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13.3.2 等边三角形ppt课件(共66张ppt)

1、13.3 等腰三角形 13.3.2 等边三角形,第一课时,第二课时,第一课时,等边三角形的性质和判定,下列图片中有你熟悉的数学图形吗?你能说出此图形的名称吗?,1.掌握等边三角形的定义,等边三角形与等腰三角形的关系.,2.探索等边三角形的性质和判定,3.能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明,小明想制作一个三角形的相框,他有四根木条,长度分别为10cm,10cm,10cm,6cm,你能帮他设计出几种形状的三角形?,等边三角形的性质,等腰三角形,等边三角形,一般三角形,在等腰三角形中,有一种特殊的情况,就是底与腰相等,即三角形的三边相等,我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形.,等边对等角

2、,三线合一,等角对等边,两边相等,两腰相等,轴对称图形,A,B,C,有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,等边三角形的三个内角之间有什么关系?,等腰三角形,AB=AC,B=C,等边三角形,AB=AC=BC,AB=AC,B=C,AC=BC,A=B,A=B=C,=60,问题1:,结论:等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60.,已知:AB=AC=BC , 求证:A= B=C= 60.,证明: AB=AC. B=C .(等边对等角) 同理 A=C . A=B=C. A+B+C=180, A= B= C=60 .,等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴?,结论:等边三角形每条

3、边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”.,顶角的平分线、底边的高 底边的中线 三线合一,一条对称轴,三条对称轴,问题2:,每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线互相重合,三个角都相等,,对称轴(3条),等边三角形,对称轴(1条),两个底角相等,底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合,且都是60,两条边相等,三条边都相等,归纳总结,例1 如图,ABC是等边三角形,E是AC上一点,D是BC延长线上一点,连接BE,DE,若ABE40,BEDE,求CED的度数,解:ABC是等边三角形, ABCACB60. ABE40, EBCABCABE60 4020. BEDE, DEBC20, CEDA

4、CBD40.,等边三角形的性质应用,解决与等边三角形有关的计算问题,关键是注意“每个内角都是60”这一隐含条件,一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质解答.,1.如图,ABC是等边三角形,BD平分ABC,延长BC到E,使得CE=CD求证:BD=DE,证明:ABC是等边三角形,BD是角平分线, ABC=ACB=60,DBC=30 又CE=CD, CDE=CED 又BCD=CDE+CED, CDE=CED=30 DBC=DEC DB=DE(等角对等边),例2 ABC为等边三角形,点M是BC边上任意一点,点N是CA边上任意一点,且BMCN,BN与AM相交于Q点,BQM等于多少度?,解:

5、ABC为等边三角形, ABCCBAC60,ABBC. 又BMCN, AMBBNC(SAS), BAMCBN, BQMABQBAMABQCBNABC60.,此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用,一般先利用等边三角形的性质判定三角形全等,而后利用全等及等边三角形的性质,求角度或证明边相等.,2.如图,已知ABC为等边三角形,点D、E分别在BC、AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F (1)求证:ABECAD; (2)求BFD的度数,(1)证明:ABC为等边三角形, BAC=C=60,AB=CA,即BAE=C=60, 在ABE和CAD中, ABECAD(SAS) (2)解:BFD=ABE+

6、BAD, 又ABECAD, ABE=CAD BFD=CAD+BAD=BAC=60,等边三角形的判定,三个角都相等的三角形是等边三角形,等边三角形,从角看:两个角相等的三角形是等腰三角形,从边看:两条边相等的三角形是等腰三角形,三条边都相等的三角形是等边三角形,小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60的三角形也是等边三角形”,你同意吗?,等边三角形的判定方法: 有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.,3.根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.,(1),(2),(6),(5),不 是,是,是,是,是,(4),(3),不一定 是,例3 如图,在等边三角形ABC中,DEBC,求证:ADE

7、是等边三角形.,证明:, ABC是等边三角形,, A= B= C., DE/BC, ADE= B, AED= C., A= ADE= AED., ADE是等边三角形.,等边三角形的判定的应用,证明:ABC 是等边三角形, A =ABC =ACB =60 DEBC, ABC =ADE, ACB =AED. A =ADE =AED. ADE 是等边三角形.,若点D、E 在边AB、AC 的延长线上,且 DEBC,结论还成立吗?,若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上,且DEBC,结论依然成立吗?,证明: ABC 是等边三角形, BAC =B =C =60 DEBC, B =D,C =E EAD

8、=D =E ADE 是等边三角形,上题中,若将条件DEBC改为AD=AE, ADE还是等边三角形吗?试说明理由.,证明:, ABC是等边三角形,, A= B= C., AD=AE, ADE= B, AED= C., A= ADE= AED., ADE是等边三角形.,例4 等边ABC中,点P在ABC内,点Q在ABC外,且ABPACQ,BPCQ,问APQ是什么形状的三角形?试证明你的结论,解:APQ为等边三角形 证明如下:ABC为等边三角形,ABAC. BPCQ,ABPACQ, ABPACQ(SAS), APAQ,BAPCAQ. BACBAPPAC60, PAQCAQPAC60, APQ是等边三角

