1、2 2. .1.31.3 方程组的解集方程组的解集 学习目标 1.会用代入法解二元一次方程组和三元一次方程组.2.掌握二元二次方程组的解 法.3.能够根据具体的数量关系，列出一次方程组解决简单的实际问题 知识点 方程组的解集 1概念 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为 这个方程组的解集 2解法 求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是消元法 3方程组的解集 当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素此时， 如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来 1下列方程：7x3y5；x22y
2、1；2 x3y8；xyz；2xy30； x 2 y 31. 其中是二元一次方程的为_ 答案 2方程组 xy4， xy2 的解集为_ 答案 (3，1) 3方程组 xyz0， yzx7， zxy9 的解集为_ 答案 (4.5,3.5,8) 解析 xyz0， yzx7， zxy9. 得 xyz16， ，得 z8； ，得 x4.5； ，得 y3.5. 所以原方程组的解集为(4.5,3.5,8) 4方程组 yx1， yx22x3 的解集是_ 答案 (1,0)，(4,5) 一、一次方程组的解集 例 1 求下列方程组的解集： (1) x2y1， x3y6； (2) 3xy2z3， 2xy3z11， xyz1
3、2. 解 (1)已知 x2y1， x3y6， 由得 x2y1， 把代入，得 2y13y6， 解得 y1.把 y1 代入得 x3， 所以原方程组的解为 x3， y1. 所以原方程组的解集为(3,1) (2)已知方程组 3xy2z3， 2xy3z11， xyz12， ，得 5xz14. ，得 4x3z15. 解方程组 5xz14 ， 4x3z15， 得 x3， z1. 把 x3，z1 代入，得 y8. 所以原方程组的解集为(3,8,1) 反思感悟 (1)解方程组的最主要方法是代入消元法和加减消元法 (2)解三元一次方程组在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去可以使计算量 相对较小的未知
4、数；消去的未知数一定是同一未知数 跟踪训练 1 求方程组 2x3yz6， xy2z1， x2yz5 的解集 解 已知方程组 2x3yz6， xy2z1， x2yz5. 2，得 5y3z8， ，得 3y3z6， 由组成二元一次方程组 5y3z8， 3y3z6. 解这个二元一次方程组，得 y1， z1. 把 y1，z1 代入，得 x2， 所以原方程组的解集为(2,1，1) 二、二元二次方程组的解集 命题角度 1 “二 一”型的二元二次方程组 例 2 解方程组 x22xyy24， x2y5. 解 已知方程组 x22xyy24， x2y5. 方法一 由得 x2y5， 将代入，得(2y5)22y(2y5
5、)y24. 整理，得 3y210y70. 解得 y17 3，y21. 把 y17 3代入，得 x1 1 3， 把 y21 代入，得 x23. 所以原方程组的解是 x11 3， y17 3 或 x23， y21. 所以原方程组的解集为 1 3， 7 3 ，3，1 . 方法二 由得(xy)24， 即 xy2 或 xy2. 原方程组转化为 xy2， x2y5 或 xy2， x2y5 解得 x13， y11 或 x21 3， y27 3. 所以原方程组的解集为 1 3， 7 3 ，3，1 . 反思感悟 这种类型的方程组主要的方法是代入消元法，转化为一个一元二次方程，之后再 “回代”如果能分解成两个二元
6、一次方程，就可以分别联立成二元一次方程组再解(如本例 方法二) 跟踪训练 2 解方程组 x2y21， xy10. 解 已知 x2y21， xy10. 由方程，得 y1x， 把方程代入方程，得 x2(1x)21. 整理，得 x2x0. 解得 x10，x21. 把 x10 代入方程，得 y11； 把 x21 代入方程，得 y20. 原方程组的解是 x10， y11 或 x21， y20. 即其解集为(0,1)，(1,0) 命题角度 2 “二 二”型的二元二次方程组 例 3 求方程组 x2y25xy， x2xyy243 的解集 解 已知方程组 x2y25xy， x2xyy243， 由得 x2y25(
7、xy)0(xy)(xy)5(xy)0(xy)(xy5)0， xy0 或 xy50， 原方程组可化为两个方程组 xy50， x2xyy243 或 xy0， x2xyy243， 解这两个方程组， 得原方程组的解集是(1，6)，(6,1)，( 43， 43)，( 43， 43) 反思感悟 解“二 二”型的二元二次方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降 次”“消元”当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可以转化为 “二 一”型方程组 (2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，可以转化为四个二元一次 方程组 跟踪训练 3 解方程组 x2xy2y20， x22xy
