1、13.3 等腰三角形 13.3.2 等边三角形,第一课时,第二课时,第一课时,等边三角形的性质和判定,下列图片中有你熟悉的数学图形吗？你能说出此图形的名称吗？,1.掌握等边三角形的定义，等边三角形与等腰三角形的关系.,2.探索等边三角形的性质和判定,3.能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明,小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条，长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？,等边三角形的性质,等腰三角形,等边三角形,一般三角形,在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形.,等边对等角
2、,三线合一,等角对等边,两边相等,两腰相等,轴对称图形,A,B,C,有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,等边三角形的三个内角之间有什么关系？,等腰三角形,AB=AC,B=C,等边三角形,AB=AC=BC,AB=AC,B=C,AC=BC,A=B,A=B=C,=60,问题1：,结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60.,已知：AB=AC=BC ， 求证：A= B=C= 60.,证明： AB=AC. B=C .(等边对等角) 同理 A=C . A=B=C. A+B+C=180, A= B= C=60 .,等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？,结论:等边三角形每条
3、边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”.,顶角的平分线、底边的高 底边的中线 三线合一,一条对称轴,三条对称轴,问题2：,每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线互相重合,三个角都相等，,对称轴（3条）,等边三角形,对称轴（1条）,两个底角相等,底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合,且都是60,两条边相等,三条边都相等,归纳总结,例1 如图，ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若ABE40，BEDE，求CED的度数,解：ABC是等边三角形， ABCACB60. ABE40， EBCABCABE60 4020. BEDE， DEBC20， CEDA
4、CBD40.,等边三角形的性质应用,解决与等边三角形有关的计算问题，关键是注意“每个内角都是60”这一隐含条件，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质解答.,1.如图，ABC是等边三角形，BD平分ABC，延长BC到E，使得CE=CD求证：BD=DE,证明：ABC是等边三角形，BD是角平分线， ABC=ACB=60，DBC=30 又CE=CD， CDE=CED 又BCD=CDE+CED， CDE=CED=30 DBC=DEC DB=DE（等角对等边）,例2 ABC为等边三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BMCN，BN与AM相交于Q点，BQM等于多少度？,解：
5、ABC为等边三角形， ABCCBAC60，ABBC. 又BMCN， AMBBNC(SAS)， BAMCBN， BQMABQBAMABQCBNABC60.,此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般先利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.,2.如图，已知ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F （1）求证：ABECAD； （2）求BFD的度数,（1）证明：ABC为等边三角形， BAC=C=60，AB=CA，即BAE=C=60， 在ABE和CAD中， ABECAD（SAS） （2）解：BFD=ABE+
6、BAD， 又ABECAD， ABE=CAD BFD=CAD+BAD=BAC=60,等边三角形的判定,三个角都相等的三角形是等边三角形,等边三角形,从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形,从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形,三条边都相等的三角形是等边三角形,小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60的三角形也是等边三角形”，你同意吗？,等边三角形的判定方法： 有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.,3.根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.,（1）,（2）,（6）,（5）,不 是,是,是,是,是,（4）,（3）,不一定 是,例3 如图，在等边三角形ABC中，DEBC，求证：ADE
7、是等边三角形.,证明：, ABC是等边三角形，, A= B= C., DE/BC, ADE= B, AED= C., A= ADE= AED., ADE是等边三角形.,等边三角形的判定的应用,证明：ABC 是等边三角形， A =ABC =ACB =60 DEBC， ABC =ADE， ACB =AED. A =ADE =AED. ADE 是等边三角形.,若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DEBC，结论还成立吗？,若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，且DEBC，结论依然成立吗？,证明： ABC 是等边三角形， BAC =B =C =60 DEBC， B =D，C =E EAD
