1、第第 2 2 课时课时 均值不等式的综合应用均值不等式的综合应用 学习目标 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问 题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题 知识点 用均值不等式求最值 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值 (1)已知 x，y 都是正数，如果和 xy 等于定值 S，那么当 xy 时，积 xy 有最大值1 4S 2. (2)已知 x，y 都是正数，如果积 xy 等于定值 P，那么当 xy 时，和 xy 有最小值 2 P. 思考 你能用两句话总结上述两项内容吗？ 答案 口诀：和定积最大，积定和最
2、小 1已知 2ab1，a0，b0，则1 a 1 b的最小值是( ) A2 2 B32 2 C32 2 D3 2 答案 C 解析 1 a 1 b(2ab) 1 a 1 b 3b a 2a b 32 b a 2a b 32 2，当且仅当b a 2a b ，即 a1 2 2 ，b 21 时，等号成立1 a 1 b的最小值是 32 2. 2若 x0，y0，且1 x 4 y1，则 xy 的最小值是( ) A3 B6 C9 D12 答案 C 解析 xy(xy) 1 x 4 y 1y x 4x y 4 5y x 4x y 52 y x 4x y 549. 当且仅当 1 x 4 y1， y x 4x y ，
3、即 x3， y6 时等号成立，故 xy 的最小值为 9. 3已知 a0，b0，ab2，则 y1 a 4 b的最小值是( ) A.7 2 B4 C. 9 2 D5 答案 C 解析 ab2， ab 2 1. 1 a 4 b 1 a 4 b ab 2 5 2 2a b b 2a 5 22 2a b b 2a 9 2 当且仅当2a b b 2a，即b2a时，等号成立 . 故 y1 a 4 b的最小值为 9 2. 4某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元/次，一年的总存储费 用为 4x 万元，则当 x_时，一年的总运费与总存储费用之和最小为_ 答案 20 160 解析
4、总运费与总存储费用之和 y4x400 x 44x1 600 x 24x 1 600 x 160， 当且仅当 4x1 600 x ， 即 x20 时，等号成立 一、利用均值不等式变形求最值 例 1 已知 x0，y0，且满足8 x 1 y1.求 x2y 的最小值 解 x0，y0，8 x 1 y1， x2y 8 x 1 y (x2y)10 x y 16y x 102 x y 16y x 18， 当且仅当 8 x 1 y1， x y 16y x ， 即 x12， y3 时，等号成立， 故当 x12，y3 时，x2y 的最小值为 18. 延伸探究 若把“8 x 1 y1”改为“x2y1”，其他条件不变，
5、求 8 x 1 y的最小值 解 x0，y0， 8 x 1 y(x2y) 8 x 1 y 816y x x y210 16y x x y102 1618. 当且仅当 16y x x y， x2y1， 即 x2 3， y1 6 时取等号， 当 x2 3，y 1 6时， 8 x 1 y取到最小值 18. 反思感悟 利用均值不等式的变形求最值的策略 (1)应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用均值不等式及使 等号成立的条件 (2)当连续应用均值不等式时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，否则也不能求出最 值 (3)特别注意“1”的代换 跟踪训练 1 设 x0，y0，且 2
6、x8yxy0，求 xy 的最小值 解 方法一 由 2x8yxy0，得 y(x8)2x. x0，y0，x80，y 2x x8， xyx 2x x8x 2x1616 x8 (x8) 16 x810 2x8 16 x81018， 当且仅当 x8 16 x8，即 x12，y6 时，等号成立 xy 的最小值是 18. 方法二 由 2x8yxy0 及 x0，y0， 得8 x 2 y1. xy(xy) 8 x 2 y 8y x 2x y 102 8y x 2x y 1018， 当且仅当8y x 2x y ，即 x12，y6 时等号成立 xy 的最小值是 18. 二、 均值不等式在实际问题中的应用 例 2 “
7、足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族 伟大“中国梦”的重要保障某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入 资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量 Q 万件(生产量与销售量 相等)与推广促销费 x 万元之间的函数关系为 Qx1 2 (其中推广促销费不能超过 3 万元)已 知加工此批农产品还要投入成本 2 Q1 Q 万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品 的销售价格定为 220 Q 元/件那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？ 最大利润为多少？(利润销售额成本推广促销费) 解 设该批产品的利润为 y， 由题意
