1、第十一章第十一章 章末测试卷章末测试卷 (时间:45 分钟 满分:100 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 24 分) 1.下列各式中,从左边到右边的变形是因式分解的是( C ) (A)(x+2y)(x-2y)=x 2-4y2 (B)x 2y-xy2-1=xy(x-y)-1 (C)a 2-4ab+4b2=(a-2b)2 (D)ax+ay+a=a(x+y) 解析:根据因式分解的意义:把一个多项式化成几个整式积的形式, A.右边不是积的形式,故本选项错误; B.右边最后不是积的形式,故本选项错误; C.右边是(a-2b)(a-2b),故本选项正确; D.结果应是 a(x+y+1),故本选项错误
2、. 故选 C. 2.下列各式中,不是多项式 2x 2-4x+2 的因式的是( D ) (A)2 (B)2(x-1) (C)(x-1) 2 (D)2(x-2) 解析:原式=2(x 2-2x+1)=2(x-1)2.故选 D. 3.(2018 延安模拟)小明在抄分解因式的题目时,不小心漏抄了 x 的指 数,他只知道该数为不大于 10 的正整数,并且能利用平方差公式分解 因式,他抄在作业本上的式子是 x -4y2(“”表示漏抄的指数),则这 个指数可能的结果共有( D ) (A)2 种 (B)3 种 (C)4 种 (D)5 种 解析:该指数可能是 2,4,6,8,10 五个数.故选 D. 4.如果多项
3、式 mx 2-nx-2 能因式分解为(3x+2)(x+p),那么下列结论正 确的是( B ) (A)m=6 (B)n=1 (C)p=-2 (D)mnp=3 解析:因为多项式 mx 2-nx-2 能因式分解为(3x+2)(x+p), 所以(3x+2)(x+p)=3x 2+(3p+2)x+2p=mx2-nx-2, 所以 m=3,p=-1,3p+2=-n, 解得 n=1.故选 B. 5.将多项式 ax 2-4ax+4a 分解因式,下列结果中正确的是( A ) (A)a(x-2) 2 (B)a(x+2)2 (C)a(x-4) 2 (D)a(x+2)(x-2) 解析:原式=a(x 2-4x+4)=a(x
4、-2)2.故选 A. 6.下列各式中能用平方差公式分解因式的是( C ) -a 2-b2;9a2-4b2;x2-y2-4;-9a2b2+1;(x-y)2+(y-x)2;x4-1. (A) (B) (C) (D) 解析:两项的符号相同,不能用平方差公式分解因式;是三项式, 不满足平方差公式的特点;可以运用平方差公式分解因式.故 选 C. 7.在多项式:x 2+2xy-y2;-x2+2xy-y2;x2+xy+y2;1+x+2 4中,能用 完全平方公式分解的是( D ) (A) (B) (C) (D) 解析:可化为-(x-y) 2,可化为( 2+1) 2.故选 D. 8.任何一个正整数 n 都可以写
5、成两个正整数相乘的形式,对于两个因 数的差的绝对值最小的一种分解 a=mn(mn)可称为正整数 a 的最 佳分解,并记作 F(a)= .如:12=112=26=34,则 F(12)= 4 3.则在以 下结论:F(5)=5;F(24)=8 3;若 a 是一个完全平方数,则 F(a)=1; 若 a 是一个完全立方数,即 a=x 3(x 是正整数),则 F(a)=x.则正确的 结论有( B ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 解析:5=15,F(5)=5 1=5,所以正确; 24=124=212=38=46,F(24)=6 4= 3 2,所以错误; a=1a= ,F(a)=
6、=1,所以正确; 当 x=4 时,a=x 3=64,因为 64=164=232=416=88,F(64)=8 8=1, 所以错误.故选 B. 二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 9.两个连续的奇数的平方差总可以被 k 整除,则 k 最大整数值等 于 8 . 解析:设两个连续奇数为 2n+1,2n+3, 根据题意得(2n+3) 2-(2n+1)2=(2n+3+2n+1)(2n+3-2n-1)=8(n+1),则 k 的最大整数值为 8. 10.计算:4 033 2-42 0162 017= 1 . 解析:原式=(2 017+2 016) 2-42 0162 017=(2 017-2 016
7、)2=1. 11.(2018 成都)已知 x+y=0.2,x+3y=1,则代数式 x 2+4xy+4y2 的值 为 0.36 . 解析:因为 x+y=0.2,x+3y=1, 所以 2x+4y=1.2,即 x+2y=0.6, 则原式=(x+2y) 2=0.36. 12.若 x 2+y2-4x-6y+13=0,则 x+y 的值为 5 . 解析:x 2+y2-4x-6y+13 =(x 2-4x+4)+(y2-6y+9)=0, 所以(x-2) 2+(y-3)2=0, 所以 x-2=0 且 y-3=0, 所以 x=2,y=3. 所以 x+y=5. 13.若 x 2+qx+p 分解因式为(x-3)(x+4
