824 1111 1k 2 ( )2sin(2) 6 f xx ()()0f axf ax( )f x( ,0)a 2 6 ak 212 k a kZ|a 12 (0, )b(0, )Ab 2 PFAO 12 PFF 2 PFAO 2 PFx 2 | 2| 2PFAOb P( ,2 )cbPC 22 22 4 1 cb ab 2 2 5 c a 5 PABCPA ABC ABC21 1112 2 1 2 3323 P ABCABC VSPA 11 【答案】B 【解析】因为函数满足，所以， 又因为，所以， 所以， 又因为时， 则 12 【答案】B
16、 【解析】不妨设，做出函数的图象如下图象所示， 当时，解得或， 则由图示可得， 则， 所以，所以，即，所以， 又，所以， 所以取值范围是，的取值范围为 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13 【答案】 【解析】依题意直线与直线垂直，所以， 即，故 或利用圆心到切线的距离等于半径得，解得 14 【答案】 【解析】，成等差数列，即为等比数列， ，从而，则， 又， 15 【答案】 【解析】，展开式中的系数为 16 【答案】 【解析】， 设为 曲 线 上 任 一 点 ， 由 导 数 的 几 何 意 义 知 曲 线 在点 处 的 切 线
17、的 斜 率 为 （等号成立的条件为当且仅 当，即） ， 结合正切函数的图象可知，当取时倾斜角最小，此时的值为 三、解答题：三、解答题：本本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】 （1）； （2） 【解析】 （1）由正弦定理得， 又，所以， 所以， ( )f x(1)(1)f xfx(2)( )fxf x ()( )0fxf x-+=(2)( )fxf x (4)( )fxf x ( 1,0)x 4 1 ( )log () 2 f xx 2 4 2 1 log 17111111 2
18、()(8)( )()(log)() 2222222log 4 ffff 11 ()1 22 abcd ( )f x 2 15 31 84 xx2x8x 1258abcd 2 log0a 2 log0b 22 |log| |log|ab 22 loglogab 22 logl0ogab 2 log0ab 1ab 5 4 2 ()10 1 2 8 cd (10)abcdcdcc25c (10)cc(16,25) abcd (16,25) 3 CA10 xy 1 ACl kk 1 11 2 m 3m 22 |1| (1)2 2 m m 3m 2 lg n a 1 lg n a 2 lg n a 2
19、12nnn aa a n a 2 37465 a aa aa 4 34675 4a a a aa 5 2a 0 n a 5 2a 28 248 4 44 1(21)(1) (2) xxx x xxx 2 x 2 8 C28 1 4 41 4() 414 yxx x ( , )P x yP 444 tan4(41)12 (41)13 4141(41) kyxxx xxx 4 41 41 x x 1 4 x k3x 1 4 3 C 3 (, 3 2 sin 2 a A R sin 2 b B R sin 2 c C R (sinsini)s nsinbBaABcC 22 ()ba abc 222
20、abcab 222 1 cos 22 abc C ab 又因为，所以 （2） ， ， ， 所以的取值范围是 18 【答案】 （1），； （2）； （3）证明见解析 【解析】 （1）由， 当时，即； 当时，解得 （2）， 当时， 得， 由（1），即上式当时也成立，因此的通项公式为 （3）由（2）得， 123 22222222 11111111 (1)()()1 22334(1)(1) nn Sbbbb nnn ， 单调递增，当时，取最小值， ， 即，因此， 19 【答案】 （1）； （2） 【解析】 （1）依题意，解得， 故椭圆的方程为 （2）依题意，联立方程组， 消去整理得，解得， 而， 因为
21、，所以， 所以，即， 所以，即，得， 20 【答案】 （1）； （2）人；分布列见解析， 【解析】 （1）两人得分之和不大于分，即两人得分均为分，或两人中 人分， 人分， 所以两人得分之和不大于分的概率为 （2）（个） ， 又，所以正式测试时， ， ，（人） 由正态分布模型， 在该地区年初三毕业生中任取 人， 每分钟跳绳个数以上的概率为， 即， ， ， 的分布列为： 0C 3 C 222 sinsinsinsin()sinsincoscossin 333 ABAAAAA 33 sincos3sin() 226 AAA 3 C 2 (0,) 3 A 66 5 (,) 6 A sin() 1 (
