1、 新教材 2020-2021 学年上学期高二第一次月考试卷 数数学（学（B） 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在
2、每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1已知四边形满足， ，则该四边 形为（ ） A平行四边形 B梯形 C长方形 D空间四边形 2已知四棱锥中底面是正方形，且 ，面，则面和 面所成的锐角二面角的余弦值为（ ） A B C D 3 已知， ， ， 为空间不共面的四点， 且向量 ， 向量， 则与，不能构成空间基底的是（ ） A B C D或 4已知二面角的大小为，为异面直线，且 ，则，所成的 角为（ ） A B C D 5已知两个非零向量，它们平行的充要条件是（ ） A B C D存在非零实数，使 6在空间直角坐标系中，已知，则（
3、 ） A B C D 7 在空间中， 已知， 则异面直线与 所成角的大小为 （ ） A B C D 8已知， (其中 ，是两两垂直的单位向量)，则 与的数 量积等于（ ） A B C D 二、多项二、多项选择题：选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小题 5 5 分分，共，共 2020 分在分在每小题每小题给出给出的选项中，的选项中，有有多项多项 符合题目要求符合题目要求全部全部选对的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对的得选对的得 3 3 分分，有有选错的得选错的得 0 0 分分 9在平行六面体中，若所在直线的方向向量为 ，则所在直线 的方向向量可能为（ ） A B C D 10
4、已知向量，若 ，则的值为（ ） A B C D 11已知直线 的方向向量，为直线 上一点，若点为直线 外一点，则 到直线 上任意一点的距离可能为（ ） A B C D 12在长方体中， ，则下列直线中，与平面所成角 的正弦值为的是（ ） A B C D ABCD 0AB BC0BC CD0CD DA0DA AB SABCDABCDSDADSDABCDSAD SBC 1 3 1 2 2 2 6 3 OABC OA OBOCaOA OB OCb a b OAOBOCOAOB l 60 mn m nmn 306090120 123 ( ,)a a aa 123 ( ,)a a ab 11 | ab
5、ab 112233 a baba b 112233 0a baba bkkab (1,0, 3)A(4, 2,1)B|AB 152934149 (2,4,0)AB ( 1,3,0)DC ABDC 4590120135 32aijk2 bijk i j k5a3b 15531 ABCDABCD AB ( 2,1,3) CD (2,1,3)(2, 1, 3) ( 4,2,6)(4, 2,6) ( 2, ,1)x a(0,2, 1)xb 2 a b x 4301 l (1,0, 1)n(2,1, 3)A lPlP l Q 2321 ABCDABCD 1 1 2 ABAD AA ACD 4 15 15
6、 B D AB BDBC 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13在空间直角坐标系中，点到原点的距离是_，到轴的距离是_ 14 在底面为直角梯形的四棱锥中， 侧面底面， ，则点到平面的距离是_ 15已知向量， ，且，则_ 16若平面的一个法向量，直线 的一个方向向量 ，则 与平面夹角的余 弦值为_ 四、解答题：本四、解答题：本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分
7、）如图，在正方体中，化简下列向量表达式： （1）； （2） 18（12 分） 如图所示， 已知正方形 和矩形所在的平面互相垂直， 是线段的中点 求证：（1）平面； （2）平面 19 （12 分） 已知正三棱柱， 底面边长， 点，分别是边， 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系 （1）求正三棱柱的侧棱长； （2）若为的中点，试用基底向量，表示向量； （3）求异面直线与所成角的余弦值 (4, 2,3)Pz PABCDPA ABCDBCAD90ABC 2PAABBC2PAABBC1AD DPBC (0, 1,1)a(4,1,0)b |29ab0 (3,3,0)n l (1,1,1)a l 1111
8、ABCDABC D 1 11 AAAB 11111 ABADCC ABCDACEF 2AB 1AF MEF AMBDE AM BDF 11 ABCABC 2AB 11 ABBCO 1 OAC 11 AC M 1 BC 1 AA ABACAM 1 ABBC 20 （12 分） 如图， 在直三棱柱中，是 的中点 （1）求证：平面； （2）求直线与平面的距离 21（12 分） 已知在长方体 中， 点为棱上任意一点， （1）求证：平面平面； （2）若点为棱的中点，点为棱的中点，求二面角的余弦值 111 ABCABC 1 22ABBCAA90ABC DBC 1 AB 1 ADC 1 AB 1 ADC A
9、BCDABCD E 1 CC2ABBC1CC BDE ACCA PCD E CC PBDE 22（12 分）在长方体中，为线段中点 （1）求直线与直线所成的角的余弦值； （2）若，求二面角的大小； （3）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明 理由 1111 ABCDABC D 1 1AAAD ECD 1 BE 1 AD 2AB 11 ABEA 1 AA PDP 1 B AE AP 答案答案 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
