1、第第 2 2 课时课时 分段函数分段函数 学习目标 1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质 知识点 分段函数 1在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式像这样的函数，通常叫作分段函数 2分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数 的定义域的交集是空集 3作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象 思考 分段函数是一个函数还是几个函数？ 答案 分段函数是一个函数，而不是几个函数 1分段函数由几个函数构成( ) 2函数 f(x) x1，x1， x3，x1 是分段函数( ) 3分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个
2、函数( ) 4分段函数各段上的函数值集合的交集为.( ) 一、分段函数求值 例 1 已知函数 f(x) x1，x2， 3x5，2x2，不合题意，舍去； 当2a2x，求 x 的取值范围 解 当 x2 时，f(x)2x 可化为 x12x， 即 x1，所以 x2； 当2x2x 可化为 3x52x， 即 x5，所以2x2x 可化为 2x12x，则 x. 综上可得，x 的取值范围是x|x2， x22x，x2， 则 f(f(1)等于( ) A1 2 B2 C4 D11 答案 C 解析 由函数的解析式可得，f(1)1223， 则 f(f(1)f(3)3 1 324. (2)函数 f(x) x22，x2， 4
3、 5x，x2. 若 f(x0)8，则 x0_. 答案 6或 10 解析 当 x02 时，f(x0)x2028，即 x206， x0 6或 x0 6(舍去)； 当 x02 时，f(x0)4 5x08，x010. 综上可知，x0 6或 x010. 二、分段函数的图象及应用 例 2 已知函数 f(x)x22，g(x)x，令 (x)minf(x)，g(x)(即 f(x)和 g(x)中的较小者) (1)分别用图象法和解析式表示 (x)； (2)求函数 (x)的定义域，值域 解 (1)在同一个坐标系中画出函数 f(x)，g(x)的图象如图. 由图中函数取值的情况，结合函数 (x)的定义，可得函数 (x)的
4、图象如图. 令x22x，得 x2 或 x1. 结合图，得出 (x)的解析式为 (x) x22，x2， x，2x1， x22，x1. (2)由图知，(x)的定义域为 R，(1)1， (x)的值域为(，1 反思感悟 分段函数图象的画法 (1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数 转化为分段函数，然后分段作出函数图象 (2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制， 作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不 重不漏 跟踪训练 2 设 xR，则函数 y2|x1|3|x|的值域为_ 答案
5、 y|y2 解析 当 x1 时，y2(x1)3xx2； 当 0 x1 时，y2(x1)3x5x2； 当 x0 时，y2(x1)3xx2. 故 y x2，x1， 5x2，0 x1， x2，x0. 根据函数解析式作出函数图象，如图所示 由图象可以看出，函数的值域为y|y2 三、分段函数的实际应用 例 3 如图所示，已知底角为 45 的等腰梯形 ABCD，底边 BC 长为 7 cm，腰长为 2 2 cm， 当垂直于底边 BC(垂足为 F)的直线 l 从左至右移动(与梯形 ABCD 有公共点)时， 直线 l 把梯形 分成两部分，令 BFx，试写出左边部分的面积 y 关于 x 的函数解析式，并画出大致图
6、象 解 过点 A，D 分别作 AGBC，DHBC，垂足分别是 G，H. 因为四边形 ABCD 是等腰梯形，底角为 45 ， AB2 2cm， 又 BC7 cm，所以 ADGH3 cm. (1)当点 F 在 BG 上，即 x0,2时，y1 2x 2； (2)当点 F 在 GH 上，即 x(2,5时， yxx2 2 22x2； (3)当点 F 在 HC 上，即 x(5,7时， yS五边形ABFEDS梯形ABCDSRtCEF 1 2(73)2 1 2(7x) 21 2(x7) 210. 综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为 y 1 2x 2，x0，2， 2x2，x2，5， 1 2x7 210，x
7、5，7. 图象如图所示 反思感悟 分段函数的实际应用 (1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的 对应关系，而分段函数图象也需要分段画 (2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区 间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式 跟踪训练 3 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示 (1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2 004 km，试建立行驶这段路程时 汽车里程表读数 s km 与时间 t h 的函数解析式，并作出相应的图象 解
8、 (1)阴影部分的面积为 501801901751651360. 阴影部分的面积表示汽车在这 5 h 内行驶的路程为 360 km. (2)根据图象，有 s 50t2 004，0t1， 80t12 054，1t2， 90t22 134，2t3， 75t32 224，3t4， 65t42 299，4t5. 相应的图象如图所示： 1函数 f(x)|x1|的图象是( ) 答案 B 解析 方法一 函数的解析式可化为 y x1，x1， 1x，x1. 画出此分段函数的图象，故选 B. 方法二 由 f(1)2，知图象过点(1,2)，排除 A，C，D. 2著名的 Dirichlet 函数 D(x) 1，x为有
9、理数， 0，x为无理数， 则 D()Dx 等于( ) A0 B1 C. 1，x为无理数， 0，x为有理数 D. 1，x为有理数， 0，x为无理数 答案 B 解析 D(x)0,1，D(x)为有理数，D()Dx 1. 3已知函数 f(x) 1 x1，x0， 2，x0，所以 x20，由于值域为各段的并集， 所以函数的值域为2(0，) 5函数 f(x) x2，x1， x2，1x2， 若 f(x)3，则 x 的值是_ 答案 3 解析 当 x1 时，x23，得 x1(舍去)； 当1x2 时，x23 得 x 3或 x 3(舍去) 1知识清单： (1)分段函数的概念及求值 (2)分段函数的图象及应用 (3)分段函数的实际应用 2方法归纳：分类讨论、数形结合法 3常见误区： (1)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实 (2)求分段函数的函数值时要依据自变量的取值范围确定对应的解析式