1、第第 3 3 课时课时 分段函数分段函数 学习目标 1.理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值.2.能画出分段函数的图像，并会 应用解决问题 知识点一 分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为 分段函数 思考 分段函数分几段就是几个函数吗？它的定义域和值域怎么求？ 答案 分段函数是一个函数，而不是几个函数分段函数的定义域是所有自变量取值区间的 并集，值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集 知识点二 常数函数 值域只有一个元素的函数， 通常称为常数函数 常数函数中所有自变量对应的函数值都相等 1分段函数由几个函数构成( ) 2函数 f
2、(x) 1，x0， 1，x0 是分段函数( ) 3分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集( ) 4分段函数的图像一定是一条与 y 轴垂直的直线( ) 一、分段函数的定义域、值域 例 1 函数 f(x) x21，0x1， 0，x0， x21，1x0 的定义域为_，值域为_ 答案 (1,1) (1,1) 解析 由已知得，f(x)的定义域为x|0x10 x|1x0 x|1x1，即(1,1)又 0x1时， 0x211， 1x0时， 1x211或x1， 则函数的定义域为_，值域为_ 答案 R 0,1 解析 由已知得，f(x)的定义域为1,1(1，)(，1)R，又 x1,1时， x20,1，故函数的值域
3、为0,1 二、分段函数的求值问题 例 2 已知函数 f(x) x1，x2， x22x，2x2， 2x1，x2. 试求 f(5)，f( 3)，f f 5 2 的值 解 由5(，2， 3(2,2)，5 2(，2，知 f(5)514， f( 3)( 3)22( 3)32 3. 因为 f 5 2 5 21 3 2， 23 22 不合题意，舍去 当2a3，求 x 的取值范围 解 当 x2 时，x13，解得 x2， 又 x2，所以 x. 当2x3，解得 x1 或 x3， 又2x2，所以 1x3，解得 x2， 又 x2，所以 x2， 综上，若 f(x)3，则 x 的取值范围是(1,2)(2，) 反思感悟 (
4、1)求分段函数的函数值的方法 确定要求值的自变量属于哪一段区间 代入该段的解析式求值，当出现 f(f(x0)的形式时，应从内到外依次求值 (2)求某条件下自变量的值(或范围)的方法 先对 x 的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程(不等式)求解，注意需检验所 求的值是否在所讨论的区间内 跟踪训练 2 (1)设函数 f(x) 1x2，x1， x2x2，x1， 则 f 1 f2 等于( ) A.15 16 B4 C3 D3 答案 A 解析 依题意知 f(2)22224，则 f 1 f2 f 1 4 1 1 4 215 16. (2)已知 f(x) x2，x2， x2，x2，求 x 的取值
5、范围 解 当 x2 时，f(x)x2， 由 f(x)2，得 x22，解得 x0，故 x0； 当 x2，得x22， 解得 x4，故 x0 或 x0， x，x0， 所以函数的图像为选项 A. (2)分别作出下列分段函数的图像，并写出定义域及值域 (1)y 1 x，0x1， x，x1. (2)y 3，x2， 3x，2x2， 3，x2. 解 各函数对应图像如图所示： 由图像知，(1)的定义域是(0，)，值域是1，)； (2)的定义域是 R，值域是(6,6 反思感悟 分段函数图像的画法 (1)对含有绝对值的函数，要作出其图像，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数 转化为分段函数，然后分段作出函数
6、图像 (2)作分段函数的图像时，分别作出各段的图像，在作每一段图像时，先不管定义域的限制， 作出其图像，再保留定义域内的一段图像即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不 重不漏 跟踪训练 3 已知函数 f(x)|x|x 2 1(2x2) (1)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数； (2)在坐标系中画出该函数的图像，并写出该函数的值域 解 (1)当 0 x2 时，f(x)xx 2 11. 当2x0 时，f(x)xx 2 1x1. 故 f(x) 1，0 x2， x1，2x100 时，设函数解析式为 yaxb(a0) 将 x100，y65 和 x130，y89 代入， 得 100
7、ab65， 130ab89， 解得 a0.8， b15. 所以 y0.8x15. 综上可得 y 0.65x，0 x100， 0.8x15，x100. (2)由(1)知电力公司采取的收费标准为：用户月用电量不超过 100 度时，每度电 0.65 元；超 过 100 度时，超出的部分，每度电 0.8 元 (3)当 x62 时，y620.6540.3(元)； 当 y105 时， 因为 0.6510065100， 所以 1050.8x15，解得 x150. 即若该用户月用电 62 度时，则应交费 40.3 元；若该用户月交费 105 元，则该用户该月用了 150 度电 反思感悟 由分段函数的图像确定函
8、数解析式的步骤 (1)定类型：根据自变量在不同范围内图像的特点，先确定函数的类型 (2)设函数式：设出函数的解析式 (3)列方程(组)：根据图像中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式 (4)下结论：最后用“”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围 跟踪训练 4 如图所示， 在边长为 4 的正方形 ABCD 上有一点 P， 沿逆时针方向由 B 点(起点) 向 A 点(终点)移动，设 P 点移动的路程为 x，ABP 的面积为 y. (1)根据题意写出 y 与 x 之间的函数解析式； (2)作出函数的图像，并根据图像求 y 的最大值 解 (1)点 P 移动，ABP 的面积随之变化，可分点
9、P 落在边 BC 上，CD 上，DA 上三种情况 进行讨论，得解析式 y 2x，x0，4， 8，x4，8， 2x24，x8，12. (2)函数的图像如图所示由图像可得 ymax8. 1一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到 达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图像可以 近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( ) 答案 B 解析 根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除 A，D.然后匀速行驶一段时 间后又停止了一段时间，排除 C. 2设函数 f(x) x，x0， x2，x0. 若 f(a)4，则实数 a 等于
10、( ) A4 或2 B4 或 2 C2 或 4 D2 或 2 答案 B 解析 当a0 时， f(a)a4， 解得a4； 当a0 时， f(a)a24， 解得a2 或 a2(舍) 综上，a4 或 a2. 3函数 f(x)|x1|的图像是( ) 答案 B 解析 方法一 函数的解析式可化为 y x1，x1， 1x，x0， 若 f(x)3，则 x 的值是( ) A 3 B2 C1 或 1 D. 3 答案 BD 解析 依题意，若 x0，则 x53，解得 x2，符合题意若 x0，则 x23，解得 x 3(舍去)或 x 3. 5函数 f(x) 2x，0 x1， 2，1x2， 3，x2 的定义域是_ 答案 0，) 解析 定义域为0,1(1,2)2，)0，) 1知识清单： (1)分段函数的求值 (2)分段函数的定义域和值域 (3)分段函数的图像及应用 2方法归纳：数形结合法 3常见误区： (1)误认为分段函数是几个函数，求定义域和值域时不是求的并集 (2)分段函数的端点是否包含