1、14.2 乘法公式 14.2.2 完全平方公式,一块边长为a米的正方形实验田，因实际需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种.(如图)用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较.你有什么发现呢？,2. 灵活应用完全平方公式进行计算.,1. 理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释.,3. 体验归纳添括号法则.,一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积， 并进行比较.,直接求：总面积=(a+b)(a+b),间接求：总面积=a2+ab+ab+b2,你发现了什么？,(a+b)2=
2、a2+2ab+b2,完全平方公式,计算下列多项式的积，你能发现什么规律？,(1) (p+1)2=(p+1)(p+1)= .,p2+2p+1,(2) (m+2)2=(m+2)(m+2)= .,m2+4m+4,(3) (p1)2=(p1)(p1)= .,p22p+1,(4) (m2)2=(m2)(m2)= .,m24m+4,根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？,(a+b)2= .,a2+2ab+b2,(ab)2= .,a22ab+b2,问题1：,问题2：,(a+b)2= .,a2+2ab+b2,(ab)2= .,a22ab+b2,也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(
3、或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.,简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中央”,完全平方公式,你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗?,设大正方形ABCD的面积为S.,S= =S1+S2+S3+S4= .,(a+b)2,a2+b2+2ab,S1,S2,S3,S4,证明,=,+,+,+,a2,ab,ab,b2,和的完全平方公式：,几何解释,a2,ab,b(ab),=,a22ab+b2 .,=,(ab)2,ab,ab,b(ab),(ab)2,差的完全平方公式：,几何解释,(a+b)2= a2+2ab+b2.,(ab)2= a22ab+b2.,观察下面两个完全平方式，
4、比一比，回答下列问题：,(1) 说一说积的次数和项数.,(2) 两个完全平方式的积有相同的项吗？与a，b有什么关系？,(3) 两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a， b有什么关系？它的符号与什么有关？,问题4：,公式特征：,公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式.,积为二次三项式；,积中两项为两数的平方和；,另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同.,下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？,(1)(x+y)2=x2 +y2,(2)(x y)2 =x2 y2,(3) (x +y)2 =x2+2xy +y2,(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2,(x +y)
5、2 =x2+2xy +y2,(x y)2 =x2 2xy +y2,(x +y)2 =x2 2xy +y2,(2x +y)2 =4x2+4xy +y2,例1 运用完全平方公式计算：,解: (4m+n)2=,=16m2,(1)(4m+n)2；,(a + b)2= a2 + 2ab + b2,(4m)2,+2(4m) n,+n2,+8mn,+n2；,利用完全平方公式进行计算,(2),(a b)2 = a2 2ab + b2,y2,解： =,+,2y,1. 利用完全平方公式计算： (1)(5a)2； (2)(3m4n)2； (3)(3ab)2.,(3)(3ab)29a26abb2.,解：(1)(5a)
6、22510aa2；,(2)(3m4n)29m224mn16n2；,(1) 1022；,= (100 1)2,=10000 200+1,解： 1022,= (100+2)2,=10000+400+4,=10404.,(2) 992.,992,=9801.,例2 运用完全平方公式计算：,方法总结：当一个数具备与整十、整百相差一个正整数时求它的平方，我们可以通过变形运用完全平方公式进行运算较简便,利用完全平方公式进行简便计算,2. 利用乘法公式计算： (1)98210199； (2)201622016403020152.,(20162015)21.,解：(1)原式(1002)2(1001)(1001
7、),1002400410021395；,(2)原式2016222016201520152,例3 已知xy6，xy8. 求:(1) x2y2的值； (2)(x+y)2的值.,36 1620；,解：(1)xy6，xy8，,(xy)2x2y22xy，,x2y2(xy)22xy,(2)x2y220，xy8，,(x+y)2x2y22xy,20 164.,利用完全平方公式的变形求整式的值,方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式： x2y2(xy)22xy(x+y)22xy，(xy)2(x+y)24xy.,(1)已知x+y=10，xy=24，则x2+y2=_.,52,3.对应训练.,(2)如果x2+kx
8、+81是运用完全平方式得到的结果， 则k=_ .,18或18,(3)已知ab=2，(a+b)2=9，则(ab)2的值为_.,1,添括号法则,a+(b+c) = a+b+c; a (b+c) = a b c.,a + b + c = a + ( b + c) ; a b c = a ( b + c ) .,去括号：,把上面两个等式的左右两边反过来，也就是添括号：,添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号(简记为“负变正不变”).,添括号法则,例4 运用乘法公式计算: (1) (x+2y3)(x2y+3) ; (2) (a+b+c)2.
9、,(2)原式= (a+b)+c2,= x2(2y3)2,= x2(4y212y+9),= x24y2+12y9.,= (a+b)2+2(a+b)c+c2,=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.,添括号法则的应用,4. 计算：(1)(abc)2； (2)(12xy)(12xy),14x24xyy2.,解：(1)原式(ab)c2,(ab)2c22(ab)c,a22abb2c22ac2bc；,(2)原式1(2xy)1(2xy),12(2xy)2,1. 将9.52变形正确的是() A9.52=92+0.52 B9.52=(10+0.5)(100.5) C9.52=1022100.5+0.52 D
10、9.52=92+90.5+0.52,2. 若x2+2(m3)x+16是关于x的完全平方式，则m= ,C,1或7,2.下列计算结果为2aba2b2的是( ) A(ab)2 B(ab)2 C(ab)2 D(ab)2,1. 运用乘法公式计算(a2)2的结果是() Aa24a+4 Ba22a+4 Ca24 Da24a4,A,D,3.运用完全平方公式计算:,(1) (6a+5b)2=_；(2) (4x3y)2=_ ； (3) (2m1)2 =_；(4)(2m1)2 =_.,36a2+60ab+25b2,16x224xy+9y2,4m2+4m+1,4m24m+1,4.由完全平方公式可知：3223552(3
11、5)264，运用这一方法计算：4.32128.6420.6790.6792_,25,计算:(1)(3ab2)(3ab2)；(2)(xymn)(xymn),(2)原式(xy)(mn)(xy)(mn),解：(1)原式3a(b2)3a(b2),(3a)2(b2)2,9a2b24b4.,(xy)2(mn)2,x22xyy2m22mnn2.,1.若a+b=5，ab=6， 求a2+b2，a2ab+b2. 2.已知x+y=8，xy=4，求xy.,解：a2+b2=(a+b)22ab=522(6)=37；,a2ab+b2=a2+b2ab=37(6)=43.,解：x+y=8， (x+y)2=64，即x2+y2+2xy=64;,xy=4， (xy)2=16，即x2+y22xy=16;,由得,4xy=48,xy=12.,完全平方公式,法则,注意,(ab)2= a22ab+b2,1.项数、符号、字母及其指数,2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行,常用 结论,3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构特点及结果两方面),a2+b2=(a+b)22ab=(ab)2+2ab; 4ab=(a+b)2(ab)2.,