1、3 3. .1.31.3 函数的奇偶性函数的奇偶性 第第 1 1 课时课时 函数的奇偶性函数的奇偶性 学习目标 1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶 函数图像的对称性解决简单问题 知识点 函数奇偶性的概念及图像特点 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 设函数 yf(x)的定义域为 D，如果对 D 内的任意 一个 x，都有xD 结论 f(x)f(x) f(x)f(x) 图像特点 关于 y 轴对称 关于原点对称 思考 奇(偶)函数的定义域有何特征？ 答案 奇(偶)函数的定义要求“对定义域 D 内任意一个 x， 都有xD”， 故奇(偶)函数的定 义域必须关于原点对
2、称 1奇、偶函数的定义域都关于原点对称( ) 2函数 f(x)x2|x|的图像关于原点对称( ) 3对于定义在 R 上的函数 f(x)，若 f(1)f(1)，则函数 f(x)一定是偶函数( ) 4不存在既是奇函数又是偶函数的函数( ) 一、函数奇偶性的判断 例 1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)2|x|； (2)f(x) x21 1x2； (3)f(x) x x1； (4)f(x) x1，x0， x1，x0 时，x0， f(x)1(x)1xf(x)； 当 x0， f(x)1(x)1xf(x) 综上可知，对于 x(，0)(0，)，都有 f(x)f(x)，f(x)为偶函数 反思感悟 判断函
3、数奇偶性的两种方法 (1)定义法 (2)图像法 注意： 对于分段函数奇偶性的判断， 应分段讨论， 要注意根据 x 的范围取相应的函数解析式 跟踪训练 1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x) x； (2)f(x) 1x2 x ； (3)f(x) x2x，x0， x2x，x0 时，x0， 则 f(x)(x)2(x)x2xf(x)； 当 x0， 则 f(x)(x)2(x)x2xf(x)， 综上可知，f(x)是偶函数 二、奇、偶函数图像的特征及应用 例 2 定义在 R 上的奇函数 yf(x)在0，)上的图像如图所示 (1)请在坐标系中补全函数 f(x)的图像； (2)解不等式 xf(x)0. 解
4、(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(1，1)，(2,0)，连线可得 f(x)的图像如图 (2)xf(x)0 即图像上横坐标、纵坐标同号结合图像可知，xf(x)0 的解集是(2,0)(0,2) 延伸探究 把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题 解 (1)f(x)的图像如图所示 (2)xf(x)0 的解集是(，2)(0,2) 反思感悟 可以用奇(偶)函数图像关于原点(y 轴)对称这一特性去画图，求值，解不等式等 跟踪训练 2 设奇函数 f(x)的定义域为5,5，当 x0,5时，函数 yf(x)的图像如图所示， 则使函数值 y0 的 x 的取值集合为( ) A(2,5) B(5
5、，2)(2,5) C(2,0) D(2,0)(2,5) 答案 D 解析 因为原函数是奇函数，所以 yf(x)在5,5上的图像关于坐标原点对称，由 yf(x)在 0,5上的图像，知它在5,0上的图像，如图所示，由图像知，使函数值 y0) Cyx31 Dyx 21 x 答案 AD 解析 对于 A，函数的定义域为 R，f(x)x3，f(x)(x)3f(x)，则函数 f(x)是奇函数； 对于 B，函数的定义域不关于原点对称，则函数 f(x)为非奇非偶函数；对于 C，函数的定义域 为 R，f(0)0110，则函数 f(x)为非奇非偶函数；对于 D，函数的定义域为(，0) (0，)，f(x)x 21 x
6、x 21 x f(x)，则函数 f(x)是奇函数 2函数 f(x)1 xx 的图像关于( ) Ay 轴对称 B直线 yx 对称 C坐标原点对称 D直线 yx 对称 答案 C 解析 f(x)1 xx 是奇函数， f(x)1 xx 的图像关于原点对称 3设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)x21 2x，则 f(1)等于( ) A3 2 B1 2 C.3 2 D.1 2 答案 A 解析 因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 所以 f(1)f(1)3 2. 4下列图像表示的函数是奇函数的是_，是偶函数的是_ (填序号) . 答案 解析 关于 y 轴对称是偶函数，关于原点对称是奇函数 5若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(3)2，则 f(3)_，f(0)_. 答案 2 0 解析 因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(3)f(3)2，f(0)0. 1知识清单： (1)函数奇偶性的概念 (2)奇函数、偶函数的图像特征 2方法归纳：特值法、数形结合法 3常见误区：忽略奇函数、偶函数的定义域关于原点对称