8、=D =E ADE 是等边三角形,上题中,若将条件DEBC改为AD=AE, ADE还是等边三角形吗?试说明理由.,证明：, ABC是等边三角形，, A= B= C., AD=AE, ADE= B, AED= C., A= ADE= AED., ADE是等边三角形.,例4 等边ABC中，点P在ABC内，点Q在ABC外，且ABPACQ，BPCQ，问APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论,解：APQ为等边三角形 证明如下：ABC为等边三角形，ABAC. BPCQ，ABPACQ， ABPACQ(SAS)， APAQ，BAPCAQ. BACBAPPAC60， PAQCAQPAC60， APQ是等边三角
9、形,判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60.,证明：ABC为等边三角形，且AD=BE=CF AF=BD=CE，A=B=C=60， ADFBEDCFE（SAS）， DF=ED=EF， DEF是等边三角形,4. 如图，等边ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF求证：DEF是等边三角形,解析：ABC是等边三角形，BAC=60，AB=AC 又点D是边BC的中点， BAD= BAC=30,如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则BAD=_,30,2.如图，等边三角形A
10、BC的三条角平分线交于点O，DEBC，则这个图形中的等腰三角形共有（ ）,A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个,D,1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（） A105 B120 C135 D150,B,3.在等边ABC中，BD平分ABC，BD=BF，则CDF的度数是（） A10 B15 C20 D25,4.如图,ABC和ADE都是等边三角形，已知ABC的周长为18cm,EC =2cm,则ADE的周长是 cm.,12,B,5.如图，在ABC中，ACB=90，CAB=30，以AB为边在ABC外作等边ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F求证：AEFBEC,证明：ABD是等
11、边三角形， DAB=60， CAB=30，ACB=90， EBC=1809030=60，FAE=EBC E为AB的中点，AE=BE 又 AEFBEC， AEFBEC（ASA）,如图，A、O、D三点共线，OAB和OCD是两个全等的等边三角形，求AEB的大小.,解：,OAB和OCD是两个全等的等边三角形.,AO=BO,CO=DO, AOB=COD=60., A、O、D三点共线，,DOB=COA=120, COA DOB(SAS)., DBO=CAO.,设OB与EA相交于点F, EFB=AFO，,AEB=AOB=60.,F,图、图中，点C为线段AB上一点，ACM与CBN都是等边三角形 (1)如图，线
12、段AN与线段BM是否相等？请说明理由； (2)如图，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究CEF的形状，并证明你的结论,解：(1)ANBM. 理由：ACM与CBN都是等边三角形， ACMC，CNCB， ACMBCN60. ACNMCB. ACNMCB(SAS) ANBM.,图,(2)CEF是等边三角形 证明：ACEFCM=60， ECF=60. ACNMCB， CAECMB. ACMC， ACEMCF(ASA)， CECF. CEF是等边三角形,图,等边 三角形,定义,底=腰,性质,边,三边相等,角,三个角都等于60 ,轴对称性,轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质,判定,三边都相
13、等,三角都相等,有一个角是60的等腰三角形,第二课时,直角三角形的性质,2.这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？,1.等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？,想一想,1.探索含30角的直角三角形的性质,2.会运用含30角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算.,如图，将两个相同的含30角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形找到RtABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？,分离,拼接,A,C,B,含30角的直角三角形的性质,问题1：,将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？,问题2：,性质：,在直
14、角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.,如图，显然，ADC与ABC关于AC成轴对称图形，,因此AB=AD, BAD=230=60，,从而ABD是一个等边三角形.,再由ACBD,可得BC=CD= AB.,证明：延长BC 到D，使BD =AB，连接AD. 在ABC 中，C =90，A =30, B =60ABD 是等边三角形 又ACBD,已知：如图，在RtABC 中，C =90，A =30. 求证：BC = AB,BC = AB,BC = BD,方法一：,方法点拨,倍长法就是延长得到的线段是原线段的正整数倍，即1倍、2倍,倍长法,证明： 在BA上截取BE=BC，连接E
