1、20192019- -20202020 学年九年级上学期期中数学试题学年九年级上学期期中数学试题 一、选择题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 1如果 3x4y，那么下列各式中正确的是（ ） A B C D 2下列命题是真命题的是（ ） A有一个角相等的两个等腰三角形相似 B两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似 C四个内角都对应相等的两个四边形相似 D斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 3已知 、 为非零向量，下列判断错误的是（ ） A如果 3 ，那么 B，那么 或 C 的方向不确定，大小为 0 D如果 为单位向量且 2 ，那么2 4已知线段a，b，c，求作线
2、段x，使x，以下作法正确的是（ ） A B C D 5如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，下列比例式中能够判断ABCD的是（ ） A B C D 6 如图， 在矩形ABCD中，P为BC边的中点，E、F分别为AB、CD边上的点， 若BE2，CF3， EPF90， 则EF的长为（ ） A5 B2 C2 D4 二、填空题（共 12 小题，每小题分，满分 48 分） 7在比例尺为 1：2000 的地图上测得AB两地间的图上距离为 5cm，则AB两地间的实际距离为 m 8已知点P是线段AB上的点，且BP 2APAB，如果 AB2cm，那么BP cm 9已知ABCDEF，点A、B、C分别与点D
3、、E、F对应，如果AB：DE2：3，ABC的周长为 30cm，那 么DEF的周长为 cm 10如图，已知abc，AC：CO：OF2：1：4，BE35，那么BD 11ABC中，已知点D在边BC上，且BD2DC，设，则等于 12如图，ABC中，DEFGBC，若ADDFFB，ADE、梯形DEGF、梯形BCGF的面积分别为S1、S2、 S3，则S1：S2：S3是 13 如图， 在ABC中，DEAC， 交AB、BC于点D、E， 如果SBDE：SCDE1： 3， 那么CDOE：CAOC的值等于 14如图，在 RtABC中，ACB90，AC5，点G是的重心，GHBC，垂足是H，则GH的长为 15如图，在AB
4、C中，点D为AB的中点，且ACDB，那么 16 如图， 矩形ABCD中， 点E在边BC上，EFAE交AD于点F， 若AB2，BC7，BE5， 则FD的长度为 17新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图所示，ABC中AF、BE是中线， 且AFBE，垂足为P，像ABC这样的三角形称为“中垂三角形” ，如果ABE30，AB6，那么此时 AC的长为 18如图，在 RtABC中，C90，AB13，BC5，点D、E分别在边BC、AC上，且BDCE，将CDE 沿DE翻折，点C落在点F处，且DFAB，则BD的长为 三、解答题（共 7 小题，满分 78 分） 19如图，在ABC中，点D，E
5、分别在边AB、AC上，DC与BE相交于点O，且DO2，BODC6，OE3 （1）求证：DEBC； （2）如果四边形BCED的面积比ADE的面积大 12，求ABC的面积 20如图所示，在 44 的正方形方格中，ABC和DEF的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上 （1）填空：ABC ，BC ； （2）判断ABC与DEF是否相似？并证明你的结论 21如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，CE与BD相交于点O，CE与BA的延长线相交于点G， 已知DE2AE，CE8 （1）求GE的长； （2）若 ， ，用 、 表示； （3）在图中画出+ （不需要写画法，但需要结论） 22如图，在ABC中，
6、点BDAC于点D，DEAB于点E，BD 2BCBE （1）求证：BCDBDE； （2）如果BC10，AD6，求AE的值 23如图，AD是ABC中BAC的平分线，过A作AEAD交BC的延长线于点E，M为DE的中点 （1）求证：ME 2MCMB； （2）如果BA 2BDBE，求证： 24如图，在直角坐标平面xOy内，点A（6，0） 、C（4，0） ，过点A作直线AB，交y轴的正半轴于点B， 且AB10，点P是直线AB上的一个动点 （1）求点B的坐标和直线AB的表达式； （2）若以A、P、C为顶点的三角形与AOB相似，求点P的坐标 25如图：在 RtABC中，C90，AC4，BC3，O是AB上一点，
