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3.1.1(第3课时)分段函数 学案(含答案)

1、第第 3 3 课时课时 分段函数分段函数 学习目标 1.理解分段函数的概念,会求分段函数的函数值.2.能画出分段函数的图像,并会 应用解决问题 知识点一 分段函数 如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为 分段函数 思考 分段函数分几段就是几个函数吗?它的定义域和值域怎么求? 答案 分段函数是一个函数,而不是几个函数分段函数的定义域是所有自变量取值区间的 并集,值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集 知识点二 常数函数 值域只有一个元素的函数, 通常称为常数函数 常数函数中所有自变量对应的函数值都相等 1分段函数由几个函数构成( ) 2函数 f

2、(x) 1,x0, 1,x0 是分段函数( ) 3分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集( ) 4分段函数的图像一定是一条与 y 轴垂直的直线( ) 一、分段函数的定义域、值域 例 1 函数 f(x) x21,0x1, 0,x0, x21,1x0 的定义域为_,值域为_ 答案 (1,1) (1,1) 解析 由已知得,f(x)的定义域为x|0x10 x|1x0 x|1x1,即(1,1)又 0x1时, 0x211, 1x0时, 1x211或x1, 则函数的定义域为_,值域为_ 答案 R 0,1 解析 由已知得,f(x)的定义域为1,1(1,)(,1)R,又 x1,1时, x20,1,故函数的值域

3、为0,1 二、分段函数的求值问题 例 2 已知函数 f(x) x1,x2, x22x,2x2, 2x1,x2. 试求 f(5),f( 3),f f 5 2 的值 解 由5(,2, 3(2,2),5 2(,2,知 f(5)514, f( 3)( 3)22( 3)32 3. 因为 f 5 2 5 21 3 2, 23 22 不合题意,舍去 当2a3,求 x 的取值范围 解 当 x2 时,x13,解得 x2, 又 x2,所以 x. 当2x3,解得 x1 或 x3, 又2x2,所以 1x3,解得 x2, 又 x2,所以 x2, 综上,若 f(x)3,则 x 的取值范围是(1,2)(2,) 反思感悟 (

4、1)求分段函数的函数值的方法 确定要求值的自变量属于哪一段区间 代入该段的解析式求值,当出现 f(f(x0)的形式时,应从内到外依次求值 (2)求某条件下自变量的值(或范围)的方法 先对 x 的取值范围分类讨论,然后代入不同的解析式,解方程(不等式)求解,注意需检验所 求的值是否在所讨论的区间内 跟踪训练 2 (1)设函数 f(x) 1x2,x1, x2x2,x1, 则 f 1 f2 等于( ) A.15 16 B4 C3 D3 答案 A 解析 依题意知 f(2)22224,则 f 1 f2 f 1 4 1 1 4 215 16. (2)已知 f(x) x2,x2, x2,x2,求 x 的取值

5、范围 解 当 x2 时,f(x)x2, 由 f(x)2,得 x22,解得 x0,故 x0; 当 x2,得x22, 解得 x4,故 x0 或 x0, x,x0, 所以函数的图像为选项 A. (2)分别作出下列分段函数的图像,并写出定义域及值域 (1)y 1 x,0x1, x,x1. (2)y 3,x2, 3x,2x2, 3,x2. 解 各函数对应图像如图所示: 由图像知,(1)的定义域是(0,),值域是1,); (2)的定义域是 R,值域是(6,6 反思感悟 分段函数图像的画法 (1)对含有绝对值的函数,要作出其图像,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数 转化为分段函数,然后分段作出函数

6、图像 (2)作分段函数的图像时,分别作出各段的图像,在作每一段图像时,先不管定义域的限制, 作出其图像,再保留定义域内的一段图像即可,作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不 重不漏 跟踪训练 3 已知函数 f(x)|x|x 2 1(2x2) (1)利用绝对值及分段函数知识,将函数解析式写成分段函数; (2)在坐标系中画出该函数的图像,并写出该函数的值域 解 (1)当 0 x2 时,f(x)xx 2 11. 当2x0 时,f(x)xx 2 1x1. 故 f(x) 1,0 x2, x1,2x100 时,设函数解析式为 yaxb(a0) 将 x100,y65 和 x130,y89 代入, 得 100

7、ab65, 130ab89, 解得 a0.8, b15. 所以 y0.8x15. 综上可得 y 0.65x,0 x100, 0.8x15,x100. (2)由(1)知电力公司采取的收费标准为:用户月用电量不超过 100 度时,每度电 0.65 元;超 过 100 度时,超出的部分,每度电 0.8 元 (3)当 x62 时,y620.6540.3(元); 当 y105 时, 因为 0.6510065100, 所以 1050.8x15,解得 x150. 即若该用户月用电 62 度时,则应交费 40.3 元;若该用户月交费 105 元,则该用户该月用了 150 度电 反思感悟 由分段函数的图像确定函

8、数解析式的步骤 (1)定类型:根据自变量在不同范围内图像的特点,先确定函数的类型 (2)设函数式:设出函数的解析式 (3)列方程(组):根据图像中的已知点,列出方程或方程组,求出该段内的解析式 (4)下结论:最后用“”表示出各段解析式,注意自变量的取值范围 跟踪训练 4 如图所示, 在边长为 4 的正方形 ABCD 上有一点 P, 沿逆时针方向由 B 点(起点) 向 A 点(终点)移动,设 P 点移动的路程为 x,ABP 的面积为 y. (1)根据题意写出 y 与 x 之间的函数解析式; (2)作出函数的图像,并根据图像求 y 的最大值 解 (1)点 P 移动,ABP 的面积随之变化,可分点

9、P 落在边 BC 上,CD 上,DA 上三种情况 进行讨论,得解析式 y 2x,x0,4, 8,x4,8, 2x24,x8,12. (2)函数的图像如图所示由图像可得 ymax8. 1一列货运火车从某站出发,匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶,过了一段时间,火车到 达下一站停车,装完货以后,火车又匀加速行驶,一段时间后再次匀速行驶,下列图像可以 近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( ) 答案 B 解析 根据题意,知这列火车从静止开始匀加速行驶,所以排除 A,D.然后匀速行驶一段时 间后又停止了一段时间,排除 C. 2设函数 f(x) x,x0, x2,x0. 若 f(a)4,则实数 a 等于

10、( ) A4 或2 B4 或 2 C2 或 4 D2 或 2 答案 B 解析 当a0 时, f(a)a4, 解得a4; 当a0 时, f(a)a24, 解得a2 或 a2(舍) 综上,a4 或 a2. 3函数 f(x)|x1|的图像是( ) 答案 B 解析 方法一 函数的解析式可化为 y x1,x1, 1x,x0, 若 f(x)3,则 x 的值是( ) A 3 B2 C1 或 1 D. 3 答案 BD 解析 依题意,若 x0,则 x53,解得 x2,符合题意若 x0,则 x23,解得 x 3(舍去)或 x 3. 5函数 f(x) 2x,0 x1, 2,1x2, 3,x2 的定义域是_ 答案 0,) 解析 定义域为0,1(1,2)2,)0,) 1知识清单: (1)分段函数的求值 (2)分段函数的定义域和值域 (3)分段函数的图像及应用 2方法归纳:数形结合法 3常见误区: (1)误认为分段函数是几个函数,求定义域和值域时不是求的并集 (2)分段函数的端点是否包含