1、2.12.1 等式等式 2 2. .1.11.1 等式的性质与方程的解集等式的性质与方程的解集 学习目标 1.能用符号语言和量词表示等式的性质.2.了解恒等式，掌握常见的恒等式，会用 “十字相乘法”分解二次三项式.3.能利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，求方程的 解集 知识点一 等式的性质 1等式的两边同时加上(或减去)同一个数或代数式，等式仍成立，用公式表示：如果 ab， 那么 a cb c；这里的 a，b，c 可以是具体的一个数，也可以是一个代数式 2等式两边同时乘以(或除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立，用公式表示：如果 ab，那么 acbc，a c b c(c0) 知识点
2、二 恒等式 1恒等式的含义 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也 称等式两边恒等 2常见的代数恒等式 (1)(ab)2a22abb2， (ab)2a22abb2. (2)a2b2(ab)(ab) (3)a3b3(ab)(a2abb2)， a3b3(ab)(a2abb2) (4)(xa)(xb)x2(ab)xab， (axb)(cxd)acx2(adbc)xbd. 3十字相乘法 给定式子x2CxD， 如果能找到a 和b， 使得Dab 且Cab， 则x2CxD(xa)(xb) 为了方便记忆，已知 C 和 D，寻找满足条件的 a 和 b 的过程，通常用图来
3、表示：，其 中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于 C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为 “十字相乘法” 知识点三 方程的解集 1方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值一般地，把一个方程所有解组 成的集合称为这个方程的解集 2方程(xx1)(xx2)0，当 x1x2时解集为x1，x2， 当 x1x2时解集为x1 1化简 x22x1_. 答案 (x1)2 2化简 4x2y2_. 答案 (2xy)(2xy) 3多项式 4aa3分解因式的结果是_ 答案 a(2a)(2a) 4方程 x22x150 的解集为_ 答案 3，5 解析 x22x150， 即(x3)(x5)0， 所以 x3
4、 或 x5. 所以方程的解集为3，5 一、代数式的化简 例 1 化简下列代数式： (1)(x1)2(12x)2； (2)3ax212ay2. 解 (1)方法一 (x1)2(12x)2x22x1(14x4x2)x22x114x4x2 3x26x. 方法二 (x1)2(12x)2(x1)(12x)(x1)(12x)(2x) 3x3x26x. (2)3ax212ay23a(x24y2)3a(x2y)(x2y) 反思感悟 化简的一般步骤为“一提”“二套”“三检查” (1)先看是否能提取公因式 (2)再看能否套用公式 (3)再检查因式分解是否彻底 跟踪训练 1 化简下列代数式： (1)(3x1)2(x1
5、)2； (2)a3(ab)8(ab) 解 (1)方法一 (3x1)2(x1)29x26x1(x22x1)9x26x1x22x18x2 4x. 方法二 (3x1)2(x1)2(3x1)(x1)(3x1)(x1)(4x2) 2x8x24x. (2)a3(ab)8(ab)(ab)(a323)(ab)(a2)(a22a4) 二、“十字相乘法”分解因式 例 2 化简下列各式： (1)x26x7； (2)2x27x6； (3)x229xy100y2； (4)(ab)211(ab)28. 解 (1)方法一 x26x7x26x997 (x3)216 (x34)(x34) (x7)(x1). 方法二 x26x7
6、(x7)(x1) (2)首先把二次项系数 2 分成 12，常数项 6 分成(2)(3)，写成十字相乘，左边两个数 的积为二次项系数 右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为 1(3)2(2)7，正好是一次项系数， 从而得 2x27x6(x2)(2x3) (3)x229xy100y2x229y x4y 25y(x4y)(x25y) (4)(ab)211(ab)28 (ab)4(ab)7 (ab4)(ab7) 反思感悟 (1)对于首项系数是 1 的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式 x2(ab)x ab(xa)(xb)进行因式分解 (2)对于二次三项式 ax2bxc(a，b，c 都是整数，且 a
7、0)来说，如果存在四个整数 a1，c1， a2，c2满足 a1a2a，c1c2c，并且 a1c2a2c1b，那么二次三项式 ax2bxc，即 a1a2x2 (a1c2a2c1)xc1c2可以分解为(a1xc1) (a2xc2) 跟踪训练 2 化简下列各式： (1)x237x36； (2)x2(a2)x2a. 解 (1)x237x36(x1)(x36) (2)x2(a2)x2a(x2)(xa)(x2) (xa) 三、方程的解集 例 3 求下列方程的解集： (1)43(10y)5y； (2)4x23x10. 解 (1)去括号，得 4303y5y. 移项，得 3y5y304. 合并同类项，得2y26
8、. 系数化为 1，得 y13. 所以该方程的解集为13 (2)因为 4x23x1(x1)(4x1)， 所以原方程可化为(x1)(4x1)0， 所以 x10 或 4x10，即 x1 或 x1 4， 故原方程的解集为 1 4，1 . 反思感悟 利用因式分解将式子分解为因式乘积的形式， 利用 ab0， 则 a0 或 b0 求解 跟踪训练 3 求下列方程的解集： (1)(x3)(x1)6x2； (2)16(x5)29(x4)20. 解 (1)整理，得 x22x10. 即(x1)20， 所以 x1x21. 所以方程的解集为1 (2)利用平方差公式，将原方程化为4(x5)3(x4)4(x5)3(x4)0，
9、 整理可得(7x8)(x32)0， 所以 7x80 或 x320， 所以 x8 7或 x32， 故原方程的解集为 8 7，32 . 1分解因式 x3x，结果为( ) Ax(x21) Bx(x1)2 Cx(x1)2 Dx(x1)(x1) 答案 D 解析 x3xx(x21)x(x1)(x1) 2. x1 是关于 x 的方程 2xa0 的解，则 a 的值是( ) A2 B2 C1 D1 答案 B 解析 原方程可化为 xa 2， 又 x1，所以a 21，即 a2. 3已知 ab3，ab2，计算：a2bab2等于( ) A5 B6 C9 D1 答案 B 解析 a2bab2ab(ab)236. 4分解因式：3x26x3_. 答案 3(x1)2 解析 3x26x33(x22x1)3(x1)2. 5分解因式：a3a2a1_. 答案 (a1)2(a1) 解析 a3a2a1a2(a1)(a1)(a1)2(a1) 1知识清单： (1)等式的性质 (2)常见恒等式 (3)十字相乘法 (4)求方程的解集 2方法归纳：提取公因式法、公式法、十字相乘法 3常见误区：公式中“ ”号的选取，十字相乘法中的配凑