7、且AO2 （1）求点O到直线AC的距离OH的长； （2）若P是边AC上一个动点，作PQOP交线段BC于Q（不与B、C重合） ，设APx，CQy，试求y 关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）在（2）的条件下，当AP为多少时能使OPQ与CPQ相似 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共 6 小题） 1如果 3x4y，那么下列各式中正确的是（ ） A B C D 【分析】直接利用比例的性质表示出x，y的值，进而得出答案 【解答】解：3x4y， 设x4a，则y3a， ，故选项A错误； 4，故选项B正确； ，故选项C错误； ，故选项D错误； 故选：B 2下列命题是真命题的是（ ） A有
8、一个角相等的两个等腰三角形相似 B两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似 C四个内角都对应相等的两个四边形相似 D斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 【分析】 根据相等的角可能为顶角或底角可对A进行判断； 根据相似三角形的判定方法对B、D进行判断； 利用矩形和正方形不相似可对C进行判断 【解答】解：A、有一个顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似，所以A选项错误； B、两边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似，所以B选项错误； C、四个内角都对应相等的两个四边形不一定相似，所以C选项错误； D、斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，所以D选项正确 故选：D 3
9、已知 、 为非零向量，下列判断错误的是（ ） A如果 3 ，那么 B，那么 或 C 的方向不确定，大小为 0 D如果 为单位向量且 2 ，那么2 【分析】根据平面向量的性质解答 【解答】解：A、如果 3 ，那么两向量是共线向量，则 ，故本选项不符合题意 B、如果，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故本选项符合题意 C、 的方向不确定，大小为 0，故本选项不符合题意 D、根据向量模的定义知，2| |2，故本选项不符合题意 故选：B 4已知线段a，b，c，求作线段x，使x，以下作法正确的是（ ） A B C D 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可 【解答】解：A由平行线分线段成比例可
10、得，即，选项错误； B由平行线分线段成比例可得，即，选项错误； C由平行线分线段成比例可得，即，选项正确， D由平行线分线段成比例可得，即x，选项错误 故选：C 5如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，下列比例式中能够判断ABCD的是（ ） A B C D 【分析】根据相似三角形的判定定理判断两个三角形相似，根据相似三角形的对应角相等、平行线的判 定定理判断即可 【解答】解：A、，不具备夹角相等，不能证明两个三角形相似，不能得到内错角相等，无法判 断ABCD； B、，无法判断ABCD； C、，AOBDOC， AOBDOC， BAOCDO，无法判断ABCD； D、，AOBCOD， AO
11、BCOD， BAODCO， ABCD； 故选：D 6 如图， 在矩形ABCD中，P为BC边的中点，E、F分别为AB、CD边上的点， 若BE2，CF3， EPF90， 则EF的长为（ ） A5 B2 C2 D4 【分析】利用相似三角形的性质求出BP，PC，再利用勾股定理求出PE，PF即可解决问题 【解答】解：四边形ABCD是矩形， BC90， EPF90， EPB+CPF90，CPF+CFP90， EPBCFP， EPBPFC， ， PBCP，BE2，CF3， BPPC， PE，PF， EF5， 故选：A 二填空题（共 12 小题） 7在比例尺为 1：2000 的地图上测得AB两地间的图上距离为
