1、第第 2 2 课时课时 函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用 学习目标 1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用来比较大 小、求最值、解不等式 知识点 奇偶性与单调性 若函数 f(x)为奇函数，则 f(x)在关于原点对称的两个区间a，b和b，a上具有相同的单 调性；若函数 f(x)为偶函数，则 f(x)在关于原点对称的两个区间a，b和b，a上具有相 反的单调性 1f(x)(m1)x22mx3 为偶函数，则 f(x)在区间(2,5)上是( ) A增函数 B减函数 C有增有减 D增减性不确定 答案 B 解析 由 f(x)是偶函数，即 f(x)f(x)，得 m0，所以 f(x)
2、x23，画出函数 f(x)x2 3 的图像(图略)知，在区间(2,5)上为减函数 2 若 f(x)为 R 上的奇函数， 且在0， )上单调递减， 则 f(1)_f(1) (填“”“” 或“ 解析 f(x)为 R 上的奇函数，且在0，)上单调递减， f(x)在 R 上单调递减，f(1)f(1) 3 如果奇函数 f(x)在区间7， 3上是减函数， 那么函数 f(x)在区间3,7上是_函数 答案 减 解析 f(x)为奇函数， f(x)在3,7上的单调性与7，3上一致， f(x)在3,7上是减函数 4函数 f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x)x，则当 x0 时，f(x)_. 答案 x 解析 方法一
3、 令 x0，f(x)x， 又f(x)为偶函数，f(x)f(x)， f(x)x(x0) 方法二 利用图像(图略)可得当 x0 时，f(x)x22x3，求 f(x)的解析式 解 当 x0， 则 f(x)(x)22(x)3x22x3， 由于 f(x)是奇函数，故 f(x)f(x)， 所以 f(x)x22x3. 即当 x0， 0，x0， x22x3，x0， 则 f(x)(x)22(x)3x22x3， 因为函数 f(x)是偶函数， 所以 f(x)f(x)，所以 f(x)x22x3， 即当 x0 时，f(x)x22x3. 反思感悟 利用奇偶性求函数解析式的三个步骤 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析
4、式，x 就应在哪个区间上设； (2)转化到已知区间上，代入已知的解析式； (3)利用 f(x)的奇偶性写出f(x)或 f(x)，从而解出 f(x) 跟踪训练 1 已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x(0，)时，f(x)x(1x)，求 f(x)的解析 式 解 因为 x(，0)时，x(0，)， 所以 f(x)x1(x)x(x1) 因为 f(x)是 R 上的奇函数， 所以 f(x)f(x)x(x1)，x(，0) 又 f(0)0. 所以 f(x) x1x，x0， xx1，xf(3)f(2) Bf()f(2)f(3) Cf()f(3)f(2) Df()f(2)32， 所以 f()f(3)f(2)，
5、故 f()f(3)f(2) 反思感悟 利用函数的奇偶性与单调性比较大小 (1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小 (2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后 利用单调性比较大小 跟踪训练3 (多选)已知函数f(x)在5,5上是偶函数， f(x)在0,5上是单调函数， 且f(4)f(2)， 则下列不等式一定成立的是( ) Af(4)f(3) Cf(3)f(1) 答案 ABD 解析 因为函数 f(x)在5,5上是偶函数， 所以 f(4)f(2)f(4)f(3)，f(0)f(1) 命题角度 2 解不等式 例 4 已知函数 yf(x)在1,1
6、上既是奇函数，又是减函数，若 f(1a2)f(1a)0，求实数 a 的取值范围 解 由 f(1a2)f(1a)0， 得 f(1a2)f(1a) yf(x)在1,1上是奇函数， f(1a)f(a1)，f(1a2)a1， 解得 0a22， 0a2， 2a1. 0af(x2)或 f(x1)f(x2)的形式，再 根据函数的奇偶性与单调性， 列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响 跟踪训练 4 定义在2,2上的偶函数 f(x)在区间0,2上单调递减，若 f(1m)|m|， 解得1mf(10) Bf(1)f(10) Cf(1)f(10) Df(1)和 f(10)关系不确定 答案 A 解析 f(x)
7、是偶函数， f(10)f(10) 又 f(x)在0， )上单调递减， 且 1f(10)， 即 f(1)f(10) 3设 F(x)f(x)f(x)，xR，若 ， 2 是函数 F(x)的单调递增区间，则下列一定是 F(x)的单调递减区间的是( ) A. 2，0 B. 2， C. ，3 2 D. 3 2 ，2 答案 B 解析 因为 F(x)F(x)，所以 F(x)是偶函数，因而在 2， 上，F(x)一定单调递减 4已知函数 f(x)为偶函数，且当 x0 时，f(x)_. 答案 x1 解析 当 x0 时，x0， 则 x 的取值范围是_ 答案 (1,3) 解析 因为 f(x)是偶函数，所以 f(x1)f(|x1|) 又因为 f(2)0， 所以 f(x1)0 可化为 f(|x1|)f(2) 又因为 f(x)在0，)上单调递减， 所以|x1|2， 解得2x12， 所以1x3. 1知识清单： (1)利用奇偶性求解析式 (2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式 2方法归纳：数形结合法、分类讨论法 3常见误区：解不等式易忽视函数的定义域