1、3.23.2 函数与方程、不等式之间的关系函数与方程、不等式之间的关系 第第 1 1 课时课时 函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的 关系关系 学习目标 1.体会函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系.2.通过一元二次函数的零 点问题解一元二次不等式.3.了解高次不等式的解法 知识点一 函数零点的概念 (1)一般地，如果函数 yf(x)在实数 处的函数值等于零，即 f()0，则称 为函数 yf(x) 的零点 (2) 是函数 yf(x)零点的充要条件是，_(，0)是函数图像与 x 轴的公共点 思考 函数的零点是“点”吗？ 答案 函数的零点不是点，
2、而是一个实数，即函数 yf(x)与 x 轴的交点的横坐标当函数的 自变量取这一实数时，其函数值为零 知识点二 二次函数的零点与对应方程、不等式解集之间的关系 判别式 b24ac 0 0 0)的图像 一元二次方程 ax2bxc 0(a0)的根 有两个不相等的实 数根 x1，x2(x10(a0)的解集 x|xx2 x x b 2a R ax2bxc0)的解集 x|x1xx2 思考 函数的零点与方程的根及函数图像有何关系？ 答案 方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图像与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点 1函数的零点就是函数的图像与 x 轴的交点( ) 2所有的函数都有零点( ) 3一次
3、函数 ykxb(k0)只有一个零点( ) 4不论实数 a 取什么值，不等式 ax2bxc0 的解集一定与函数 f(x)ax2bxc 的零点 有关( ) 一、函数的零点及求法 命题角度 1 求函数的零点 例 1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出 (1)f(x)x3 x ；(2)f(x)x22x4. 解 (1)令x3 x 0，解得 x3， 所以函数 f(x)x3 x 的零点是 x3. (2)令 x22x40，由于 22414120， 所以方程 x22x40 无实数解， 所以函数 f(x)x22x4 不存在零点 反思感悟 求函数 yf(x)的零点的方法 (1)求函数 f(x)的零点就是求方
4、程 f(x)0 的解，求解时注意函数的定义域 (2)已知 x0是函数 f(x)的零点，则必有 f(x0)0. 跟踪训练 1 求下列函数的零点 (1)f(x)x27x6； (2)f(x)x 24x12 x2 . 解 (1)解方程 x27x60， 得 x1 或 x6，所以函数的零点是1，6. (2)解方程x 24x12 x2 0，得 x6，所以函数的零点为6. 命题角度 2 函数的零点个数问题 例 2 函数 f(x) x2，x0 的零点个数是( ) A0 B1 C2 D3 答案 C 解析 方法一 因为方程 x20(x0)的根为 x1， 所以 函数 f(x)有 2 个零点：2 与 1. 方法二 画出
5、函数 f(x) x2，x0 的图像，如图所示，观察图像可知，f(x)的图像与 x 轴有 2 个交点，所以函数 f(x)有 2 个零点 反思感悟 判断函数零点个数的方法 (1)直接求出函数的零点进行判断 (2)结合函数图像进行判断 跟踪训练 2 设函数 f(x) x2bxc，x0， 2，x0， 若 f(4)f(0)，f(2)2，则关于 x 的方 程 f(x)x 的解的个数为( ) A1 B2 C3 D4 答案 C 解析 由 f(4)f(0)，f(2)2， 得 164bcc， 42bc2. b4， c2. f(x) x24x2，x0， 2，x0. 当 x0 时，f(x)x24x2x，解得 x1 或
6、 x2. 当 x0 时，f(x)2x，解得 x2. 方程 f(x)x 的解有 3 个 二、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 例 3 解下列不等式： (1)2x25x30； (2)3x26x2. 解 (1)因为 490，方程 2x25x30 的两根为 x13，x21 2， 所以作出函数 y2x25x3 的图像，如图所示 由图可得原不等式的解集为 x 3x0，解方程 3x26x20， 得 x13 3 3 ，x23 3 3 ， 所以作出函数 y3x26x2 的图像，如图所示，由图可得原不等式的解集为 x x3 3 3 或x3 3 3 . 反思感悟 解一元二次不等式的一般步骤 第一步