12、 5cm，则AB两地间的实际距离为 100 m 【分析】根据比例尺图上距离：实际距离，列比例式即可求得实际距离 【解答】解：设AB两地间的实际距离为x， ， 解得x10000cm100m 故答案为：100m 8已知点P是线段AB上的点，且BP 2APAB，如果 AB2cm，那么BP （1） cm 【分析】根据黄金分割点的定义，可得BPAB，代入数据即可得出BP的长度 【解答】解：点P在线段AB上，BP 2APAB， 点P为线段AB的黄金分割点，AB2cm， BP2（1）cm 故答案为： （1） 9已知ABCDEF，点A、B、C分别与点D、E、F对应，如果AB：DE2：3，ABC的周长为 30c
13、m，那 么DEF的周长为 45 cm 【分析】直接利用相似三角形的性质得出答案 【解答】解：ABCDEF，点A、B、C分别与点D、E、F对应，如果AB：DE2：3， ， ABC的周长为 30cm， DEF的周长为：45cm 故答案为：45 10如图，已知abc，AC：CO：OF2：1：4，BE35，那么BD 10 【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论 【解答】解：abc， BD：BEAC：AF， AC：CO：OF2：1：4， AC：AF2：7， BD：BE2：7， BDBE3510， 故答案为 10 11ABC中，已知点D在边BC上，且BD2DC，设，则等于 【分析】，又BD2D
14、C，结合平面向量的运算法则，通过一步一步代换即可求出答案 【解答】解：根据平面向量的运算法则及题给图形可知： ） 故答案为： 12如图，ABC中，DEFGBC，若ADDFFB，ADE、梯形DEGF、梯形BCGF的面积分别为S1、S2、 S3，则S1：S2：S3是 1：3：5 【分析】根据ADEAFG，得到（） 2 ，根据ADEABC，得到（） 2 ，计算得到答案 【解答】解：DEFG， ADEAFG， （） 2 ， S1：S21：3， DEBC， ADEABC， （） 2 ， S1：S四边形DBCE1：8， S1：S2：S31：3：5， 故答案为：1：3：5 13如图，在ABC中，DEAC，交
15、AB、BC于点D、E，如果SBDE：SCDE1：3，那么CDOE：CAOC的值等于 1：4 【分析】根据三角形的面积公式得到BE：EC1：3，根据BDEBAC，得到DE：ACBE：BC1：4， 根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可 【解答】解：SBDE：SCDE1：3， BE：EC1：3， DEAC， BDEBAC， DE：ACBE：BC1：4， DEAC， DOECOA， CDOE：CAOCDE：AC1：4， 故答案为：1：4 14如图，在 RtABC中，ACB90，AC5，点G是的重心，GHBC，垂足是H，则GH的长为 【分析】连接BG并延长交AC于D，如图，利用重心的性质得到BG2G
16、D，CDAD，再证明BHG BDC，然后利用相似比可计算出GH的长 【解答】解：连接BG并延长交AC于D，如图， 点G是ABC的重心， BG2GD，CDAD， HGBC，C90， GHCD， BHGBDC， ，即， GH 故答案为 15如图，在ABC中，点D为AB的中点，且ACDB，那么 【分析】首先根据ACDB，AA得到ACDABC，然后利用相似三角形对应边的比相等得到 结论 【解答】解：ACDB，AA， ACDABC D是AB的中点，AB10， ADAB， AC 2ABAD AB 2， ， ， 故答案为： 16如图，矩形ABCD中，点E在边BC上，EFAE交AD于点F，若AB2，BC7，B
17、E5，则FD的长度为 【分析】 首先利用勾股定理计算出AE的长， 再证明ABEFEA， 根据相似三角形的性质可得， 代入相应线段的长可得EF的长， 再在在 RtAEF中里利用勾股定理即可算出AF的长， 进而得到DF的长 【解答】解：在ABE中：AE 2AB2+BE2， AB2，BE5， AE， 四边形ABCD是矩形， AEBC，B90， EAFBEA， EFAE， AEF90， EAFBEA，BAEF， ABEFEA， ， 即， EF， 在 RtAEF中：AF 2AE2+EF2， AF 2（ ） 2+（ ） 2， 解得：AF， BC7， FD7， 故答案为： 17新定义：我们把两条中线互相垂直
