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第三章 函数 章末检测试卷(含答案)

1、章末检测试卷章末检测试卷( (三三) ) (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1函数 f(x) x1 x2 的定义域为( ) A(1,) B1,) C1,2) D1,2)(2,) 答案 D 解析 根据题意有 x10, x20, 解得 x1 且 x2. 2若函数 f(x)x3(xR),则函数 yf(x)在其定义域上是( ) A单调递减的奇函数 B单调递增的偶函数 C单调递减的偶函数 D单调递增的奇函数 答案 A 解析 方法一 (数形结合法):先画出 f(x)x3的图像,再将其关于 y 轴对称,得到 yf(x) 的图像如图,

2、由图像得 yf(x)为减函数,由图像关于原点对称得 f(x)为奇函数 方法二 (直接法):因为 f(x)x3, 所以 f(x)x3, 所以 yx3是单调递减的奇函数 3函数 f(x) x,x0, x2,x0. 若 f()4,则实数 等于( ) A4 或2 B4 或 2 C2 或 4 D2 或 2 答案 B 解析 当 0 时,有 24,2; 当 0 时,有4,4. 因此,4 或 2. 4已知 f x 21 2x3,则 f(6)的值为( ) A15 B7 C31 D17 答案 C 解析 令x 21t,则 x2t2. 将 x2t2 代入 f x 21 2x3, 得 f(t)2(2t2)34t7. 所

3、以 f(x)4x7,所以 f(6)46731. 5已知函数 f(x)ax3bx(a0)满足 f(3)3,则 f(3)等于( ) A2 B2 C3 D3 答案 C 解析 f(x)a(x)3b(x)(ax3bx)f(x),且 f(x)的定义域为 R, f(x)为奇函数, f(3)f(3)3. 6函数 f(x)ax22x1 在区间(1,1)和(1,2)上分别有一个零点,则实数 a 的取值范围是 ( ) A(3,1) B. 3 4,1 C. 3,3 4 D(,3) 3 4, 答案 B 解析 方法一 由零点存在定理知,只需满足 f1f10, f1f20, 解得3 4a0,g(x)0,x 2, 时,f(x

4、)0,g(x)0,所以 x 0, 2 时,y f(x) g(x)0. 8若关于 x 的不等式 x24x2a0 在区间(1,4)内有解,则实数 a 的取值范围是( ) A(,2) B(2,) C(6,) D(,6) 答案 A 解析 不等式 x24x2a0 在区间(1,4)内有解等价于 a(x24x2)max,令 g(x)x24x 2,x(1,4),所以 g(x)g(4)2,所以 a2. 二、多项选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分全部选对的得 5 分,部分选对的 得 3 分,有选错的得 0 分) 9已知狄利克雷函数 f(x) 1,x是有理数, 0,x是无理数, 则下列结论正确

5、的是( ) Af(x)的值域为0,1 Bf(x)定义域为 R Cf(x1)f(x) Df(x)是奇函数 答案 BC 解析 对 A, f(x)的值域为0,1,故 A 错误对 B, f(x)的定义域为 R.故 B 正确 对 C,当 x 是有理数时,x1 也为有理数,当 x 是无理数时,x1 也为无理数,故 f(x1) f(x)成立故 C 正确对 D, 因为 f(0)1,故 D 错误 10函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,下列说法正确的是( ) Af(0)0 B若 f(2)3,则 f(2)3 C若 f(x)在0,)上有最小值1,则 f(x)在(,0上有最大值 1 D若 f(x)在1,)上为增函

6、数,则 f(x)在(,1上为减函数 答案 ABC 解析 A 项,f(0)0 正确;B 正确;C 项正确,D 不正确,因为奇函数在对称区间上具有相 同的单调性 11已知函数 f(x)ax22ax3(a0),则( ) Af(3)f(3) Bf(2)f(3) 答案 ACD 解析 f(x)ax22ax3(a0)对称轴为 x1,且在1,)上是增函数, f(3)f(5)f(3),选项 A 正确;f(2)f(4)f(3),选项 B 错误; f(4)f(2),选项 C 正确;f(4)f(3),选项 D 正确 12具有性质:f 1 x f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数中满足 “倒负”变换

7、的有( ) Ayx1 x Byx1 x Cy x,0x1 Dy1x 1x(x1) 答案 ACD 解析 对于 A:f 1 x 1 x 1 1 x x1 xf(x),所以函数 yx 1 x符合题意; 对于 B:f(x)x1 x,f 1 x 1 x 1 1 x x1 xf(x),所以函数 yx 1 x不符合题意; 对于 C:当 0x1,所以有 f 1 x 1 1 x xf(x), 当 x1 时,f(1)0, 当 x1 时,01 x1,所以有 f 1 x 1 x 1 x f(x),所以函数 y x,0x1 符合题 意; 对于 D: f 1 x 11 x 11 x x1 1x 1x 1xf(x), 所以

