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4.2.2对数的运算性质 学案(含答案)

1、4 4. .2.22.2 对数的运算性质对数的运算性质 学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质,理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式 及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值 知识点一 对数的运算性质 如果 a0,且 a1,M0,N0,那么: (1)loga(MN)logaMlogaN; (2)logaM NlogaMlogaN; (3)logaMnnlogaM(nR) 思考 当 M0,N0 时,loga(MN)logaMlogaN,loga(MN)logaM logaN 是否成立? 答案 不一定 知识点二 换底公式 1logaNlogcN logca(a0,a1,N0;c

2、0,c1) 2对数换底公式的重要推论: (1)logaN 1 logNa(N0,且 N1;a0,且 a1); (2)log n m a bm nlogab(a0,且 a1,b0); (3)logab logbc logcdlogad(a0,b0,c0,d0,且 a1,b1,c1) 思考 换底公式中底数 c 是特定数还是任意数? 答案 是大于 0 且不等于 1 的任意数 1计算 log84log82_. 答案 1 解析 log84log82log881. 2计算 log510log52_. 答案 1 解析 log510log52log551. 3(1)lg 10_; (2)已知 ln a0.2,

3、则 ln e a_. 答案 (1)1 2 (2)0.8 解析 (1)lg 10 1 2 lg101 2; (2)ln e aln eln a10.20.8. 4.log29 log23_. 答案 2 解析 log29 log23log392. 一、对数运算性质的应用 例 1 (1)计算:(lg 5)22lg 2(lg 2)2; (2)计算: lg 32 5lg 9 3 5lg 27lg 3 lg 81lg 27 ; (3)已知 lg 20.301 0,lg 30.477 1,求 lg 45. 解 (1)原式(lg 5)2(2lg 2)lg 2 (lg 5)2(1lg 5)lg 2 (lg 5)

4、2lg 2 lg 5lg 2 (lg 5lg 2) lg 5lg 2 lg 5lg 21. (2)原式 lg 34 5lg 3 9 10lg 3 1 2lg 3 4lg 33lg 3 14 5 9 10 1 2 lg 3 43lg 3 11 5 . (3)lg 45lg 3 5lg 3lg 5 lg 31 2lg 5lg 3 1 2lg 10 2 lg 31 2(1lg 2) 0.477 11 2(10.301 0)0.826 6. 反思感悟 对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则:对数的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简, 取决于问题的实际情况,一般本着便

5、于真数化简的原则进行 (2)两种常用的方法 “收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数; “拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差) 跟踪训练 1 (1)计算:1 2lg 32 49 4 3lg 8lg 245; (2)计算:lg 252 3lg 8lg 5lg 20(lg 2) 2; (3)已知 lg 20.301 0,lg 30.477 1,求 lg41.125. 解 (1)方法一 原式1 2(5lg 22lg 7) 4 3 3 2lg 2 1 2(2lg 7lg 5) 5 2lg 2lg 72lg 2lg 7 1 2lg 5 1 2lg 2 1 2lg 5 1 2(lg

6、2lg 5) 1 2lg 10 1 2. 方法二 原式lg 4 2 7 lg 4lg 7 5 lg 4 27 5 74 lg( 2 5)lg 101 2. (2)原式2lg 52lg 2lg 5(2lg 2lg 5)(lg 2)2 2lg 10(lg 5lg 2)22(lg 10)2213. (3)因为 lg 20.301 0,lg 30.477 1,所以 lg 41.125lg 4 9 8 1 4(lg 9lg 8) 1 4(2lg 33lg 2) 1 4(20.477 130.301 0)0.012 8. 二、换底公式的应用 例 2 (1)计算:(log43log83)(log32log9

