1、第第 2 2 课时课时 函数的图象函数的图象 学习目标 1.理解函数图象的含义.2.会画简单的函数图象.3.能利用图象初步研究函数的性 质.4.会求简单函数的值域 知识点一 函数图象的含义 将自变量的一个值 x0作为横坐标，相应的函数值 f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个 点(x0，f(x0)当自变量取遍函数定义域 A 中的每一个值时，就得到一系列这样的点所有这 些点组成的集合(点集)为(x，f(x)|xA，即(x，y)|yf(x)，xA，所有这些点组成的图形 就是函数 yf(x)的图象 知识点二 常见函数的定义域和值域 1一次函数 f(x)axb(a0)的定义域为 R，值域是 R.
2、 2二次函数 f(x)ax2bxc(a0)的定义域是 R， 当 a0 时，值域为 4acb2 4a ， ， 当 a0 时，值域为 ，4acb 2 4a . 3反比例函数 f(x)k x(k0)的定义域为x|x0，值域为y|y0 1函数的定义域和值域都是一个集合，表示时要写成集合或区间的形式( ) 2函数 y1 x的图象是由集合 y y1 x，x0 中元素组成的图形( ) 3函数 yx21 与函数 yx21(xN*)的图象完全相同( ) 一、画函数的图象 例 1 作出下列函数的图象并求其值域 (1)y2x24x3(0 x3)； (2)y2 x(2x1 且 x0) 解 (1)图象如图(1)所示，值
3、域为5,3) (2)图象如图(2)所示，其值域为(，1(2，) 反思感悟 作函数 yf(x)的图象分两种类型 (1)若 yf(x)是已学过的基本初等函数， 则通过描出 yf(x)的图象上的一些关键点画出 yf(x) 的图象 (2)若 yf(x)不是已学过的基本初等函数，则需要通过列表、描点、连线，这些基本步骤作出 yf(x)的图象 跟踪训练 1 作出下列函数图象，并指出其值域 (1)y1x(xZ 且|x|2)； (2)yx2x(1x1) 解 (1)图象如图(1)所示，值域为1,0,1,2,3 (2)图象如图(2)所示，其值域为 1 4，2 . 二、函数图象的应用 例 2 用描点法画出函数 f(
4、x)x22x3 的图象，并根据图象处理下列问题： (1)比较 f(0)，f(1)，f(3)的大小 (2)若 x1x21，比较 f(x1)与 f(x2)的大小 (3)求函数 f(x)的值域 解 因为函数 f(x)x22x3 的定义域为 R，列表： x 2 1 0 1 2 3 4 f(x) 5 0 3 4 3 0 5 描点，连线，得函数图象如图： (1)f(0)3，f(1)4，f(3)0， 所以 f(3)f(0)f(1) (2)根据图象，容易发现当 x1x21 时，有 f(x1)f(x2) (3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域 为(，4 延伸探
5、究 把本例(2)中的“若 x1x21”改为“x1x2”，其他条件不变，结果怎样？ 解 此时要对 x1，x2所处的范围分情况讨论 根据图象，若 x1x21，则 f(x1)f(x2)； 若 1x1f(x2)； 若 x11x21 时，则 f(x1)f(x2)； 当 1x1x21 时，则 f(x1)f(x2)； 当 1x1f(x2) 反思感悟 常借助函数图象解决下列问题 (1)比较函数值的大小 (2)求函数的值域 (3)求解不等式或参数范围 跟踪训练 2 函数 yf(x)的图象如图所示，则： (1)f(0)_； (2)f(2)_； (3)f(f(2)_； (4)若1x1x22，则 f(x1)与 f(x
6、2)的大小关系为_ 答案 (1)4 (2)3 (3)2 (4)f(x1)f(x2) 三、求函数值域 例 3 求下列函数的值域 (1)yx22x3，x0,3)； (2)y2x1 x3 ； (3)y2x x1. 解 (1)y(x1)22， x0,3)，(x1)20,4)， (x1)222,6)， 这个函数的值域为2,6) (2)y2x37 x3 2 7 x3. 7 x30，2 7 x32. 这个函数的值域为y|y2 (3)这个函数的定义域为1，)， y2x x12(x1) x12. 设 t x1，t0， 则 y2t2t22 t1 4 215 8 . t0， t1 4 20， 2 t1 4 215
7、8 15 8 ， 这个函数的值域为 15 8 ， . 反思感悟 求函数值域的方法 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到 (2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看 出其值域的方法 (3)分离常数法： 此方法主要是针对有理分式， 即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式， 便于求值域 (4)换元法：对于一些无理函数(如 yax b cx d)，通过换元把它们转化为有理函数，然后 利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域 跟踪训练 3 求下列函数的值域 (1)f(x)x22，x1,3； (2)f(x)2x1 x1 ； (3)f
8、(x)x x1. 解 (1)由题意，得抛物线 yx22 开口向上，对称轴是 y 轴，所以函数 f(x)x22 在1,3 上的最小值为 2，最大值为 11，所以函数 f(x)的值域是2,11 (2)方法一 因为 f(x)2x13 x1 2 3 x1， 所以 f(x)2， 所以函数 f(x)的值域为(，2)(2，) 方法二 令 y2x1 x1 ，所以 xy1 y2 . 由于 y2，所以函数 f(x)的值域为(，2)(2，) (3)令 x1t(t0)，则 xt21， 所以 yt2t1(t0) 因为抛物线 yt2t1 开口向上，对称轴为直线 t1 2，所以当 t 1 2时， y 取得最小值为 5 4，
9、 无最大值， 所以函数 f(x)的值域为 5 4， . 1函数 yx22x 的定义域为0,1,2,3，那么其值域为( ) A1,0,3 B0,1,2,3 Cy|1y3 Dy|0y3 答案 A 解析 当 x0 时，y0；当 x1 时，y121；当 x2 时，y4220；当 x3 时，y9233， 函数 yx22x 的值域为1,0,3 2函数 y x1的值域为( ) A1，) B0，) C(，0 D(，1 答案 B 解析 由题意得，x10，则有 y0，所以 B 正确 3函数 yf(x)图象如图所示，则 f(0)_， f(1)_，f(f(2)_. 答案 1 1 1 4某工厂 8 年来某产品总量 y 与时间 t(年)的函数关系如图，则： 前 3 年总产量增长速度越来越快； 前 3 年总产量增长速度越来越慢； 第 3 年后，这种产品停止生产 以上说法中正确的是_(填序号) 答案 解析 从图可以看出，工厂在前 3 年增长速度越来越快，3 年后，产品停止生产故正 确 5函数 f(x) 1 1x2(xR)的值域是_ 答案 (0,1 解析 因为 x20，所以 x211，所以 0 1 x211， 所以函数的值域为(0,1 1知识清单： (1)函数图象的概念 (2)函数图象的应用 2方法归纳：数形结合法、换元法、配方法 3常见误区：未弄清“实”、“虚”点导致画函数图象错误