1、13.4 课题学习 最短路径问题,1.如图，连接A、B两点的所有线中，哪条最短？为什么？,最短，因为两点之间，线段最短.,2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？,PC最短，因为垂线段最短.,3.在以前学习过哪些有关线段大小的结论？,三角形三边关系：两边之和大于第三边；,斜边大于直角边.,4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？,l,1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.,2. 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想,利用对称知识解决最短路径问题,“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的
2、问题，我们称之为最短路径问题.,现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史上著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.,如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？,作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.,现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？,根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.,解：连接AB,与直线l相交于一点C.,问题1：,l,如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决所走路径最短的问题？,【思考
3、】对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB的长度相等？,l,利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B.,问题2：,作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B； （2）连接AB，与直线l 相交于点C 则点C 即为所求,你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？,证明：如图，在直线l 上任取一点C(与点C 不重合)，连接AC，BC，BC由轴对称的性质知， BC =BC，BC=BC AC +BC= AC +BC = AB， AC+BC= AC+BC,在ABC中，ABAC+BC， AC +BCAC+BC 即AC +BC 最短,问题3：,例1 如图，
4、已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（） A7.5 B5 C4 D不能确定,解析：ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.而CE=AD.,B,最短路径问题的应用,此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，再根据已知条件求解.,1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有
5、如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）,D,2. 如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）.,解：如图，P点即为该点.,例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当ABC的周长最小时点C的坐标是（） A（0，3） B（0，2） C（0，1） D（0，0）,解析：作B点关于y轴对称点B，连接AB，交y轴于点C，此时ABC的周长最小，然后依据
6、点A与点B的坐标可得到BE、AE的长，然后证明BCO为等腰直角三角形即可,B,C,E,A,求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.,3.如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线.,解：如图AP+AB即为最短的放牧路线.,如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？,利用平移知识解决造桥
7、选址问题,B,A,如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定桥的位置，才能使A到B的路径最短呢？,M,【思考】我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？,1.把A平移到岸边.,2.把B平移到岸边.,3.把桥平移到和A相连.,4.把桥平移到和B相连.,B,A,A,B,1.把A平移到岸边.,AM+MN+BN长度改变了.,2.把B平移到岸边.,AM+MN+BN长度改变了.,B,A,3.把桥平移到和A相连.,4.把桥平移到和B相连.,A1,M,N,如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，
8、此时路径AM+MN+BN最短.,理由:另任作桥M1N，连接AM，BN，AN.,由平移性质可知，AMAN，AAMNMN，AMAN.,AM+MN+BN转化为AA1A1B，而AM1 +M1N1+BN1转化为AA1A1N1+BN1.,在ANB中，因为A1N1+BN1A1B.,因此AM1 +M1N1+BN1 AM+MN+BN.,A,证明：由平移的性质，得 BNEM 且BN=EM, MN=CD, BDCE, BD=CE,所以A到B的路径长为 AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+
9、MN, 在ACE中，AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN, 即AC+CD+DB AM+MN+BN， 所以桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.,解决最短路径问题的方法,在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.,4. 牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.,A,B,P,Q,.,.,.,.,如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（） AABBDECBDDAF,解析：如图，连接CP，由AD=CD，A
10、DP=CDP=45， DP=DP，可得ADPCDP，AP=CP，AP+PE=CP+PE， 当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长， 此时，由AB=CD，ABF=CDE，BF=DE， 可得ABFCDE， AF=CE，AP+EP最小值等于线段AF的长,D,1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与AB和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（）,AP是m上到A、B距离之和最短的点， Q是m上到A、B距离相等的点. BQ是m上到A、B距离之和最短的点， P是m上到A、B距离相等的点. CP、Q都是m上到A、B距离之和最短的点. DP、Q都是
11、m上到A、B距离相等的点 .,A,.,2.如图，AOB=30，AOB内有一定点P，且OP=10在OA上有一点Q，OB上有一点R若PQR周长最小，则最小周长是（） A10 B15 C20 D30,A,3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米.,1000,4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P,B,P,解析：作出点B关于x轴的对称点B
12、，连接AB交x轴于点P，点P就是所求的点.,如图，荆州古城河在CC处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ,EE （桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD E EB的路程最短？,解：作AFCD,且AF=河宽，作BG CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E ,D.作DD,EE即为桥.,理由：由作图法可知，AF/DD，AF=DD， 则四边形AFDD为平行四边形， 于是AD=FD, 同理，BE=GE， 由两点之间线段最短可知， GF最小.,（1）如图，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由 （2）如图，在AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由 （3）如图，在AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由,图,图,图,图,图,图,原理,线段公理和垂线段最短,最短路径问题,解题方法,造桥选址问题,关键是将固定线段“桥”平移,最短路径问题,轴对称知识+线段公理,解题方法,