9、形,判定一个三角形是等边三角形有以下方法:一是证明三角形三条边相等;二是证明三角形三个内角相等;三是先证明三角形是等腰三角形,再证明有一个内角等于60.,证明:ABC为等边三角形,且AD=BE=CF AF=BD=CE,A=B=C=60, ADFBEDCFE(SAS), DF=ED=EF, DEF是等边三角形,4. 如图,等边ABC中,D、E、F分别是各边上的一点,且AD=BE=CF求证:DEF是等边三角形,解析:ABC是等边三角形,BAC=60,AB=AC 又点D是边BC的中点, BAD= BAC=30,如图,在等边三角形ABC中,点D是边BC的中点,则BAD=_,30,2.如图,等边三角形A

10、BC的三条角平分线交于点O,DEBC,则这个图形中的等腰三角形共有( ),A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个,D,1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是() A105 B120 C135 D150,B,3.在等边ABC中,BD平分ABC,BD=BF,则CDF的度数是() A10 B15 C20 D25,4.如图,ABC和ADE都是等边三角形,已知ABC的周长为18cm,EC =2cm,则ADE的周长是 cm.,12,B,5.如图,在ABC中,ACB=90,CAB=30,以AB为边在ABC外作等边ABD,E是AB的中点,连接CE并延长交AD于F求证:AEFBEC,证明:ABD是等

11、边三角形, DAB=60, CAB=30,ACB=90, EBC=1809030=60,FAE=EBC E为AB的中点,AE=BE 又 AEFBEC, AEFBEC(ASA),如图,A、O、D三点共线,OAB和OCD是两个全等的等边三角形,求AEB的大小.,解:,OAB和OCD是两个全等的等边三角形.,AO=BO,CO=DO, AOB=COD=60., A、O、D三点共线,,DOB=COA=120, COA DOB(SAS)., DBO=CAO.,设OB与EA相交于点F, EFB=AFO,,AEB=AOB=60.,F,图、图中,点C为线段AB上一点,ACM与CBN都是等边三角形 (1)如图,线

12、段AN与线段BM是否相等?请说明理由; (2)如图,AN与MC交于点E,BM与CN交于点F,探究CEF的形状,并证明你的结论,解:(1)ANBM. 理由:ACM与CBN都是等边三角形, ACMC,CNCB, ACMBCN60. ACNMCB. ACNMCB(SAS) ANBM.,图,(2)CEF是等边三角形 证明:ACEFCM=60, ECF=60. ACNMCB, CAECMB. ACMC, ACEMCF(ASA), CECF. CEF是等边三角形,图,等边 三角形,定义,底=腰,性质,边,三边相等,角,三个角都等于60 ,轴对称性,轴对称图形,每条边上都具有“三线合一”性质,判定,三边都相

13、等,三角都相等,有一个角是60的等腰三角形,第二课时,直角三角形的性质,2.这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处,它有什么特殊性质?,1.等边三角形是轴对称图形,若沿着其中一条对称轴折叠,能产生什么特殊图形?,想一想,1.探索含30角的直角三角形的性质,2.会运用含30角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算.,如图,将两个相同的含30角的三角尺摆放在一起,你能借助这个图形找到RtABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?,分离,拼接,A,C,B,含30角的直角三角形的性质,问题1:,将一张等边三角形纸片,沿一边上的高对折,如图所示,你有什么发现?,问题2:,性质:,在直

14、角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半.,如图,显然,ADC与ABC关于AC成轴对称图形,,因此AB=AD, BAD=230=60,,从而ABD是一个等边三角形.,再由ACBD,可得BC=CD= AB.,证明:延长BC 到D,使BD =AB,连接AD. 在ABC 中,C =90,A =30, B =60ABD 是等边三角形 又ACBD,已知:如图,在RtABC 中,C =90,A =30. 求证:BC = AB,BC = AB,BC = BD,方法一:,方法点拨,倍长法就是延长得到的线段是原线段的正整数倍,即1倍、2倍,倍长法,证明: 在BA上截取BE=BC,连接E

15、C. B= 60 ,BE=BC. BCE是等边三角形, BEC= 60,BE=EC. A= 30, ECA=BECA=6030 = 30. AE=EC, AE=BE=BC, AB=AE+BE=2BC.,BC = AB,方法二:,方法点拨,在证明中,在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段就是截半法.,截半法,含30角的直角三角形的性质:,在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半.,在RtABC 中,C =90,A =30,,应用格式:,BC = AB,例1 如图,在RtABC中,ACB90,B30,CD是斜边AB上的高,AD3cm,则AB的长度是() A3cm B