18、的三角形称为“中垂三角形”如图所示，ABC中AF、BE是中线， 且AFBE，垂足为P，像ABC这样的三角形称为“中垂三角形” ，如果ABE30，AB6，那么此时 AC的长为 3 【分析】先利用含 30 度的直角三角形三边的关系计算出AP3，BP3，再利用中线的定义和重心的 性质得到AECE，PEBP，然后利用勾股定理计算AE的长，从而得到AC的长 【解答】解：如图，AFBE， APBAPE90， 在 RtABP中，ABP30， APAB3， BPAP3， AF、BE是中线， AECE，点P为ABC的重心， PEBP， 在 RtAPE中，AE， AC2AE3 故答案为 3 18如图，在 RtAB
19、C中，C90，AB13，BC5，点D、E分别在边BC、AC上，且BDCE，将CDE 沿DE翻折，点C落在点F处，且DFAB，则BD的长为 【分析】根据题意作出草图，根据勾股定理求出AC，根据轴对称的性质可得EFCE，根据两直线平行， 同位角相等可得AEGF，利用相似三角形对应边成比例列式表示出GE，再表示出CG，然后根据平行 线分线段成比例定理列式计算即可得解 【解答】解：如图，延长DF交AC于点G， ，设BDCEx， C90，AB13，BC5， AC12， 将CDE沿DE翻折，点C落在点F处， EFCEx， DFAB， AEGF， ABCGEF， ， 即， 解得GE， CGGE+CE， DF
20、AB， ， 即， 解得x 即BD 故答案为： 三解答题（共 7 小题） 19如图，在ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，DC与BE相交于点O，且DO2，BODC6，OE3 （1）求证：DEBC； （2）如果四边形BCED的面积比ADE的面积大 12，求ABC的面积 【分析】 （1）证明DOECOB即可解决问题 （2）由DEBC，推出ADEABC，推出，设ADE的面积为x，则ABC 的面积为 4x，构建方程即可解决问题 【解答】解： （1）OD2，DC6，OE3， OC4， ，DOEBOC， DOECOB， ODEOCB， DEBC （2）DEBC， ADEABC， ，设ADE的面积为x，则
21、ABC的面积为 4x， 四边形BCED的面积为 3x， 由题意 3xx2x12， x6， SABC4x24 20如图所示，在 44 的正方形方格中，ABC和DEF的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上 （1）填空：ABC 135 ，BC 2 ； （2）判断ABC与DEF是否相似？并证明你的结论 【分析】 （1）根据已知条件，结合网格可以求出ABC的度数，根据，ABC和DEF的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段BC的长； （2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明ABC与DEF相似 【解答】 （1）解：ABC90+45135， BC2； 故答案
22、为：135；2 （2）ABCDEF 证明：在 44 的正方形方格中， ABC135，DEF90+45135， ABCDEF AB2，BC2，FE2，DE ， ABCDEF 21如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，CE与BD相交于点O，CE与BA的延长线相交于点G， 已知DE2AE，CE8 （1）求GE的长； （2）若 ， ，用 、 表示； （3）在图中画出+ （不需要写画法，但需要结论） 【分析】 （1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可 （2）利用三角形法则求出即可解决问题，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题 （3）如图，延长CD到H，使得AG，连接AH则即为所求 【解
23、答】解： （1）四边形AB平行四边形， ADBC，ADBC， DE2AE， ，CE8， ， GE4 （2）+ ，DEBC，DE2AE， ， ， （ ） （3）如图，延长CD到H，使得AG，连接AH则即为所求 AEBC， ， ， ， + +， 即为所求 22如图，在ABC中，点BDAC于点D，DEAB于点E，BD 2BCBE （1）求证：BCDBDE； （2）如果BC10，AD6，求AE的值 【分析】 （1）由BD 2BCBE 得到，则根据直角三角形相似的判定方法可得到结论； （2）利用射影定理得到BD 2BEBA，加上 BD 2BCBE，则有 BABC10，再利用射影定理得到AD 2AE AB