8、符合题意 三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13已知 f(x)为奇函数,g(x)f(x)9,g(2)3,则 f(2)_. 答案 6 解析 根据已知条件,得 g(2)f(2)9,又 f(x)为奇函数,所以f(2)f(2),则3f(2) 9,解得 f(2)6. 14已知 f(x) x24x,x0, 0,x0, x24x,xx 的解集为_ 答案 (5,0)(5,) 解析 由 f(x)x,得 x24xx, x0 或 x24xx, x5 或5xx,即2x1 时,h(x)x. 当 2x2x,即 x1 或 x2 时,h(x)2x2. 故 h(x) x,2x1, 2x2,x1或x

9、2. 其图像如图中实线部分,当 x2 或 x1 时,为抛物线的一部分,当2x1 时,为线段 由图像可知,当 x 取 1 时,h(x)取最大值 1. 所以 minf(x),g(x)的最大值为 1.由 h(x)1 20 得 h(x) 1 2,直线 y 1 2与 h(x)的图像的交点 有两个,所以函数 yh(x)1 2有两个零点 四、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17(10 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x0 时,f(x)1x 1x. (1)求 f(5)的值; (2)求函数 f(x)的解析式 解 (1)因为函数 f(x)是奇函数,且 x0,则x0 时,f(x)1x

10、 1x x1 1x. 所以 f(x) 1x 1x,x0. 18(12 分)已知函数 f(x)axb,且 f(1)2,f(2)1. (1)求 f(m1)的值; (2)判断函数 f(x)的单调性,并用定义证明 解 (1)由 f(1)2,f(2)1, 得 ab2, 2ab1, 解得 a3,b5,故 f(x)3x5, f(m1)3(m1)53m2. (2)函数 f(x)在 R 上单调递减,证明如下: 任取 x1x2(x1,x2R), 则 f(x2)f(x1)(3x25)(3x15) 3x13x23(x1x2), 因为 x1x2,所以 x1x20, 所以 f(x2)f(x1)0, 即 f(x2)0 时,

11、f(x)x22x. (1)求出函数 f(x)在 R 上的解析式; (2)画出函数 f(x)的图像 解 (1)由于函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数, 则 f(0)0; 当 x0,因为 f(x)是奇函数, 所以 f(x)f(x)(x)22(x)x22x. 综上,f(x) x22x,x0, 0,x0, x22x,x0), 将点(0,3)的坐标代入得 a2, 所以 f(x)2(x1)212x24x3. (2)由(1)知 f(x)的对称轴为直线 x1, 所以 2a1a1,所以 0a0 对于任意 x1,1恒成立, 所以 x23x1m 对于任意 x1,1恒成立, 令 g(x)x23x1,x1,1, 则

12、 g(x)ming(1)1, 所以 m 的取值范围为(,1) 21(12 分)某化学试剂厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1x10), 每小时可获得的利润是 5x13 x 万元 (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 30 万元,求 x 的取值范围; (2)要使生产 120 千克该产品获得的利润最大,则该工厂应该选取何种生产速度?并求出最大 利润 解 (1)由题意可知,2 5x13 x 30. 所以 5x214x3(5x1)(x3)0, 所以 x1 5或 x3. 又 1x10,所以 3x10. (2)易知获得的利润 y120 x 5x13 x 120 3 x2

13、1 x5 ,x1,10, 令 t1 x 1 10,1 ,则 y120(3t 2t5) 当 t1 6,即 x6 时,ymax610, 故该工厂应该选取 6 千克/小时的生产速度,此时利润最大,且最大利润为 610 万元 22(12 分)已知函数 yxt x有如下性质: 如果常数 t0,那么该函数在(0, t上是减函数,在 t,)上是增函数 (1)已知 f(x)4x 212x3 2x1 ,x0,1,利用上述性质,求函数 f(x)的单调区间和值域; (2)对于(1)中的函数 f(x)和函数 g(x)x2a, 若对任意 x10,1, 总存在 x20,1, 使得 g(x2) f(x1)成立,求实数 a

14、的值 解 (1)yf(x)4x 212x3 2x1 2x1 4 2x18, 设 u2x1,x0,1,则 1u3, 则 yu4 u8,u1,3 由已知性质得,当 1u2,即 0 x1 2时,f(x)单调递减; 当 2u3,即1 2x1 时,f(x)单调递增, 所以 f(x)的单调递减区间为 0,1 2 , 单调递增区间为 1 2,1 ; 由 f(0)3,f 1 2 4,f(1)11 3 , 得 f(x)的值域为4,3 (2)g(x)x2a 为减函数, 故 g(x)12a,2a,x0,1 由题意得,当 x0,1时,f(x)的值域是 g(x)的值域的子集, 所以 12a4, 2a3, 所以 a3 2.