8、知 y 220 Q Q2 Q1 Q x 2Q202Q2 Qx20 2 Qx 20 4 x1x21 4 x1x1 ，00，故y x182 258， 当且仅当 x5 时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为 8 万元 三 、均值不等式的综合应用 例 3 不等式 9xa 2 x a1(常数 a0)，对一切正实数 x 成立，求 a 的取值范围 解 常数 a0，若 9xa 2 x a1 对一切正实数 x 成立， 则 a19xa 2 x 的最小值， 又 9xa 2 x 6a， 当且仅当 9xa 2 x ， 即 xa 3时，等号成立 故必有 6aa1，解得 a1 5. 所以 a 的取值范围为 a1 5. 反
9、思感悟 (1)af(x)恒成立af(x)的最小值 (2)af(x)恒成立af(x)的最大值 注意：f(x)表示关于 x 的代数式 跟踪训练 3 已知不等式(xy) 4 x a y 16 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值 为( ) A1 B2 C4 D6 答案 C 解析 (xy) 4 x a y 4a 4y x ax y ， 因为 x0，y0，a0， 所以4y x ax y 2 4y x ax y 4 a， 当且仅当4y x ax y 时取等号 由已知可得 4a4 a16，即 a4 a120， 解得 a2 或 a6(舍去)， 所以 a4，即 a 的最小值为 4. 均值不等式在
10、实际问题中的应用 典例 新建一个面积为 360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维 修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口，如图已知 旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m.设利用的旧墙长度为 x(单位：m)，修建 此矩形场地围墙的总费用为 y(单位：元) 试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用 解 设矩形的另一边长为 a m， 则 y45x180(x2)1802a225x360a360. 由已知 ax360，得 a360 x ， y225x360 2 x 360. x0， 225x36
11、0 2 x 2 225360210 800. y225x360 2 x 36010 440. 当且仅当 225x360 2 x ，即 x24 时，等号成立 当 x24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10 440 元 素养提升 数学建模是对现实问题进行数学抽象， 建立和求解模型的过程， 其一般步骤是： 建模解模回归验证本例中所涉及的 yxa x(a0)就是一个应用广泛的函数模型通过 解答应用题提高数学建模的素养 1若 xy 是正数，则 x 1 2y 2 y 1 2x 2的最小值是( ) A3 B.7 2 C4 D. 9 2 答案 C 解析 x 1 2y 2 y 1 2x 2 x2x
12、 y 1 4y2y 2y x 1 4x2 x2 1 4x2 y2 1 4y2 x y y x 1124， 当且仅当 xy 2 2 或 xy 2 2 时取等号 2将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度 的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A6.5 m B6.8 m C7 m D7.2 m 答案 C 解析 设两直角边分别为 a，b，直角三角形的框架的周长为 l， 则1 2ab2， ab4，lab a2b22 ab 2ab42 26.828(m) 要求够用且浪费最少 选用 7 m 的铁丝 3已知 x0，y0,2x3y6，则 xy 的最大值为_
13、 答案 3 2 解析 因为 x0，y0,2x3y6， 所以 xy1 6(2x 3y) 1 6 2x3y 2 2 1 6 6 2 23 2. 当且仅当 2x3y，即 x3 2，y1 时，等号成立 xy 取到最大值3 2. 4若 a，b(0，)，满足 ab3ab，则 ab 的取值范围是_ 答案 6，) 解析 ab3ab ab 2 2， (ab)24(ab)120， 解得 ab6，当且仅当 ab3 时取等号 5若对任意 x0， x x23x1a 恒成立，则 a 的取值范围是_ 答案 1 5， 解析 因为 x0， 所以 x x23x1 1 x1 x3 1 23 1 5， 当且仅当 x1 时等号成立， 即 x x23x1的最大值为 1 5，故 a 1 5. 1知识清单： (1)已知 x，y 是正数，“和定积最大，积定和最小” (2)求解应用题的方法与步骤 审题，建模(列式)，解模，作答 (3)均值不等式的综合应用 2方法归纳：常数代换法 3常见误区：缺少等号成立的条件