24、，于是可求出AE的长 【解答】 （1）证明：点BDAC于点D，DEAB于点E， BDC90，BED90， BD 2BCBE， ， BCDBDE； （2）解：BD 2BEBA，BD2BCBE， BABC10， AD 2AEAB， AE3.6 23如图，AD是ABC中BAC的平分线，过A作AEAD交BC的延长线于点E，M为DE的中点 （1）求证：ME 2MCMB； （2）如果BA 2BDBE，求证： 【分析】 （1）证明AMCBMA即可解决问题 （2） 由MACBMA， 推出， 推出， 推出， 再证明BACBMA， 推出 ，推出AB 2BCBM，即可解决问题 【解答】 （1）证明：AEAD， DA
25、E90， DMME， AMMDME， MADMAD， MAC+DACB+BAD， BADCAD， MACB， AMCAMB， AMCBMA， ， AM 2MCMB，MEMA， ME 2MCMB （2）证明：MACBMA， ， ， ， AB 2BDBE， ，BB， BADBEA， BADE， AMBE+MAE2E，BAC2BAD， BACAMB，BB， BACBMA， ， AB 2BCBM， 24如图，在直角坐标平面xOy内，点A（6，0） 、C（4，0） ，过点A作直线AB，交y轴的正半轴于点B， 且AB10，点P是直线AB上的一个动点 （1）求点B的坐标和直线AB的表达式； （2）若以A、P
26、、C为顶点的三角形与AOB相似，求点P的坐标 【分析】 （1）由点A的坐标可得出OA的长，利用勾股定理可求出OB的长，结合点B在y轴正半轴上即 可得出点B的坐标，由点A，B的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AB的解析式； （2）分AOBACP和AOBAPC两种情况考虑：当AOBACP时，ACP1AOB90，利 用一次函数图象上点的坐标特征可求出点P1的坐标； 当AOBAPC时， 设点P2的坐标为 （m， m+8） ， 利用相似三角形的性质可求出CP2的长，结合点C的坐标可得出关于m的方程，解之即可得出点P2的坐 标综上，此题得解 【解答】解： （1）点A的坐标为（6，0） ， OA6， OB
27、8 点B在y轴的正半轴， 点B的坐标为（0，8） 设直线AB的表达式为ykx+b（k0） ， 将A（6，0） ，B（0，8）代入ykx+b，得：， 解得：， 直线AB的表达式为yx+8 （2）分两种情况考虑，如图所示 当AOBACP时，ACP1AOB90， 当x4 时，yx+8， 点P1的坐标为（4，） ； 当AOBAPC时，设点P2的坐标为（m，m+8） 点A的坐标为（6，0） ，点C的坐标为（4，0） ， AC10 AOBAP2C， ，即， CP28， 8， 整理，得： （m4） 20， 解得：m， 点P2的坐标为（，） 综上所述：点P的坐标为（4，）或（，） 25如图：在 RtABC中，
28、C90，AC4，BC3，O是AB上一点，且AO2 （1）求点O到直线AC的距离OH的长； （2）若P是边AC上一个动点，作PQOP交线段BC于Q（不与B、C重合） ，设APx，CQy，试求y 关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）在（2）的条件下，当AP为多少时能使OPQ与CPQ相似 【分析】 （1）通过证明AOHABC，即可判断出，求出OH的长度； （2）通过证明AODABC，求出AD、PD的长度各是多少；然后根据相似三角形判定的方法，判断出 PODQPC，即可推得，据此求出y关于x的函数解析式并写出函数定义域即可 （3）根据题意，分两种情况：当OQAC时；当PQ平分CQO时；然后根据相
29、似三角形的性质，分类讨 论，求出AP长是多少即可 【解答】解： （1）如图 1，过点O作OHAC， C90，AC4，BC3， AB5， AA，ACBAHO90， AOHABC， ， 即， OH； （2）如图 2，过点O作ODAC， 由（1）可得OD， BCAODA90，AA， AODABC， ， ， AD， PDx， PQOP， OPD+CPQ90， 又PQC+CPQ90， OPDPQC，且ACBPDO90， PODQPC， ， yx 2+ x（x4） （3）如图 3，当OQAC时，OPQCPQ， OQAC， QOBCAB， ， ， CQ， x 2+ x， x， AP； 如图 4，作PEOQ于点E， 当PQ平分CQO时，OPQCPQ， CQPPQE，PCBC，PEOQ， PCPE， POQCPQ，DOPCPQ， POQDOP， 又PDOD，PEOE， PDPE， PCPD， 即点P为CD的中点， 由APADACAP， 2APAC+AD4+， AP， 综上所述：当OPQ与CPQ相似时，AP为