1、3.13.1 函数的概念与性质函数的概念与性质 3 3. .1.11.1 函数及其表示方法函数及其表示方法 第第 1 1 课时课时 函数的概念函数的概念 学习目标 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上， 用集合语言和对应关系刻画 函数，建立完整的函数概念.2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成 函数的要素，能求简单函数的定义域和值域. 知识点一 函数的有关概念 函数的 定义 给定两个非空实数集 A 与 B，以及对应关系 f，如果对于集合 A 中的每一个实数 x，在集合 B 中都有唯一确定的实数 y 与 x 对应， 则称 f 为定义在集合 A 上的一个函数 函数
2、的 记法 yf(x)，xA 定义域 x 称为自变量，y 称为因变量，自变量取值的范围(即数集 A)称为 函数的定义域 值域 所有函数值组成的集合yB|yf(x)，xA称为函数的值域 知识点二 同一个函数 一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域如果两个函数表达式表示的函数定义 域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数 特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同 思考 定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？ 答案 不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数 1任何两个集合之间都可以建立函数关系( ) 2已知定义域和对应
3、关系就可以确定一个函数( ) 3若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素( ) 4函数 yf(x)x2，xA 与 uf(t)t2，tA 表示的是同一个函数( ) 一、函数关系的判断 例 1 (1)(多选)下列两个集合间的对应中，是 A 到 B 的函数的有( ) AA1,0,1，B1,0,1，f：A 中的数的平方 BA0,1，B1,0,1，f：A 中的数的开方 CAZ，BQ，f：A 中的数的倒数 DA1,2,3,4，B2,4,6,8，f：A 中的数的 2 倍 答案 AD 解析 A 选项：(1)21,020,121，为一一对应关系，是 A 到 B 的函数B 选项： 0 0， 1 1，集合
4、A 中的元素 1 在集合 B 中有两个元素与之对应，不符合函数定义，不是 A 到 B 的函数C 选项：A 中元素 0 的倒数没有意义，不符合函数定义，不是 A 到 B 的函数D 选项：122,224,326,428，为一一对应关系，是 A 到 B 的函数 (2)设 Mx|0 x2，Ny|0y2，给出如图所示的四个图形： 其中，能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的个数是( ) A0 B1 C2 D3 答案 B 解析 中，因为在集合 M 中当 1x2 时，在 N 中无元素与之对应，所以不是；中， 对于集合 M 中的任意一个数 x，在 N 中都有唯一的数与之对应，所以是；中，x2 对应 元素
5、y3N，所以不是；中，当 x1 时，在 N 中有两个元素与之对应，所以不是因 此只有是 反思感悟 (1)判断对应关系是否为函数的两个条件 A，B 必须是非空实数集 A 中任意一元素在 B 中有且只有一个元素与之对应 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系 (2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法 任取一条垂直于 x 轴的直线 l. 在定义域内平行移动直线 l. 若 l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内有两个或两个以上的交点，则不 是函数 跟踪训练 1 (1) 下列对应关系式中是 A 到 B 的函数的是( ) AAR，BR，x2y21 BA1,0,
6、1，B1,2，y|x|1 CAR，BR，y 1 x2 DAZ，BZ，y2x1 答案 B 解析 对于 A，x2y21 可化为 y 1x2，显然对任意 xA(x 1 除外)，y 值不唯一， 故不符合函数的定义；对于 B，符合函数的定义；对于 C,2A，在此时对应关系无意义，故 不符合函数的定义；对于 D，1A，但在集合 B 中找不到与之相对应的数，故不符合函数 的定义 (2)判断下列对应关系 f 是否为定义在集合 A 上的函数 AR，BR，对应关系 f：y 1 x2； A1,2,3，BR，f(1)f(2)3，f(3)4； A1,2,3，B4,5,6，对应关系如图所示 解 AR，BR，对于集合 A
7、中的元素 x0，在对应关系 f：y 1 x2的作用下，在集合 B 中没有元素与之对应，故所给对应关系不是定义在 A 上的函数 由 f(1)f(2)3，f(3)4，知集合 A 中的每一个元素在对应关系 f 的作用下，在集合 B 中 都有唯一的元素与之对应，故所给对应关系是定义在 A 上的函数 集合 A 中的元素 3 在集合 B 中没有与之对应的元素， 且集合 A 中的元素 2 在集合 B 中有两 个元素(5 和 6)与之对应，故所给对应关系不是定义在 A 上的函数 二、求函数的定义域、函数值和值域 命题角度 1 求函数的定义域 例 2 求下列函数的定义域： (1)f(x)x1 2 x1 1x；(
8、2)f(x) 5x |x|3 ； (3) f(x) 3x x1. 解 (1)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足 x10， 1x0. 解得 x1，且 x1， 即函数定义域为x|x1，且 x1 (2)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足 5x0， |x|30， 解得 x5，且 x 3， 即函数定义域为x|x5，且 x 3 (3)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足 3x0， x10， 解得 1x3， 所以这个函数的定义域为x|1x3 延伸探究 在本例(3)条件不变的前提下，求函数 yf(x1)的定义域 解 由 1x13 得 0 x2. 所以函数 yf(x1)的定义域为0,2 反