16、6cm C9cm D12cm,注意:运用含30角的直角三角形的性质求线段长时,要分清线段所在的直角三角形,D,解析:在RtABC中,CD是斜边AB上的高,ADC90, ACDB30.在RtACD中,AC2AD6cm, 在RtABC中,AB2AC12cm.AB的长度是12cm.,利用含30角的直角三角形的性质求线段的值,1. ABC中,AB=AC,C=30,DA BA于A,BD=9.6cm,则AD= .,4.8cm,A,2.如图C=90,D是CA的延长线上的一点,BDC=15,且AD=AB,则BC= AD.,例2 如图,AOPBOP15,PCOA交OB于C,PDOA于D,若PC3,则PD等于()

17、 A3 B2 C.1.5 D1,解析:如图,过点P作PEOB于E,PCOA, AOPCPO, PCEBOPCPOBOPAOPAOB30. 又PC3, PE1.5. AOPBOP,PDOA, PDPE1.5.,E,C,含30角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时,关键是寻找或作辅助线构造含30角的直角三角形,3.如图,在ABC 中,ACB =90,CD 是高,A =30,AB =4则BD = .,1,解析:在ABC中, ACB=90,A=30, BC= 1 2 AB=4 1 2 =2. 同理可得:BD= 1 2 BC=2 1 2 =1,4.已知:等腰三角形的底角为15 ,腰长为20.求

18、腰上的高.,解:过C作CDBA,交BA的延长线于点D.,B=ACB=15 (已知), DAC= B+ ACB= 15+15=30,,A,C,B,D,15 ,15 ,20,),),CD= AC= 20=10.,例3 如图,在ABC中,C90,AD是BAC的平分线,过点D作DEAB.DE恰好是ADB的平分线CD与DB有怎样的数量关系?请说明理由,解:,理由如下: DEAB,AEDBED90.,DE是ADB的平分线,ADEBDE.,又DEDE,AEDBED(ASA),,在RtACD中,CAD30,,ADBD,DAEB.,BADCAD BAC,,BADCADB.,BADCADB90,,BBADCAD3

19、0.,CD AD BD,即CD DB.,含30角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据,如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时,要联想此性质,5.RtABC 中,C =90,B =2A,B 和A 各是多少度?边AB 与BC 之间有什么关系?,证明:B+A =180 C=90, B=2A, B=60,A=30. AB=2BC.,例4如图是屋架设计图的一部分,点D 是斜梁AB 的中点,立柱BC,DE 垂直于横梁AC,AB =7.4 cm,A =30,立柱BC、DE 有多长?,利用直角三角形的性质解决实际问题,解:DEAC,BC AC, A=30 ,,BC= AB, DE= AD.,B

20、C= AB= 7.4=3.7(m).,又AD= AB,DE= AD= 3.7=1.85 (m).,答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m.,如图,AOE=BOE=15,EFOB,ECOB于C,若EC=1,则OF=,解:作EHOA于H, AOE=BOE=15,ECOB,EHOA, EH=EC=1,AOB=30, EFOB, EFH=AOB=30,FEO=BOE, EF=2EH=2,FEO=FOE, OF=EF=2,2,H,1.如图,一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下,倒下部分与地面成30角,这棵树在折断前的高度为( ) A6米 B9米 C12米 D15米,2.某市在旧城绿化改造

21、中,计划在一块如图所示的ABC空地上种植草皮优化环境,已知A150,这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要( ) A300a元 B150a元 C450a元 D225a元,B,B,3.在ABC中,A: B: C=1:2:3,若AB=10,则BC = .,5,4.如图,RtABC中,A= 30, AB+BC=12cm,则AB=_cm.,8,1.在ABC中,C=90,B=15,DE是AB的垂直平分线,BE=5,则求AC的长,解:连接AE, DE是AB的垂直平分线, BE=AE,EAB=B=15, AEC=EAB+B=30 C=90,,AC= AE= BE=2.5,2.在 ABC中 ,AB=

22、AC,BAC=120 ,D是BC的中点,DEAB于E点,求证:BE=3EA.,证明:AB=AC,BAC=120, B=C=30. D是BC的中点,ADBC ADC=90,BAD=DAC=60. AB=2AD. DEAB,AED=90, ADE=30,AD=2AE. AB=4AE,BE=3AE.,如图,已知ABC是等边三角形,D,E分别为BC、AC上的点,且CD=AE,AD、BE相交于点P,BQAD于点Q, 求证:BP=2PQ.,ADCBEA.,证明:ABC为等边三角形,, AC=BC=AB ,C=BAC=60,,CD=AE,,CAD=ABE. BAP+CAD=60,ABE+BAP=60. BPQ=60. 又 BQAD,,BP=2PQ.,PBQ=30,,BQP=90,,内容,在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半.,使用要点,含30角的直角三角形的性质,分清30 的角所在的直角边. 作辅助线,构造直角三角形.,注意,前提条件:直角三角形中,证题方法,倍长法,截半法,