10、合题目要求的合题目要求的 1【答案】D 【解析】由已知条件可知四边形中，和均为钝角， 而在平面四边形中任一四边形的内角和均为，这与已知条件矛盾， 所以该四边形一定为空间四边形，故选 D 2【答案】C 【解析】四棱锥中底面是正方形，且，面， 建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， 设平面的法向量，则，取，得； 面的法向量， 设面和面所成的锐角二面角的平面角为，则， 面和面所成的锐角二面角的余弦值为 3【答案】C 【解析】，与，共面，所以，不能构成空间基底 4【答案】B 【解析】二面角的大小为，为异面直线，且， 则，所成的角为两条直线所成的角， 5【答案】D 【解析】根据空间向量平行的充要条件，易
11、知选 D 6【答案】B 【解析】由空间中两点间的距离公式得 7【答案】A 【解析】， ， 异面直线与所成角大小为，故选 A 8【答案】A 【解析】设，则， 二、多项二、多项选择题：选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小题 5 5 分分，共，共 2020 分在分在每小题每小题给出给出的选项中，的选项中，有有多项多项 符合题目要求符合题目要求全部全部选对的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对的得选对的得 3 3 分分，有有选错的得选错的得 0 0 分分 9【答案】BC 【解析】由已知可得，故它们的方向向量平行， 对于 B 选项，满足题意； 对于 C 选项，满足题意 10【答案】BD
12、【解析】由，解得或 11【答案】AB 【解析】 由已知得， 在上的投影长度为， 点到直线 的距离为，即的最小值为，A、B 正确 12【答案】BD 【解析】以为原点，以，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系， 则， ABCDABCBCDADCBAD 360 SABCDABCDSDADSDABCD 1SDAD (0,0,1)S(1,1,0)B(0,1,0)C (1,1, 1)SB (0,1, 1)SC SBC ( , , )x y zn 0 0 SCyz SBxyz n n 1y (0,1,1)n SAD (0,1,0)m SADSBC |12 cos | |22 m n mn SADSBC
13、2 2 1 () 2 OC ab OC a b a b OC l 60 mn m n mn 60 222 |(14)(02)( 3 1)29AB |202 5AB |10DC 10AB DC 102 cos, 22 510 AB DC cos,45AB DC ABDC45 (3,2, 1)a(1, 1,2)b5(15,10, 5)a3(3, 3,6)b (5 ) (3 )15 3 10 35 615 ab AB CD (2, 1, 3)( 2,1,3) ( 4,2,6)2( 2,1,3) 2 212xx a b3x 1x ( 3, 1,1)AP AP (1,0, 1)n |4 2 2 |2 A
14、P n n Pl 22 |(2 2)3AP PQ 3 D DADC DD x y z (1,0,0)A(0,1,0)C(0,0,2) D ( 1,1,0)AC ( 1,0,2)AD 设平面的一个法向量为，则， 令，可得， 对于 B，正确； 对于 D，正确 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13【答案】， 【解析】点到原点的距离是， 点到轴的距离是 14【答案】 【解析】分别以，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图， 则， ， 设为平面的法向量，则， 即，取，则， 又，点到平面的距离为 15【答案】 【解析】因为， 所以，可
15、得， 因为，解得 16【答案】 【解析】直线 与平面夹角的余弦值等于直线 的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值， 设向量与的夹角为，则， 与平面夹角的余弦值为 四、解答题：本四、解答题：本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】结合题图可知： （1） （2） 18【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 设，连结 则， ， 且与不共线， 平面，平面，平面 ACD ( , , )x y zn 0 20 A
16、Cxy ADxz n n 1z (2,2,1)n (0,1,2)AB 224 5 |cos,| | 153 5 AB n ( 1,0, 2)B C | 22|4 15 |cos,| 153 5 B C n 292 5 (4, 2,3)P 222 (40)( 20)(30)29d (4, 2,3)Pz 22 4( 2)2 5d 2 ABADAP x y z (0,0,0)A(0,0,2)P(2,0,0)B(2,2,0)C(0,1,0)D (2,2, 2)PC (0,2,0)BC ( , , )x y zn PBC 0 0 PC BC n n 0 0 xyz y 1x (1,0,1)n ( 2,1