8、),则 q= 1 ,p= -12 . 解析:(x-3)(x+4)=x 2+x-12=x2+qx+p, 所以 q=1,p=-12. 14.若二次三项式 a 2-ka+1 是完全平方式,则 k= 2 . 解析:完全平方式中有两个数的平方,该两个数的平方是 a 2和 12,另一 项是两个数的平方的底数乘积的 2 倍,又因为完全平方式有和与差两 种形式,所以-ka=2a,所以 k=2. 三、解答题(共 52 分) 15.(12 分)把下列各式因式分解: (1)8m 2-12mn; (2)x 2+6x+9; (3)a 2(x-y)+b2(y-x); (4)16x 4-8x2y2+y4. 解:(1)8m
9、2-12mn=4m(2m-3n). (2)x 2+6x+9=(x+3)2. (3)a 2(x-y)+b2(y-x) =(x-y)(a 2-b2) =(x-y)(a+b)(a-b). (4)16x 4-8x2y2+y4 =(4x 2-y2)2 =(2x+y) 2(2x-y)2. 16.(6 分)已知:A=3x 2-12,B=5x2y3+10 xy3,C=(x+1)(x+3)+1,问多项式 A,B,C 是否有公因式?若有,求出其公因式;若没有,请说明理由. 解:多项式 A,B,C 有公因式. 因为 A=3x 2-12=3(x2-4)=3(x+2)(x-2), B=5x 2y3+10 xy3=5xy
10、3(x+2), C=(x+1)(x+3)+1=x 2+4x+3+1=x2+4x+4=(x+2)2. 所以多项式 A,B,C 的公因式是 x+2. 17.(12 分)用简便方法计算. (1)565 211-435211; (2)603.5 2-1203.51.5+601.52; (3)(1- 1 22)(1- 1 32)(1- 1 42)(1- 1 992)(1- 1 1002). 解:(1)原式=11(565 2-4352) =11(565+435)(565-435) =111 000130 =1 430 000. (2)原式=60(3.5 2-23.51.5+1.52) =60(3.5-1.
11、5) 2 =602 2=240. (3)原式=(1- 1 2)(1+ 1 2)(1- 1 3)(1+ 1 3)(1- 1 4)(1+ 1 4)(1- 1 99)(1+ 1 99)(1- 1 100) (1+ 1 100) =1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 5 4 98 99 100 99 99 100 101 100= 1 2 101 100= 101 200. 18.(10分)我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来 解释,例如:图(1)可以用来解释 a 2+2ab+b2=(a+b)2,实际上利用一些卡 片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解. (1)图(2)可
12、以解释的代数恒等式是 ; (2)现有足够多的正方形和长方形卡片(如图(3),试画出一个用若干 张 1 号卡片、2 号卡片和 3 号卡片拼成的长方形(每两块纸片之间既 不重叠,也无空隙,拼出的图中必须保留拼图的痕迹),使该长方形的 面积为 2a 2+3ab+b2,并利用你所画的图形面积对 2a2+3ab+b2 进行因式 分解. 解:(1)2a 2+2ab=2a(a+b) (2)如图所示. 2a 2+3ab+b2=(2a+b)(a+b). 19.(12 分)发现:任意五个连续整数的平方和是 5 的倍数. 验证:(1)(-1) 2+02+12+22+32的结果是 5 的几倍? (2)设五个连续整数的
13、中间一个为 n,写出它们的平方和,并说明是 5 的倍数. 延伸:任意三个连续整数的平方和被 3 除的余数是几呢?请写出理由. 解:发现:任意五个连续整数的平方和是 5 的倍数. 验证:(1)(-1) 2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15,155=3, 即(-1) 2+02+12+22+32的结果是 5 的 3 倍. (2)设五个连续整数的中间一个为 n,则其余的 4 个整数分别是 n-2,n-1,n+1,n+2, 它们的平方和为 (n-2) 2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2 =n 2-4n+4+n2-2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4 =5n 2+10 =5(n 2+2), 又 n 是整数, 所以 n 2+2 是整数, 所以五个连续整数的平方和是 5 的倍数; 延伸:设三个连续整数的中间一个为n,则其余的2个整数是n-1,n+1, 它们的平方和为(n-1) 2+n2+(n+1)2 =n 2-2n+1+n2+n2+2n+1 =3n 2+2, 因为 n 是整数,所以 n 2是整数, 所以任意三个连续整数的平方和被 3 除的余数是 2.