9、思感悟 求函数定义域的常用依据 (1)若 f(x)是分式，则应考虑使分母不为零 (2)若 f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零 (3)若 f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义 (4)若 f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义 跟踪训练 2 函数 y 2x23x2 1 4x的定义域为_ 答案 ，1 2 2,4) 解析 由 2x23x20， 4x0， 4x0， 得 x1 2或 2x4， 所以定义域为 ，1 2 2,4) 命题角度 2 求函数值 例 3 已知 f(x) 1 2x(xR，且 x2)，g(x)x4(xR) (1)求 f(1)，g(1
10、), g(f(1)的值； (2)求 f(g(x) 解 (1)f(1) 1 211，g(1)145， g(f(1)g(1)5. (2)f(g(x)f(x4) 1 2x4 1 2x 1 x2(xR，且 x2) 反思感悟 求函数值的方法 (1)已知 f(x)的表达式时，只需用 a 替换表达式中的 x 即得 f(a)的值 (2)求 f(g(a)的值应遵循由里往外的原则 跟踪训练 3 已知 f(x) 1 1x(xR，且 x1)，g(x)x 22(xR)，则 f(2)_，f(g(2) _，f(g(x)_. 答案 1 3 1 7 1 x23 解析 f(x) 1 1x， f(2) 1 12 1 3. 又g(x
11、)x22， g(2)2226， f(g(2)f(6) 1 16 1 7. f(g(x) 1 1gx 1 x23. 命题角度 3 求值域 例 4 求下列函数的值域： (1)y2x1，x1,2,3,4； (2)y3x1 x1 ； (3)yx x. 解 (1)当 x1 时，y3；当 x2 时，y5；当 x3 时，y7；当 x4 时，y9. 所以函数 y2x1，x1,2,3,4的值域为3,5,7,9 (2)借助反比例函数的特征 y3x14 x1 3 4 x1(x1)， 显然 4 x1可取 0 以外的一切实数， 即所求函数的值域为y|y3 (3)设 u x(x0)，则 xu2(u0)， 则 yu2u u
12、1 2 21 4(u0) 由 u0，可知 u1 2 21 4， 所以 y0. 所以函数 yx x的值域为0，) 反思感悟 求函数值域常用的四种方法 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到 (2)配方法： 当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时， 可利用配方法求其值域 (3)分离常数法： 此方法主要是针对有理分式， 即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式， 便于求值域； (4)换元法： 即运用新元代换， 将所给函数化成值域易确定的函数， 从而求得原函数的值域 对 于 f(x)axb cxd(其中 a，b，c，d 为常数，且 a0)型的函数常用换元法 跟踪训练 4
13、求下列函数的值域： (1)y2x1 x3 ； (2)y2x x1. 解 (1)(分离常数法)y2x1 x3 2x37 x3 2 7 x3， 显然 7 x30，所以 y2. 故函数的值域为(，2)(2，) (2)(换元法)设 t x1， 则 xt21，且 t0， 所以 y2(t21)t 2 t1 4 215 8 ， 由 t0，再结合函数的图像(如图)，可得函数的值域为 15 8 ， . 三、同一个函数的判定 例 5 (多选)下列各组函数表示同一个函数的是( ) Af(x)x，g(x)( x)2 Bf(x)x21，g(t)t21 Cf(x)1(x0)，g(x)x x Df(x)x，g(x)|x|
14、答案 BC 解析 A 中，由于 f(x)x 的定义域为 R，g(x)( x)2的定义域为x|x0，它们的定义域不 相同，所以它们不是同一个函数 B 中，函数的定义域、值域和对应关系都相同，所以它们是同一个函数 C 中，由于 g(x)x x1 的定义域为x|x0，故它们的定义域相同，所以它们是同一个函数 D 中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一个函数 反思感悟 在两个函数中，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才是同一个函数值 域相等，只是前两个要素相等的必然结果 跟踪训练 5 下列各组式子是否表示同一个函数？为什么？ (1)f(x)|x|，(t) t2； (2)y 1x
15、 1x，y 1x2； (3)y 3x2，yx3. 解 (1)f(x)与 (t)的定义域相同， 又 (t) t2|t|， 即 f(x)与 (t)的对应关系也相同， f(x)与 (t)是同一个函数 (2)y 1x 1x的定义域为x|1x1， y 1x2的定义域为x|1x1， 即两者定义域相同 又y 1x 1x 1x2， 两函数的对应关系也相同 故 y 1x 1x与 y 1x2是同一个函数 (3)y 3x2|x3|与 yx3 的定义域相同，但对应关系不同， y 3x2与 yx3 不是同一个函数 1若 Ax|0 x2，By|1y2，下列图形中能表示以 A 为定义域，B 为值域的函数 的是( ) 答案
16、B 解析 A 中值域为y|0y2，故错误；C，D 中值域为1,2，故错误 2若 f(x) x1，则 f(3)等于( ) A2 B4 C2 2 D10 答案 A 解析 因为 f(x) x1，所以 f(3) 312. 3函数 y 1x x的定义域为( ) Ax|x1 Bx|x0 Cx|x1 或 x0 Dx|0 x1 答案 D 解析 由题意可知 1x0， x0， 解得 0 x1. 4如果函数 yx22x 的定义域为0,1,2,3，那么其值域为( ) A1,0,3 B0,1,2,3 Cy|1y3 Dy|0y3 答案 A 解析 当 x 取 0,1,2,3 时，y 的值分别为 0，1,0,3，则其值域为1,0,3 5下列四个图像中，不是以 x 为自变量的函数的图像是( ) 答案 C 解析 根据函数定义，可知对自变量 x 的任意一个值，都有唯一确定的实数(函数值)与之对 应，显然选项 A，B，D 满足函数的定义，而选项 C 不满足 1知识清单： (1)函数的概念 (2)函数的定义域、值域 (3)同一个函数的判定 2方法归纳：观察法、换元法、配方法、分离常数法 3常见误区： (1)定义域中的每一个自变量都有唯一确定的值与其相对应 (2)自变量用不同字母表示不影响相同函数的判断