7、：求函数的零点； 第二步：作出函数的图像； 第三步：求对应不等式的解集 跟踪训练 3 解下列不等式： (1)4x24x10； (2)x26x100. 解 (1)方程 4x24x10 有两个相等的实根 x1x21 2.作出函数 y4x 24x1 的图像 如图由图可得原不等式的解集为 ，1 2 1 2， . (2)原不等式可化为 x26x100，364040 和 f(x)0 的解集 解 函数零点依次为1 2，1,3. 函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号如下表所示. x ，1 2 1 2，1 (1,3) (3，) f(x) 由此可以画出函数图像的示意图如图所示 由图可知 f(x
8、)0 的解集为 1 2，1 (3，)； f(x)0 的解集为 ，1 2 1,3 反思感悟 数轴穿根法的步骤 第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为 0(注意：一定要保证最高次 项的系数为正数)； 第二步：将不等号换成等号解出所有根； 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根； 第四步：画穿根线，以数轴为标准，从最右根的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过次 右根，一上一下依次穿过各根(遇偶次重根不穿透，遇奇次重根要穿透)； 第五步：观察不等号，如果不等号为，则取数轴上方穿根线以内的范围；如果不等号为， 则取数轴下方穿根线以内的范围 跟踪训练 4 求函数 f(x)(x1)(x2)(
9、x3)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式 f(x)0 和 f(x)0 的解集 解 函数的零点为3,1,2. 函数的定义域被这三个点分成四部分，每一部分函数值的符号如下表所示. x (，3) (3,1) (1,2) (2，) f(x) 根据穿根法如图， 由图可知，f(x)0 的解集为3,12，)， f(x)0 的解集为(，3)(1,2) 一元二次方程根的分布问题 典例 已知关于 x 的一元二次方程 x22mx2m10. (1)若方程有两根，其中一根在区间(1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求 m 的取值范围； (2)若方程有两个不相等的实根，且均在区间(0,1)内，求 m 的取值范围
10、 解 (1)令 f(x)x22mx2m1，依题意得函数 f(x)x22mx2m1 的图像与 x 轴的交点 分别在区间(1,0)和(1,2)内，画出图像如图所示： 由图像得 f120， f02m10， f14m20， f26m50， 即 m1 2， m1 2， m5 6， 所以5 6m 1 2，即 m 的取值范围是 5 6， 1 2 . (2)根据函数图像与 x 轴的两个交点均在区间(0,1)内，画出图像如图所示： 由图像得 0， 0m1， f00， f10， 即 m1 2或m1 2， 1m0， m1 2， m1 2， 所以1 2m1 2， 即 m 的取值范围是 1 2，1 2 . 素养提升 (
11、1)解此类问题一般从四个方面考虑： 抛物线的开口方向； 一元二次方程根的判别式； 对应区间端点函数值的符号； 抛物线的对称轴与区间端点的位置关系 (2)通过根的分布问题，培养直观想象与逻辑推理等核心素养 1函数 y3x1 的零点是( ) A. 0 B.1 3 C. 0，1 3 D. 1 3，0 答案 B 解析 令 y3x10，得 x1 3.所以选 B. 2(多选)下列图像表示的函数中有零点的是( ) 答案 BCD 解析 B，C，D 的图像均与 x 轴有交点，故函数均有零点，A 的图像与 x 轴没有交点，故函 数没有零点 3函数 f(x)x1 x零点的个数是( ) A0 B1 C2 D3 答案 C 解析 令 x1 x0，即 x 210，x 1. f(x)x1 x的零点有两个. 4不等式 x24x30 的解集为_ 答案 (1,3) 解析 作出函数 yx24x3 的图像(图略)，由图可知不等式的解集是(1,3) 5不等式(x1)(x2)(x3)0 的解集为_ 答案 (，1)(2,3) 解析 函数的零点为1,2,3. 利用数轴穿根法作出函数图像的示意图(图略)， 由图可知不等式(x1)(x2)(x3)0 的解集为(，1)(2,3) 1知识清单： (1)函数零点的概念，零点个数的判断 (2)由函数图像解不等式 2方法归纳：数形结合法、数轴穿根法 3常见误区：一元二次不等式含字母时需要讨论