1、4 4. .2.22.2 对数的运算性质对数的运算性质 学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式 及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值 知识点一 对数的运算性质 如果 a0，且 a1，M0，N0，那么： (1)loga(MN)logaMlogaN； (2)logaM NlogaMlogaN； (3)logaMnnlogaM(nR) 思考 当 M0，N0 时，loga(MN)logaMlogaN，loga(MN)logaM logaN 是否成立？ 答案 不一定 知识点二 换底公式 1logaNlogcN logca(a0，a1，N0；c
2、0，c1) 2对数换底公式的重要推论： (1)logaN 1 logNa(N0，且 N1；a0，且 a1)； (2)log n m a bm nlogab(a0，且 a1，b0)； (3)logab logbc logcdlogad(a0，b0，c0，d0，且 a1，b1，c1) 思考 换底公式中底数 c 是特定数还是任意数？ 答案 是大于 0 且不等于 1 的任意数 1计算 log84log82_. 答案 1 解析 log84log82log881. 2计算 log510log52_. 答案 1 解析 log510log52log551. 3(1)lg 10_； (2)已知 ln a0.2，
3、则 ln e a_. 答案 (1)1 2 (2)0.8 解析 (1)lg 10 1 2 lg101 2； (2)ln e aln eln a10.20.8. 4.log29 log23_. 答案 2 解析 log29 log23log392. 一、对数运算性质的应用 例 1 (1)计算：(lg 5)22lg 2(lg 2)2； (2)计算： lg 32 5lg 9 3 5lg 27lg 3 lg 81lg 27 ； (3)已知 lg 20.301 0，lg 30.477 1，求 lg 45. 解 (1)原式(lg 5)2(2lg 2)lg 2 (lg 5)2(1lg 5)lg 2 (lg 5)
4、2lg 2 lg 5lg 2 (lg 5lg 2) lg 5lg 2 lg 5lg 21. (2)原式 lg 34 5lg 3 9 10lg 3 1 2lg 3 4lg 33lg 3 14 5 9 10 1 2 lg 3 43lg 3 11 5 . (3)lg 45lg 3 5lg 3lg 5 lg 31 2lg 5lg 3 1 2lg 10 2 lg 31 2(1lg 2) 0.477 11 2(10.301 0)0.826 6. 反思感悟 对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简， 取决于问题的实际情况，一般本着便
5、于真数化简的原则进行 (2)两种常用的方法 “收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； “拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差) 跟踪训练 1 (1)计算：1 2lg 32 49 4 3lg 8lg 245； (2)计算：lg 252 3lg 8lg 5lg 20(lg 2) 2； (3)已知 lg 20.301 0，lg 30.477 1，求 lg41.125. 解 (1)方法一 原式1 2(5lg 22lg 7) 4 3 3 2lg 2 1 2(2lg 7lg 5) 5 2lg 2lg 72lg 2lg 7 1 2lg 5 1 2lg 2 1 2lg 5 1 2(lg
6、2lg 5) 1 2lg 10 1 2. 方法二 原式lg 4 2 7 lg 4lg 7 5 lg 4 27 5 74 lg( 2 5)lg 101 2. (2)原式2lg 52lg 2lg 5(2lg 2lg 5)(lg 2)2 2lg 10(lg 5lg 2)22(lg 10)2213. (3)因为 lg 20.301 0，lg 30.477 1，所以 lg 41.125lg 4 9 8 1 4(lg 9lg 8) 1 4(2lg 33lg 2) 1 4(20.477 130.301 0)0.012 8. 二、换底公式的应用 例 2 (1)计算：(log43log83)(log32log9
