1、4 4. .1.21.2 指数幂的拓展指数幂的拓展 学习目标 通过对有理数指数幂 m n a(a0 且 a1， m， n 为整数， 且 n0)、 实数指数幂 ax(a0， 且 a1，xR)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质 知识点一 分数指数幂 1规定正数的正分数指数幂的意义是： m n anam(a0，m，nN*) 2规定正数的负分数指数幂的意义是： m n a 1 m n a 1 n am (a0，m，nN*) 30 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 思考 分数指数幂 m n a可以理解为m n个 a 相乘吗？ 答案 不可以分数指数幂 m n a不可以
2、理解为m n个 a 相乘事实上，它是根式的一种新写法 知识点二 有理数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： (1)asatas t(a0，s，tQ)； (2)(as)tast(a0，s，tQ)； (3)(ab)tatbt(a0，b0，tQ)； (4)拓展：a s ata st(a0，s，tQ) 知识点三 无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 a(a0， 是无理数)是一个确定的实数有理数指数幂的运算性质同 样适用于无理数指数幂 1 3 7 a (a0)化为根式的形式为_ 答案 1 7 a3 解析 3 7 a 3 7 1 a 1 7 a3 . 2 4 1 2 m (1
3、)0_(m0) 答案 m21 解析 4 1 2 m (1)0m21. 3化简 1 2 2 3 的结果是_ 答案 3 3 解析 原式 1 2 3 1 3 3 3 . 4下列等式一定成立的是_(a0) 1 3 a 3 2 aa； 1 2 a 1 2 a0； (a3)2a9； 1 2 a 1 3 a 1 6 a. 答案 一、根式与分数指数幂的互化 例 1 将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)aa a(a0)； (2) 1 3 x 5 x22 (x0)； (3) 2 32 4 3 b (b0) 解 (1)原式 1 2 a a a 1 3 2 2 a a 3 4 1 77 2 84 .aaaa (2
4、) 原式 249 2 33 55 5 3 111 x xx xx 3 5 13 9 35 5 11 .x x x (3)原式 2 1 3 2 12 21 4 3 43 39. bbb 反思感悟 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子 (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性 质解题 跟踪训练 1 将下列根式化成分数指数幂的形式： (1) 1 3 a2 (a0)； (2)a 4b23 ab2(a0，b0) 解 (1) 1 3 a2 2 3 2 3 1 .a a (2)a 4b23 ab2 2 3 4
5、1 2ab a b 12118114 42 333363. a b a babab 二、利用分数指数幂的运算性质化简求值 例 2 计算下列各式： (1) 23 5 022 1 2 1 2 4 (0.01)0.5； (2) 27 9 0.50.12 2 3 10 2 27 3037 48； (3) 25 4 3 33 8 4 0.062 5 2 2.5 5 1 3 0.064 0. 解 (1)原式11 4 2 3 1 10 16 15. (2)原式5 3100 9 163 37 48100 144 48 3100. (3)原式 11112 -2.5 23435 252762564 + 48100
6、001000 1 5 2 3 2 1 2 2 5 113. 反思感悟 指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算 (2)负指数幂化为正指数幂的倒数 (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式 表示，便于运用指数幂的运算性质 跟踪训练 2 化简求值： (1) 1 2 13 2 3 34 1 0.02762562 2 4 3 10； (2)(a 2b3)(4a1b) (12a4b2c)(a0，b0，c0)； (3)23a 46ab3 b3(a0，b0) 解 (1)原式 1 2 2 313 2 3 34 234 5 0.342 2
7、1 310.3 5 24 321 3164 7 15. (2)原式4a 21b31 (12a4b2c) 1 3a 3(4)b2(2)c1 1 3ac 1a 3c. (3)原式 1113 3662 243aa bb 1 11143 3 66632 13 3. 22 abba b 三、整体代换法求分数指数幂 例 3 (1)已知 11 22 xx 5，则 x2x 2_. 答案 7 解析 将 11 22 xx 5，两边平方得 xx 125， 则 xx 13， 两边再平方得 x2x 229，所以 x2x27. (2)已知 xx 17，求值： 11 22 xx ；x2x 2. 解 设 m 11 22 xx
8、 ，两边平方得 m2xx 12729， 因为 m0，所以 m3，即 11 22 xx 3. 设 n 11 22 xx ，两边平方得 n2xx 12725， 因为 nR，所以 n 5，即 11 22 xx 5. 所以 xx 1 1111 2222 xxxx 3 5， x2x 2(xx1)(xx1) 21 5. 反思感悟 利用整体代换法求分数指数幂 (1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运 用恒等式是关键 (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式 x2x 2(x x1)2 2，xx1 2 11 22 xx 2， 11
9、 22 xx 2 11 44 xx 2. 跟踪训练 3 已知 a2x 21，求a 2xa2x axa x的值 解 由 a2x 21，得 a 2x 21， 即 a2xa 2x2 2. 所以(axa x)222 2， 故 axa x 2 22(舍负) 所以a 2xa2x axa xaxa x 2 22. 1设 m，n 是正整数，a 是正实数，观察下列等式： m n anam；a01； m n a 1 n am . 其中正确的个数有( ) A0 B1 C2 D3 答案 D 解析 显然正确 2化简 3 42 3 5 的结果为( ) A5 B. 5 C 5 D5 答案 B 解析 3 42 3 5 3 1
10、 432 2 55 5. 3. a3 a 5 a4 (a0)的值为_ 答案 17 10 a 解析 原式 41 4171 3 52 510 3 2 .a aaaa 4若 10 x3,10y4，则 102x y_. 答案 9 4 解析 10 x3，102x9，102x y10 2x 10y 9 4. 5计算：0.25 1 2 44 20 1 2 1 16 _. 答案 4 解析 原式1 4164 1 1 4 1 4444. 1知识清单： (1)根式与分数指数幂的互化 (2)分数指数幂的运算 2方法归纳：整体代换法 3常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数， 也不能既含有分母又含有负指数