15、C. B= 60 ，BE=BC. BCE是等边三角形， BEC= 60，BE=EC. A= 30， ECA=BECA=6030 = 30. AE=EC， AE=BE=BC， AB=AE+BE=2BC.,BC = AB,方法二：,方法点拨,在证明中，在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段就是截半法.,截半法,含30角的直角三角形的性质：,在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.,在RtABC 中，C =90，A =30，,应用格式：,BC = AB,例1 如图，在RtABC中，ACB90，B30，CD是斜边AB上的高，AD3cm，则AB的长度是() A3cm B
16、6cm C9cm D12cm,注意：运用含30角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形,D,解析：在RtABC中，CD是斜边AB上的高，ADC90， ACDB30.在RtACD中，AC2AD6cm， 在RtABC中，AB2AC12cm.AB的长度是12cm.,利用含30角的直角三角形的性质求线段的值,1. ABC中，AB=AC，C=30,DA BA于A，BD=9.6cm，则AD= .,4.8cm,A,2.如图C=90，D是CA的延长线上的一点，BDC=15，且AD=AB，则BC= AD.,例2 如图，AOPBOP15，PCOA交OB于C，PDOA于D，若PC3，则PD等于()
17、 A3 B2 C.1.5 D1,解析：如图，过点P作PEOB于E，PCOA， AOPCPO， PCEBOPCPOBOPAOPAOB30. 又PC3， PE1.5. AOPBOP，PDOA， PDPE1.5.,E,C,含30角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30角的直角三角形,3.如图，在ABC 中，ACB =90，CD 是高，A =30，AB =4则BD = .,1,解析：在ABC中， ACB=90，A=30， BC= 1 2 AB=4 1 2 =2. 同理可得：BD= 1 2 BC=2 1 2 =1,4.已知:等腰三角形的底角为15 ,腰长为20.求
18、腰上的高.,解:过C作CDBA,交BA的延长线于点D.,B=ACB=15 (已知), DAC= B+ ACB= 15+15=30，,A,C,B,D,15 ,15 ,20,),),CD= AC= 20=10.,例3 如图，在ABC中，C90，AD是BAC的平分线，过点D作DEAB.DE恰好是ADB的平分线CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由,解：,理由如下： DEAB，AEDBED90.,DE是ADB的平分线，ADEBDE.,又DEDE，AEDBED(ASA)，,在RtACD中，CAD30，,ADBD，DAEB.,BADCAD BAC，,BADCADB.,BADCADB90，,BBADCAD3
19、0.,CD AD BD，即CD DB.,含30角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质,5.RtABC 中，C =90，B =2A，B 和A 各是多少度？边AB 与BC 之间有什么关系？,证明：B+A =180 C=90， B=2A， B=60，A=30. AB=2BC.,例4如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，A =30，立柱BC、DE 有多长？,利用直角三角形的性质解决实际问题,解：DEAC,BC AC, A=30 ，,BC= AB, DE= AD.,B
20、C= AB= 7.4=3.7(m).,又AD= AB,DE= AD= 3.7=1.85 (m).,答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.,如图，AOE=BOE=15，EFOB，ECOB于C，若EC=1，则OF=,解：作EHOA于H， AOE=BOE=15，ECOB，EHOA， EH=EC=1，AOB=30， EFOB， EFH=AOB=30，FEO=BOE， EF=2EH=2，FEO=FOE， OF=EF=2,2,H,1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30角，这棵树在折断前的高度为( ) A6米 B9米 C12米 D15米,2.某市在旧城绿化改造
21、中，计划在一块如图所示的ABC空地上种植草皮优化环境，已知A150，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( ) A300a元 B150a元 C450a元 D225a元,B,B,3.在ABC中,A: B: C=1:2:3,若AB=10,则BC = .,5,4.如图，RtABC中，A= 30， AB+BC=12cm，则AB=_cm.,8,1.在ABC中，C=90，B=15，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长,解：连接AE， DE是AB的垂直平分线， BE=AE，EAB=B=15， AEC=EAB+B=30 C=90，,AC= AE= BE=2.5,2.在 ABC中 ，AB=
22、AC，BAC=120 ，D是BC的中点，DEAB于E点，求证：BE=3EA.,证明：AB=AC，BAC=120， B=C=30. D是BC的中点，ADBC ADC=90，BAD=DAC=60. AB=2AD. DEAB，AED=90， ADE=30，AD=2AE. AB=4AE，BE=3AE.,如图，已知ABC是等边三角形，D,E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQAD于点Q, 求证:BP=2PQ.,ADCBEA.,证明：ABC为等边三角形，, AC=BC=AB ,C=BAC=60，,CD=AE，,CAD=ABE. BAP+CAD=60，ABE+BAP=60. BPQ=60. 又 BQAD，,BP=2PQ.,PBQ=30，,BQP=90，,内容,在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.,使用要点,含30角的直角三角形的性质,分清30 的角所在的直角边. 作辅助线，构造直角三角形.,注意,前提条件：直角三角形中,证题方法,倍长法,截半法,