22、,1 62 A 3sin() 6 3 (, 3 2 A sinsinAB 3 (, 3 2 1 1a 2 4a 2* () n annN * 32 1 1 (1) 23 () 2 n aaa an nn n N 1n 1 1 (1 1)1 2 a 1 1a 2n 2 1 12 (2 1)3 22 a 2 4a 32 1 1 (1) 232 n aaa an n n 2n 312 1 231 n aaa a n 1 (1) 2 nn 11 (1)(1) 22 n a n nnnn n 2 n an 1 1a 1n n a 2* () n annN 2222 1 212111 (1)(1) n n
23、n nn b a annnn 2 1 1 (1) n S n 1n n S 1 3 4 S n N 2 1 0 (1)n 2 1 11 (1)n 1 n S 3 1 4 n S 22 1 42 xy 2k 22 222 21 1 2 2 ab c a abc 2 4a 2 2b 2 2c 22 1 42 xy 22 2 24 ykx xy y 22 (1 2)840kxkx 22 (8 )16(1 2)0kk 2 1 2 k 12 2 8 12 k xx k 12 2 4 12 x x k AOBO 1212 0 x xy y 1212 (2)(2)0 x xkxkx 2 1212 (1)2
24、()40kx xk xx 22 22 4(1)16 40 1 21 2 kk kk 2 2 84 0 1 2 k k 2 2k 2k 1 90 841 3 2 E 3316116117 33 211 559 2 100 CC C1 C90 P 170 0.05 180 0.09 190 0.5 200 0.3 210 0.06192.3 192x 2 77.892029 193211 1 0.6826 ()10.8411393 2 P 0.8413 1000841.3841 20201202 1 2 1 (3, ) 2 B 003 3 111 ()C ( ) (1) 2 0 28 P 12 3
25、 113 (1) 22 ()C 8 1P 22 3 113 ()C(1) 2 2 28 P（ ） 330 3 111 ( ) (1) 22 C 8 ()3P 21 【答案】 （1）见解析； （2） 【解析】 （1）， 当时，由，得；，得， 在上单调递减，在上单调递增； 当时，恒成立，在上单调递增 （2）法一：由，得， 令（） ，则， 在上单调递减，即， 同理可得， （ ） ，当时， ，（ ）式恒成立， 即恒成立，满足题意 法二：由，得， ， 令（） ，则，在上单调递减， ，即， 当时，由（1）知在上单调递增，恒成立，满足题意； 当时，令，则在上单调递减， 又，当时，使得， 当时，即， 又，不满
26、足题意， 综上所述，的取值范围是 22 【答案】 （1）； （2） 【解析】 （1），的图象关于直线对称， 又，的图象关于直线对称， （2）令，由（1）， 则， 因此，在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，使不等式等价于， 即，解得， 即实数的取值范围是 13 3 22 E 0,) ( )1 axa fx xx 0a( )0fxxa( )0fx0 xa ( )f x(0,)a(,)a 0a( )0fx( )f x(0,) ( )0 x f xeax(ln ) x a xxxe ( ) x s xxe0 x( )10 x s xe ( )s x(0,)( )(0)1s xs ( )0s x 0
27、 x xe ln0 xx ln x xe a xx *0a 0 ln x xe xx * ( )0 x f xeax ( )0 x f xeax( ) x f xaxe () xx f eaxe( )() x f xf e ( ) x s xxe0 x( )10 x s xe ( )s x(0,) ( )(0)1s xs ( )0s x x xe 0a( )f x(0,)( )() x f xf e 0a( )ln x xaxe( )x(0,) (1)0e 0 x( )x (0,1)r ( )0r 0 (0, )xr 0 ()( )0 xr 0 0 ln x axe 00 xax 0 000 ln x axxeax 0 00 ()0 x f xeax a0,) 1a 21m x R( )(2)f xfx( )f x1x ( ) |22 | 2|f xxaxa( )f xxa1a 1 ( )( )(2) 2 g xf xf x( )2|1|f xx 3,1 ( ) |1| 2|1|31,11 3,1 xx g xxxxx xx ( )g x 1,) (, 1) max ( )( 1)2g xgx R 2 1 ( )(2) 2 f xf xmm 2 max ( )g xmm 2 20mm21m m21m