17、,0)BD DPBC | 2 | BD n n 3 (0, 1,1)a(4,1,0)b |29ab (4,1, ) ab 22 16(1)29 03 3 3 l l an 222222 3 13 10 16 cos 3 330111 l 63 1 93 1111 AAABAB 111111111 ABADCCACCCAC ACBDNNE 22 (,0) 22 N (0,0,1)E ( 2, 2,0)A 22 (,1) 22 M 22 (,1) 22 NE 22 (,1) 22 AM NEAM NEAMNEAM NE BDEAM BDEAMBDE （2）由（1）知， ， ， 同理， 又，平面 1
18、9【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）设正三棱柱的侧棱长为， 由题意得， 所以，所以， 所以 （2）为的中点，由题意得 （3）， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为 20【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）连结，交于点，连结， 由是直三棱柱，四边形为矩形，为的中点， 又为中点，为中位线， ，平面，平面， 平面 （2）由是直三棱柱，且， 故以为坐标原点，分别为轴、轴、轴正半轴， 建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则有， ，取，得， 又，直线与平面的距离为 21【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）为正方形， 平面，平面， 又，平面， 平面，平面平面
19、 （2）建立以为轴，以为轴，以为轴的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，令，则； 设平面的法向量为，令，则， ， 二面角的余弦值为 22 (,1) 22 AM ( 2,0,0)D( 2, 2,1)F(0, 2,1)DF 0AM DFAMDF AMBF DFBFFAM BDF 2 1 1 () 2 AMABAAAC 6 6 h (0, 1,0)A ( 3,0,0)B (0,1,0)C 1(0, 1, ) Ah 1( 3,0, ) Bh 1(0,1, ) Ch 1 ( 3,1, )ABh 1 (3,1, )BCh 2 11 3 10AB BCh 2h M 1 BC 11 11 ()()
20、22 AMABACABAAAC 1 3 12AB BC 1 |6AB | 2BC 1 26 cos, 62 6 AB BC 1 ABBC 6 6 2 3 1 AC 1 ACOOD 111 ABCABC 11 ACC AO 1 AC DBCOD 1 ABC 1 ABODOD 1 ADC 1 AB 1 ADC 1 AB 1 ADC 111 ABCABC90ABC BBCBA 1 BBx y z Bxyz (0,0,0)B(2,0,0)C(0,2,0)A 1(2,0,1) C(1,0,0)D (1, 2,0)AD 1 (2, 2,1)AC 1 ADC( , , )x y zn 1 0 0 AD AC
21、 n n 20 220 xy xyz 1y (2,1, 2)n 1 (0,0,1)AA 1 AB 1 ADC 1 |2 |3 AA d n n 6 3 ABCDACBD CCABCDBD ABCDBD CC CCACCBD ACCA BD BDEBDE ACCA DA x DC y DD z (0,0,0)D(2,2,0)B 1 (0,2, ) 2 E(0,1,1)P (2,2,0)DB 1 (0,2, ) 2 DE (0,1,1)DP BDE ( , , )a b cm 220 1 20 2 DBab DEbc m m 1a (1, 1,4)m PBD ( , , )x y zn 220 0
22、 DBxy DPyz n n 1x (1, 1,1)n 66 cos, |3183 m n m n m n PBDE 6 3 22【答案】（1）；（2）；（3）存在， 【解析】 （1） 以点为原点， 分别以，所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 设，则， ， ，故， 即与所成角的余弦值为 （2）连接，由长方体及，得， ， 由（1）知，且，故平面， 所以是平面的法向量，而， 又，设平面的法向量为，则有， 取，可得， 则， 因为由图可知二面角为锐角，所以二面角是 （3）假设在棱上存在一点，使得平面，则， 设，平面的法向量为， 则有，取，可得， 要使平面，只要， 又平面，存在点使平面，此时 030 1
23、 2 AP AABAD 1 AA , ,x y z ABa (0,0,0)A(0,1,0)D 1(0,1,1) D( ,1,0) 2 a E 1( ,0,1) B a 1 (0,1,1)AD 1 (,1, 1) 2 a B E 1 ( ,0,1)ABa(,1,0) 2 a AE 11 01 1( 1) 10 2 a AD B E 11 BEAD 1 BE 1 AD0 1 AD 1 BC 1111 ABCDABC D 1 1AAAD 11 ADAD 11 BCAD 11 ADBC 11 BEAD 111 BCB EB 1 AD 11 DCB A 1 AD 11 AB E 1 (0,1,1)AD 2AB 1 B AE( , , )x y zn 1 020 0 0 ABxz xy AE n n 1x (1, 1, 2) n 1 1 1 33 cos, 2|26 AD AD AD n n n 11 ABEA30 1 AA(0,0, )Pt DP 1 B AE (0, 1, )DPt ABa 1 B AE( , , )x y zm 1 0 0 0 0 2 axz AB ax y AE m m 1x (1,) 2 a am DP 1 B AE DP m 1 0 22 a att DP 1 B AE PDP 1 B AE 1 2 AP