7、2); (2)已知 log189a,18b5,用 a,b 表示 log3645 的值 解 (1)原式 lg 3 lg 4 lg 3 lg 8 lg 2 lg 3 lg 2 lg 9 lg 3 2lg 2 lg 3 3lg 2 lg 2 lg 3 lg 2 2lg 3 5lg 3 6lg 2 3lg 2 2lg 3 5 4. (2)log189a,18b5,log185b. 于是 log3645log1845 log1836 log1895 log18182 log189log185 1log182 ab 1log1818 9 ab 2a. 延伸探究 若本例(2)条件不变,求 log915.(用

8、 a,b 表示) 解 因为 18b5,所以 log185b. 所以 log915log1815 log189 log1835 log189 log183log185 a log18 9b a 1 2 18 log 9b a 1 2log189b a 1 2ab a a2b 2a . 反思感悟 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 跟踪训练 2 (1)log89 log23的值是( ) A.2 3 B. 3 2 C1 D2 答案 A 解析 方法一 将分子、分母利用换底公式转化为常用对数, 即log89 log23 lg 9 lg 8 lg 3 lg 2 2lg 3 3lg 2 lg 2 lg 3

9、 2 3. 方法二 将分子利用换底公式转化为以 2 为底的对数, 即log89 log23 log29 log28 log23 2log23 3log23 2 3. (2)计算:log5 2 log79 log51 3 log7 3 4 . 解 原式log5 2 log51 3 log79 log7 3 4 23 1 2 2 11 42 33 log2 log9log 23log3 1 2 log32 3log23 3 2. 三、对数的实际应用 例 3 一台机器原价 20 万元,由于磨损,该机器每年比上一年的价格降低 8.75%,问经过多 少年这台机器的价值为 8 万元?(lg 20.301

10、0,lg 9.1250.960 2) 解 设经过 x 年,这台机器的价值为 8 万元 则 820(10.087 5)x,即 0.912 5x0.4, 两边同时取以 10 为底的对数,得 x lg 0.4 lg 0.912 5 lg 41 lg 9.1251 2lg 21 lg 9.125110(年) 所以约经过 10 年这台机器的价值为 8 万元 反思感悟 解决对数应用题的一般步骤 跟踪训练 3 某化工厂生产化工产品,今年生产成本为 50 元/桶,现使生产成本平均每年降 低 28%,那么几年后每桶的生产成本为 20 元(lg 20.301 0,lg 30.477 1,精确到 1 年)? 解 设

11、 x 年后每桶的生产成本为 20 元 1 年后每桶的生产成本为 50(128%) 2 年后每桶的生产成本为 50(128%)2. x 年后每桶的生产成本为 50(128%)x20. 所以,0.72x0.4.等号两边取常用对数, 得 xlg 0.72lg 0.4. 故 x lg 0.4 lg 0.72 lg410 1 lg7210 2 lg 41 lg 722 2lg 21 3lg 22lg 32 0.301 021 30.301 020.477 12 0.398 0 0.142 83(年) 所以,约 3 年后每桶的生产成本为 20 元 1求值:2log510log50.25 等于( ) A0

12、B1 C2 D4 答案 C 解析 2log510log50.25log5100log50.25 log5252. 2若 a0,a1,xy0,nN*,则下列各式: (logax)nnlogax;(logax)nlogaxn; logaxloga1 x; n logax1 nlogax; logax n loganx. 其中正确的有( ) A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 答案 A 3已知 2a5b10,则1 a 1 b_. 答案 1 解析 因为 2a5b10, 所以 alog210,blog510. 根据换底公式得 a 1 lg 2,b 1 lg 5, 所以1 a 1 blg 2lg 51. 4log23 log34 log42_. 答案 1 解析 log23 log34 log42lg 3 lg 2 lg 4 lg 3 lg 2 lg 41. 5已知 lg 20.301 0,则 lg 5_. 答案 0.699 0 解析 因为 lg 10lg(25)lg 2lg 51, 所以 lg 51lg 210.301 00.699 0. 1知识清单: (1)对数的运算性质 (2)换底公式 (3)对数的实际应用 2方法归纳:换底公式、转化法 3常见误区:要注意对数的运算性质(1)(2)的结构形式,易混淆