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第一章 集合与常用逻辑用语 章末检测试卷(含答案)

1、章末检测试卷章末检测试卷( (一一) ) (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1设集合 A1,2,3,Bx|1x2,xZ,则 AB 等于( ) A1 B1,2 C0,1,2,3 D1,0,1,2,3 答案 C 解析 集合 A1,2,3,Bx|1x2,xZ0,1,所以 AB0,1,2,3 2集合 AxN|0x4的真子集个数为( ) A3 B4 C7 D8 答案 C 解析 集合 AxN|0x41,2,3, 真子集的个数是 2317. 3命题“对任意 xR,都有 x21”的否定是( ) A对任意 xR,都有 x21 B不存在

2、xR,使得 x21 C存在 xR,使得 x21 D存在 xR,使得 x21 答案 D 解析 因为全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题“对任意 xR,都有 x21”的 否定是:存在 xR,使得 x21. 4设集合 Ax,y,B0,x2,若 AB,则 2xy 等于( ) A0 B1 C2 D1 答案 C 解析 由 AB,得 x0 或 y0.当 x0 时,x20,此时 B0,0,不满足集合中元素的互 异性,舍去; 当 y0 时,xx2,则 x0 或 x1.由上知 x0 不合适,故 y0,x1,则 2xy2. 5“a1”是“函数 yax22x1 与 x 轴只有一个交点”的( ) A充要条件 B充

3、分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 答案 B 解析 当 a1 时,函数 yax22x1x22x1 与 x 轴只有一个交点;但若函数 y ax22x1 与 x 轴只有一个交点,则 a1 或 a0,所以“a1”是“函数 yax22x 1 与 x 轴只有一个交点”的充分不必要条件 6 已知集合 A2,7, B(m1,2m1), 若 ABA 且 B, 则 m 的取值范围为( ) A3,4 B(3,4) C(2,4) D(2,4 答案 D 解析 ABA,BA, m12, 2m17, m12m1, 即 2m4. 7已知集合 Ax|a2xa2,Bx|x2 或 x4,则 AB的充要条件是(

4、 ) A0a2 B2a2 C0a2 D0a0.若命题 p 为假命题,则实数 a 的取值范围是( ) A. ,1 3 B. 0,1 3 C. ,1 3 D. 1 3, 答案 C 解析 若 a0,则不等式等价为 2x30,对于xR 不恒成立, 若 a0,则 a0, 412a1 3, 命题 p 为真命题时 a 的取值范围为 1 3, , 使命题 p 为假命题的 a 的取值范围是 ,1 3 . 二、多项选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分全部选对的得 5 分,部分选对的 得 3 分,有选错的得 0 分) 9已知集合 Ax|ax2,B2, 2,若 BA,则实数 a 的值可能是( )

5、A1 B1 C2 D2 答案 ABC 解析 因为 BA,所以 2A, 2A, 2a2, 2a2, 解得 a1. 10下列说法正确的是( ) A命题“xR,x21”的否定是“xR,x29” C“x2y2”是“xy”的必要不充分条件 D“m1”的否定是“xR,x21”,故错误; B命题“x(3,),x29”的否定是“x(3,),x29”,正确; Cx2y2|x|y|,|x|y|不能推出 xy,xy 也不能推出|x|y|,所以“x2y2”是“xy”的既 不充分也不必要条件,故错误; D 关于 x 的方程 x22xm0 有一正根一负根 44m0, m0 m0, 所以“myt2;xtyt;2x2y;01

6、 xy 的充分条件 的是( ) A B C D 答案 ACD 解析 由”xt2yt2可知 t20, 所以 xy,故 xt2yt2xy; 当 t0 时,xy;当 t0 时,xyt xy; 2x2yxy; 01 xy. 12若 xx|xk3是 xx|4x1的必要不充分条件,则实数 k 可以是( ) A8 B5 C1 D4 答案 ACD 解析 由题意知(4,1)(,k)(k3,), 所以 k1 或 k34, 即 k(,71,) 三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13 “红豆生南国, 春来发几枝?愿君多采撷, 此物最相思 ”这是唐代诗人王维的 相思 , 在这四句诗中,可作

