1、第第 2 2 课时课时 函数的表示方法函数的表示方法 学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点， 会根据不同需要选择恰当的方法表示 函数.2.掌握求函数解析式的常用方法.3.会作函数的图像并从图像上获取有用信息 知识点 函数的表示方法 思考 函数三种表示法的优缺点各有哪些？ 答案 1任何一个函数都可以用解析法表示( ) 2任何一个函数都可以用图像法表示( ) 3函数 f(x)2x1 不能用列表法表示( ) 4函数的图像一定是定义区间上一条连续不断的曲线( ) 一、函数的三种表示方法 例 1 某商场新进了 10 台 4K 高清电视，每台售价 3 000 元，试求售出台数 x(x 为正整数
2、)与 收款数 y 之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来 解 (1)列表法： x/台 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 (2)图像法：如图所示 (3)解析法：y3 000 x，x1,2,3，10 反思感悟 应用函数三种表示方法应注意以下两点 (1)解析法必须注明函数的定义域 (2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系 (3)图像法要注意是否连续 跟踪训练 1 某问答游戏的规则是： 共 5 道选择题， 基础分为 50 分，
3、每答错一道题扣 10 分， 答对不扣分，试分别用列表法、图像法、解析法表示一个参与者的得分 y 与答错题目道数 x(x0,1,2,3,4,5)之间的函数关系 解 (1)该函数关系用列表法表示为： x/道 0 1 2 3 4 5 y/分 50 40 30 20 10 0 (2)该函数关系用图像法表示，如图 (3)该函数关系用解析法表示为 y5010 x(x0,1,2,3,4,5) 二、求函数的解析式 例 2 (1)已知 f(x)是一次函数，且 f(f(x)9x4，求 f(x)的解析式； (2)已知 f( x1)x2 x，求 f(x)的解析式； (3)已知 2f 1 x f(x)x(x0)，求 f
4、(x)的解析式 解 (1)设 f(x)kxb(k0)， 则 f(f(x)k(kxb)bk2xkbb9x4. k29， kbb4， 解得 k3，b1 或 k3，b2. f(x)3x1 或 f(x)3x2. (2)方法一 (配凑法) f( x1)x2 x( x1)21( x11)， f(x)x21(x1) 方法二 (换元法) 令 x1t(t1)，则 x(t1)2(t1)， f(t)(t1)22 t12t21(t1) f(x)x21(x1) (3)由题意知，f(x)2f 1 x x，令 x1 x， 得 f 1 x 2f(x)1 x. 于是得到关于 f(x)与 f 1 x 的方程组 fx2f 1 x
5、x， f 1 x 2fx1 x. 解得 f(x) 2 3x x 3(x0) 反思感悟 求函数解析式的常用方法 (1)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数 f(g(x)的解析式，求 f(x)的解析式可用换元法(或 “配凑法”)，即令 g(x)t，反解出 x，然后代入 f(g(x)中求出 f(t)，从而求出 f(x) (2)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式， 再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式 (3)消元法(或解方程组法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有 着某种关系，这时就要依据两个变量的
6、关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个 式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式 跟踪训练 2 (1) 已知函数 f(x)是二次函数，且 f(0)1，f(x1)f(x)2x2，求 f(x)； (2)已知 f( x4)x8 x，求 f(x2) 解 (1)(待定系数法) 设 f(x)ax2bxc(a0) f(0)1，c1. 又f(x1)f(x)2x2， a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x2， 整理，得 2ax(ab)2x2. 由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等， 2a2， ab2， 解得 a1， b1， f(x)x2x1. (2)方法一 (配凑法) f
7、( x4)( x)28 x( x4)216， f(x)x216(x4) f(x2)x416(x2 或 x2) 方法二 (换元法) 令 x4t(t4)， 则 x(t4)2(t4) f(t)(t4)28(t4)t216(t4)， 即 f(x)x216(x4) f(x2)x416(x2 或 x2) 三、函数图像的作法及应用 例 3 作出下列函数的图像并求出其值域： (1)y2x1，x0,2； (2)y2 x，x2，)； (3)yx22x，x2,2 解 (1)当 x0,2时， 图像是直线 y2x1 的一部分， 如图， 观察图像可知， 其值域为1,5 (2)当 x2， )时， 图像是反比例函数 y2 x
8、的一部分， 如图， 观察图像可知其值域为(0,1 (3)当2x2 时，图像是抛物线 yx22x 的一部分，如图， 由图可得函数的值域是1,8 反思感悟 函数 yf(x)图像的画法 (1)若 yf(x)是已学过的基本初等函数，则描出图像上的几个关键点，直接画出图像即可，有 时需要根据定义域进行取舍 (2)若 yf(x)不是所学过的基本初等函数之一，则要按：列表；描点；连线三个基本步 骤作出 yf(x)的图像 跟踪训练 3 作出下列函数的图像： (1)yx2，|x|3； (2)yx22，xZ 且|x|2. 解 (1)因为|x|3，所以函数的图像为线段，而不是直线，如图(1) (2)因为 xZ 且|
9、x|2，所以函数的图像是五个孤立的点，如图(2) 函数图像的应用 典例 (1)已知 f(x)的图像如图所示，则 f(x)的定义域为_，值域为_ 答案 2,45,8 4,3 解析 函数的定义域对应图像上所有点的横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合 (2)若函数 f(x)x24x3(x0)的图像与 ym 有两个交点，求实数 m 的取值范围 解 f(x)x24x3(x0)的图像如图， f(x)的图像与直线 ym 有 2 个不同交点， 由图易知1m3. 素养提升 (1)画函数图像可以依托已经学习过的函数图像以及图像的对称、翻折变换等方 法 (2)函数图像很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数
10、学本质，依托函数图像可以更直 观地寻求问题的解决思路和要点 (3)借助几何直观认识事物的位置关系，形态变化与运动规律；利用图形分析数学问题，是直 观想象的核心内容，也是数学的核心素养 1.若 f(x)3x4，g(x1)f(x)，则 g(x)等于( ) A3x3 B3x5 C3x1 D3x4 答案 C 解析 g(x1)3x43(x1)1， g(x)3x1. 2已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出 x 1 2 3 f(x) 2 1 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则 f(g(1)的值为_；当 g(f(x)2 时，x_. 答案 1 1 解析 由给出函数关系的表格，知 g(1)3，f(
11、g(1)f(3)1.由于 g(2)2，f(x)2，x 1. 3已知函数 f(x)是一次函数，且其图像过 A(2,0)，B(1,5)两点，则 f(x)的解析式为 _ 答案 f(x)5 3x 10 3 解析 设 f(x)kxb(k0)，则 2kb0， kb5， 解得 k5 3，b 10 3 .所以 f(x)的解析式为 f(x)5 3x 10 3 . 4.已知函数 f(x)的图像如图所示， 其中点 A， B 的坐标分别为(0,3)， (3,0)， 则 f(f(0)_. 答案 0 解析 结合题图可得 f(0)3， 则 f(f(0)f(3)0. 5.函数 f(x)的图像如图所示，则 f(x)的定义域是_，值域是_ 答案 1,0)(0,2 1,1) 1知识清单： (1)函数的三种表示方法 (2)函数解析式的求法 (3)函数图像的画法和应用 2方法归纳：配凑法、换元法、待定系数法、数形结合法 3常见误区：求函数解析式时易忽视定义域