1、2 2. .2.32.3 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法 学习目标 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的概 念.2.掌握求一元二次不等式解集的两种方法： 因式分解法和配方法.3.会解简单的分式不等式 知识点一 一元二次不等式的概念 一般地， 形如 ax2bxc0 的不等式称为一元二次不等式， 其中 a， b， c 是常数， 而且 a0. 一元二次不等式中的不等号也可以是“”“”“”等 思考 不等式 ax2x10 一定表示一元二次不等式吗？ 答案 不一定当 a0 时，表示一元一次不等式 知识点二 一元二次不等式的解法 1因式分解法 如果 x1x2，则不等
2、式(xx1)(xx2)0 的解集是(x1，x2)，不等式(xx1)(xx2)0 的解集是 (，x1)(x2，) 2配方法 一元二次不等式 ax2bxc0(a0)通过配方总是可以变为(xh)2k 或(xh)2k 的形式， 然后根据 k 的正负等知识，就可以得到原不等式的解集 1不等式 3x22x10 的解集为( ) A. x 1x1 3 B. x 1 3x1 C DR 答案 D 解析 因为 (2)243141280， 所以不等式 3x22x10 的解集为 R. 2不等式(3x2)(2x)0 的解集是( ) A. 2 3，2 B. ，2 3 2，) C. 3 2，2 D. 2 3，2 答案 A 解
3、析 原不等式等价于 x2 3 (x2)0， 解得2 3x2. 3不等式 x(x2)0 的解集为_，不等式 x(x2)0 的解集为_ 答案 x|x2 x|0x2 4不等式x1 x10. (2)2x23x10. 解 (1)原不等式可化为 x26x100， 即(x3)212， x23x10， 不等式可化为 x23x20，解得 x2 或 x1. 不等式可化为 x23x100，解得2x5. 故原不等式的解集为x|2x1 或 2x5 二、含参数的一元二次不等式的解法 例 2 求不等式 ax2(a1)x10. 解 原不等式可化为(xa)(xa2)0. 方程 x2(aa2)xa30 的两根为 x1a，x2a2
4、. 由 a2aa(a1)可知： 当 a1 时，a2a. 解原不等式得 xa2或 xa， 不等式的解集为(，a)(a2，) 当 0a1 时，a2a 或 x0， x0，不等式的解集为(，0)(0，) 当 a1 时，原不等式为(x1)20， x1，不等式的解集为(，1)(1，) 综上可知， 当 a1 时，原不等式的解集为(，a)(a2，)； 当 0a1. 解 原不等式可化为2x1 34x10， 即3x2 4x30. 等价于(3x2)(4x3)0. 所以2 3x 3 4. 所以原不等式的解集为 x 2 3x 3 4 . 反思感悟 解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，要注意含等号的分式不等式的
5、分母不为零 跟踪训练 3 解下列不等式：(1)x2 3x0；(2) 1x x222. 解 (1)原不等式等价于 x23x0， 3x0， 即 x2x30， x3 2x0， 原不等式两边同时乘以(x2)2可得 1x2(x2)2且 x20， 即(2x7)(x1)0 且 x2，所以7 2x1，且 x2. 因此原不等式的解集为 7 2，2 (2，1 三个“二次”间的关系 典例 已知二次函数 yax2(b8)xaab，且 y0 的解集为(3,2) (1)求二次函数的解析式； (2)当关于 x 的不等式 ax2bxc0 的解集为 R 时，求 c 的取值范围 解 (1)因为 y0 的解集为(3,2)， 所以3
6、,2 是方程 ax2(b8)xaab0 的两根， 所以 a0， 32b8 a ， 32aab a ， 解得 a3， b5， 所以 y3x23x18. (2)因为 a30 Cx26x100 D2x23x41 答案 BC 解析 A 显然不可能； B 中 (2 5)2460，解集为 R； C 中 624100，满足条件； D 中不等式可化为 2x23x32，则关于 x 的不等式(xt) x1 t 2，t1 t， (xt) x1 t 0 的解集为 1 t，t . 3不等式2x2x30 的解集是( ) Ax|x3 2 C. x 1x3 2 D. x x3 2 答案 D 解析 方法一 因为2x2x3(2x
7、2x3) (x1)(2x3)， 所以(x1)(2x3)0， 所以 x3 2， 所以不等式的解集为 x x3 2 . 方法二 不等式2x2x30， 因为 (1)242(3)250， 所以方程 2x2x30 的两根为 x11，x23 2， 又二次函数 y2x2x3 的图像开口向上， 所以不等式2x2x30 的解集是 x x3 2 . 4 设集合 AxR|(x1)23x7， 则集合 A_， AZ 中有_个元素 答案 x|1x6 6 解析 由(x1)23x7，解得1x6， 即 Ax|1x6，则 AZ0,1,2,3,4,5 故 AZ 中共有 6 个元素 5不等式5x x41 的解集为_ 答案 4，1 2 解析 因为5x x41 等价于 12x x4 0， 所以2x1 x4 0，等价于 2x1x40， x40， 解得4x1 2. 所以原不等式的解集为 4，1 2 . 1知识清单： (1)一元二次不等式的常见解法 (2)简单的分式不等式的解法 2方法归纳：配方法、因式分解法、分类讨论 3常见误区：忽略二次项系数的符号