7、为命题的是_ 答案 红豆生南国 解析 “红豆生南国”是陈述句,意思是“红豆生长在中国南方”,这在唐代是事实,故本 语句是命题,且是真命题;“春来发几枝”是疑问句,“愿君多采撷”是祈使句,“此物最 相思”是感叹句,都不是命题 14已知 p:1x3,q:1xm1,若 p 是 q 的必要不充分条件,则实数 m 的取值范围 是_,若 p 是 q 的充要条件,则 m 的值是_(本题第一空 3 分,第二空 2 分) 答案 (2,2) 2 解析 由 p: 1x3, q: 1xm1, p 是 q 的必要不充分条件, 得1m13, 即2m2; 若 p 是 q 的充要条件,则 m13,所以 m2. 15已知集合

8、Ax|xa,Bx|1x2,A(RB)R,则实数 a 的取值范围是_ 答案 a|a2 解析 因为 Bx|1x2,所以RBx|x1 或 x2又因为 A(RB)R,Ax|xa, 观察RB 与 A 在数轴上表示的区间,如图所示, 可得当 a2 时,A(RB)R. 16 当 A, B 是非空集合, 定义运算 ABx|xA, 且 xB, 若 Mx|x1, Ny|0y1, 则 MN_. 答案 x|x0 解析 画出数轴如图: MNx|xM 且 xNx|x0 四、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17(10 分)已知全集 U 为 R,集合 Ax|0x2,Bx|x1求: (1)AB; (2)(UA)(U

9、B); (3)U(AB) 解 (1)在数轴上画出集合 A 和 B,可知 ABx|12,UBx|3x1 在数轴上画出集合UA 和UB,可知(UA)(UB)x|3x0 (3)由(1)中数轴可知,ABx|x0 所以U(AB)x|3x0 18(12 分)写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假性 (1)xZ,|x|N; (2)每一个平行四边形都是中心对称图形; (3)xR,x10; (4)xR,x22x30. 解 (1)xZ,|x|N,假命题 (2)有些平行四边形不是中心对称图形,假命题 (3)xR,x10,假命题 (4)xR,x22x30,真命题 19(12 分)若一个数集中任何一个元素的倒数仍是该

10、数集中的元素,则称该数集为“可倒数 集” (1)判断集合 A1,1,2是否为可倒数集; (2)试写出一个含 3 个元素的可倒数集 解 (1)由于 2 的倒数为1 2, 1 2不在集合 A 中,故集合 A 不是可倒数集 (2)若 aB,则必有1 aB,现已知集合 B 中含有 3 个元素,故必有 1 个元素 a 1 a,即 a 1. 故可以取集合 B 1,2,1 2 或 1,2,1 2 或 1,3,1 3 等 20(12 分)已知集合 Mx|2x40,集合 Nx|x23xm0 (1)当 m2 时,求 MN,MN; (2)当 MNM 时,求实数 m 的值 解 (1)由题意得 M2,当 m2 时,Nx

11、|x23x201,2, 则 MN2,MN1,2 (2)因为 MNM,所以 MN,因为 M2,所以 2N. 所以 2 是关于 x 的方程 x23xm0 的解, 即 46m0,解得 m2. 21(12 分)设 a,b,c 为ABC 的三边,求证:方程 x22axb20 与 x22cxb20 有公 共根的充要条件是A90 . 证明 必要性:方程 x22axb20 与 x22cxb20 有公共根 , 22ab20, 22cb20 b 2 ac b2 ca. b2 ca 22cb 2 cab 20a2b2c2, A90 . 充分性:若A90 ,则 a2b2c2, 易得 x0 b2 ca是方程的公共根 综上可知,方程 x22axb20 与 x22cxb20 有公共根的充要条件是A90 . 22(12 分)已知非空集合 Px|a1x2a1,Qx|2x5 (1)若 a3,求(RP)Q; (2)若“xP”是“xQ”的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围 解 因为 P 是非空集合,所以 2a1a1,即 a0. (1)当 a3 时,Px|4x7, (RP)x|x7, Qx|2x5, 所以(RP)Qx|2x4 (2)若“xP”是“xQ”的充分不必要条件,即 PQ, 即 a12, 2a15, a0, 且 a12 和 2a15 的等号不能同时取得,解得 0a2, 即实数 a 的取值范围为a|0a2