7、2)； (2)已知 log189a,18b5，用 a，b 表示 log3645 的值 解 (1)原式 lg 3 lg 4 lg 3 lg 8 lg 2 lg 3 lg 2 lg 9 lg 3 2lg 2 lg 3 3lg 2 lg 2 lg 3 lg 2 2lg 3 5lg 3 6lg 2 3lg 2 2lg 3 5 4. (2)log189a,18b5，log185b. 于是 log3645log1845 log1836 log1895 log18182 log189log185 1log182 ab 1log1818 9 ab 2a. 延伸探究 若本例(2)条件不变，求 log915.(用
8、 a，b 表示) 解 因为 18b5，所以 log185b. 所以 log915log1815 log189 log1835 log189 log183log185 a log18 9b a 1 2 18 log 9b a 1 2log189b a 1 2ab a a2b 2a . 反思感悟 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 跟踪训练 2 (1)log89 log23的值是( ) A.2 3 B. 3 2 C1 D2 答案 A 解析 方法一 将分子、分母利用换底公式转化为常用对数， 即log89 log23 lg 9 lg 8 lg 3 lg 2 2lg 3 3lg 2 lg 2 lg 3
9、 2 3. 方法二 将分子利用换底公式转化为以 2 为底的对数， 即log89 log23 log29 log28 log23 2log23 3log23 2 3. (2)计算：log5 2 log79 log51 3 log7 3 4 . 解 原式log5 2 log51 3 log79 log7 3 4 23 1 2 2 11 42 33 log2 log9log 23log3 1 2 log32 3log23 3 2. 三、对数的实际应用 例 3 一台机器原价 20 万元，由于磨损，该机器每年比上一年的价格降低 8.75%，问经过多 少年这台机器的价值为 8 万元？(lg 20.301
10、0，lg 9.1250.960 2) 解 设经过 x 年，这台机器的价值为 8 万元 则 820(10.087 5)x，即 0.912 5x0.4， 两边同时取以 10 为底的对数，得 x lg 0.4 lg 0.912 5 lg 41 lg 9.1251 2lg 21 lg 9.125110(年) 所以约经过 10 年这台机器的价值为 8 万元 反思感悟 解决对数应用题的一般步骤 跟踪训练 3 某化工厂生产化工产品，今年生产成本为 50 元/桶，现使生产成本平均每年降 低 28%，那么几年后每桶的生产成本为 20 元(lg 20.301 0，lg 30.477 1，精确到 1 年)? 解 设
11、 x 年后每桶的生产成本为 20 元 1 年后每桶的生产成本为 50(128%) 2 年后每桶的生产成本为 50(128%)2. x 年后每桶的生产成本为 50(128%)x20. 所以，0.72x0.4.等号两边取常用对数， 得 xlg 0.72lg 0.4. 故 x lg 0.4 lg 0.72 lg410 1 lg7210 2 lg 41 lg 722 2lg 21 3lg 22lg 32 0.301 021 30.301 020.477 12 0.398 0 0.142 83(年) 所以，约 3 年后每桶的生产成本为 20 元 1求值：2log510log50.25 等于( ) A0
12、B1 C2 D4 答案 C 解析 2log510log50.25log5100log50.25 log5252. 2若 a0，a1，xy0，nN*，则下列各式： (logax)nnlogax；(logax)nlogaxn； logaxloga1 x； n logax1 nlogax； logax n loganx. 其中正确的有( ) A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 答案 A 3已知 2a5b10，则1 a 1 b_. 答案 1 解析 因为 2a5b10， 所以 alog210，blog510. 根据换底公式得 a 1 lg 2，b 1 lg 5， 所以1 a 1 blg 2lg 51. 4log23 log34 log42_. 答案 1 解析 log23 log34 log42lg 3 lg 2 lg 4 lg 3 lg 2 lg 41. 5已知 lg 20.301 0，则 lg 5_. 答案 0.699 0 解析 因为 lg 10lg(25)lg 2lg 51， 所以 lg 51lg 210.301 00.699 0. 1知识清单： (1)对数的运算性质 (2)换底公式 (3)对数的实际应用 2方法归纳：换底公式、转化法 3常见误区：要注意对数的运算性质(1)(2)的结构形式，易混淆