8、y2xy20. 解 方程组可化为 xyx2y0， xy2xy10， 即为 xy0， xy20 或 xy0， xy10 或 x2y0， xy20 或 x2y0， xy10. 解得 x1， y1 或 x1 2， y1 2 或 x4， y2 或 x2， y1. 所以原方程组的解集为 1，1， 1 2， 1 2 ，4，2，2，1 . 三、一次方程组的应用 例 4 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含 0.5 单位蛋白质和 1 单位铁质，每克乙原料含 0.7 单位蛋白质和 0.4 单位铁质若病人每餐需 35 单位蛋白质和 40 单位铁质，则每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需
9、要？ 解 设每餐甲、乙两种原料各需 x g，y g，则有下表： 甲原料 x g 乙原料 y g 所配的营养品 其中所含蛋白质 0.5x 单位 0.7y 单位 (0.5x0.7y)单位 其中所含铁质 x 单位 0.4y 单位 (x0.4y)单位 根据题意及上述表格，可列方程组 0.5x0.7y35， x0.4y40， 化简，得 5x7y350 5x2y200. ，得 y30， 把 y30 代入中，得 x28. 答 每餐需甲种原料 28 g，乙种原料 30 g. 反思感悟 用一次方程组解决实际问题的步骤 (1)审题：弄清题意和题目中的数量关系 (2)设元：用字母表示题目中的未知数 (3)列方程组：
10、根据 2 个等量关系列出方程组 (4)解方程组：利用代入消元或加减消元解出未知数的值 (5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答 跟踪训练 4 水果市场将 120 吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆 车的运载能力和运费如下表所示：(假设每辆车均满载) 车型 甲 乙 丙 汽车运载量(吨/辆) 5 8 10 汽车运费(元/辆) 400 500 600 (1)若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费 8 200 元，问分别需甲、乙两种车型各几 辆？ (2)市场可以调用甲、 乙、 丙三种车型参与运送(每种车型至少 1 辆)， 已知它们的总辆数为 16， 你能通过列方程
11、组的方法分别求出几种车型的辆数吗？ 解 (1)设需甲车型 x 辆，乙车型 y 辆，得 5x8y120， 400 x500y8 200， 解得 x8， y10. 答 需甲车型 8 辆，乙车型 10 辆 (2)设需甲车型 x 辆，乙车型 y 辆，丙车型 z 辆，得 xyz16， 5x8y10z120， 消去 z 得 5x2y40，x82 5y， 因为 x，y 是正整数，且不大于 16，得 y5,10， 由 z 是正整数，解得 x6， y5， z5 或 x4， y10， z2. 有两种运送方案： 甲车型 6 辆，乙车型 5 辆，丙车型 5 辆； 甲车型 4 辆，乙车型 10 辆，丙车型 2 辆 1若
12、 x，y 满足方程组 2xy7， x2y8， 则 xy 的值是( ) A5 B1 C0 D1 答案 A 解析 2xy7， x2y8， 方法一 2，得 3y9，解得 y3. 把 y3 代入，得 x2. 所以 xy235. 方法二 由，得 3x3y15. 化简，得 xy5.故选 A. 2求方程组 xyz11， xz5， xy2z1 的解集时，要使运算简便，消元的方法应选取( ) A先消去 x B先消去 y C先消去 z D以上说法都不对 答案 B 解析 根据系数特点，先消去 y 最简便，故选 B. 3如果 xya， 3x2y4 的解是正数，那么 a 的取值范围是( ) A(，2) B. 4 3，
13、C. 2，4 3 D. ，4 3 答案 C 解析 由 xya， 3x2y4， 解得 x42a 5 ， y43a 5 由 x0， y0， 即 42a0， 43a0， 解得2a4 3. 4以方程组 yx1， yx2 的解为坐标的点(x，y)在第_象限 答案 一 解析 方程组的解集为 1 2， 3 2 ， 所以 x0，y0， 所以点(x，y)在第一象限 5已知方程1 2x3y5，请写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为 x4， y1， 这个方程可以是_ 答案 x4y0(答案不唯一) 解析 设所写出的二元一次方程为 ykxb(k0) 把(4,1)代入 ykxb，得 14kb， 令 b0，则 k1 4， 这个方程可以是 y1 4x，即 x4y0. 1知识清单： (1)求二元一次方程组、三元一次方程组的解集 (2)求二元二次方程组的解集 (3)一次方程组的实际应用 2方法归纳：代入消元法、加减消元法 3常见误区：消元不恰当造成运算烦琐