1、12.3 角的平分线的性质,第一课时,第二课时,人教版 数学 八年级 上册,第一课时,角的平分线的性质,A,下图是一个平分角的仪器，其中AB= AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD 沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE 就是这个角的平分线，你能说明它的道理吗？,3. 熟练地运用角平分线的性质解决实际问题.,1. 学会角平分线的画法.,2. 探究并认知角平分线的性质.,在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？,用量角器度量，也可用折纸的方法,如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？,角平分线的画法,问题1：,问题2：,提炼图形,如图，是
2、一个角平分仪，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?,其依据是SSS，两全等三角形的 对应角相等.,问题3：,【思考】如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？,请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系.,提示 (1)已知什么？求作什么？ (2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢? (3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？ (4)你能说明为什么OC是AOB的平分线吗？,A,
3、B,O,已知:AOB.,求作：AOB的平分线.,仔细观察步骤,作角平分线是最基本的尺规作图，大家一定要掌握噢!,作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. （2）分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在AOB的内部相交于点C. （3）画射线OC.射线OC即为所求.,半径小于 MN或等于 MN，可以吗？,已知：平角AOB. 求作：平角AOB的角平分线.,结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.,1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PDOA，PEOB ，点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：,
4、2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结果：_,C,O,B,A,PD=PE,OC是AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点.,猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,角平分线的性质,已知：如图， AOC= BOC，点P在OC上， PDOA，PEOB，垂足分别为D，E. 求证：PD=PE.,证明：, PDOA，PEOB，, PDO= PEO=90 .,在PDO和PEO中，,PDO= PEO，,AOC= BOC，,OP= OP，, PDO PEO(AAS).,PD=PE.,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,验证猜想,一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的
5、步骤进行，即,1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和 求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.,性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,应用所具备的条件：,定理的作用：,证明线段相等.,应用格式：,OP 是AOB的平分线，,PD = PE,推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.,PDOA， PEOB，,判一判：（1） 如下左图，AD平分BAC（已知），, = ，( ),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等,BD CD,(2) 如上右图， DCAC，DBAB （已知）., = ， ( ),在角的平分线上的
6、点到这个角的两边的距离相等,BD CD,缺少“垂直距离”这一条件,缺少“角平分线”这一条件,1.如图，在ABC中，B，C的平分线交于点O，ODAB于点D，OEAC于点E，则OD与OE的大小关系是() A. ODOE BODOE C. ODOE D不能确定,B,巩固练习,例1已知：如图，在ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DEAB，DFAC.垂足分别为E，F. 求证：EB=FC.,证明： AD是BAC的角平分线， DEAB，DFAC，, DE=DF， DEB=DFC=90 .,在RtBDE 和 RtCDF中，, RtBDE RtCDF(HL)., EB=FC.,角平分线的性质的应用,2
7、.如图，已知：OD平分AOB，在OA，OB边上取OAOB，PMBD，PNAD，垂足分别为M，N. 求证：PMPN.,证明：OD平分AOB，12， 又OAOB，ODOD， AODBOD，34， 又PMDB，PNDA， PMPN(角平分线上的点到角两边的距离相等),例2 如图，AM是BAC的平分线，点P在AM上，PDAB，PEAC，垂足分别是D、E， PD=4cm，则PE=_cm.,4,提示：存在两条垂线段直接 应用.,利用角平分线的性质求线段的长度,3.如图，在RtABC中，AC=BC，C90，AP平分BAC交BC于点P，若PC4， AB=14. （1）则点P到AB的距离为_.,4,提示：存在一
8、条垂线段构造应用.,巩固练习,1.应用角平分线性质：,存在角平分线,涉及距离问题,2.联系角平分线性质：,面积,周长,条件,利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解,如图，B=C=90，M是BC的中点，DM平分ADC，且ADC=110，则MAB=（） A30B35C45D60,B,解析：作MNAD于N，B=C=90，ABCD， DAB=180ADC=70， DM平分ADC，MNAD，MCCD， MN=MC，M是BC的中点， MC=MB，MN=MB，又MNAD，MBAB， MAB= DAB=35.,2.ABC中， C=90，AD平分CAB，且BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是 .,3
9、,E,1. 如图，DEAB，DFBG，垂足分别是E，F， DE =DF， EDB= 60，则 EBF= 度，BE= .,60,BF,3. 用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明AOC=BOC的依据是（ ） A. SSS B. ASA C. AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等,A,4.如图，OP平分AOB，PCOA，PDOB，垂足分别是C，D，下列结论中错误的是() A. PCPD B. OCOD C. CPODPO D. OCPC,D,巩固练习,5. 如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E，SABC7，DE2，AB4，则AC的长是(),A6 B5 C4 D
10、3,D,B,C,E,A,D,F,6,8,10,1. 在RtABC中，BD平分ABC，DEAB于E，则： (1)哪条线段与DE相等？为什么？ (2)若AB10，BC8，AC6，求BE，AE的长和AED 的周长.,解：(1)DC=DE. 理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等. （2）在RtCDB和RtEDB中，DC=DE，DB=DB， RtCDBRtEDB(HL)， BEBC=8. AEABBE=2. AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8.,C,D,2.如图所示，D是ACG的平分线上的一点DEAC，DFCG，垂足分别为E，F. 求证：CECF.,证明：CD是ACG的平分线，DEAC，D
11、FCG， DEDF. 在RtCDE和RtCDF中， RtCDERtCDF(HL)， CECF.,如图，已知ADBC，P是BAD与ABC的平分线的交点，PEAB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.,解：过点P作MNAD于点M，交BC于点N. ADBC， MNBC，MN的长即为AD与BC之间的距离. AP平分BAD， PMAD ， PEAB， PM= PE. 同理， PN= PE. PM= PN= PE=3. MN=6.即AD与BC之间的距离为6.,角平分线,尺规作图,属于基本作图，必须熟练掌握,性质定理,一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等,辅助线
12、添加,过角平分线上一点向两边作垂线段,为证明线段相等提供了又一途径,第二课时,角的平分线的判定,我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢？,3. 学会判断一个点是否在一个角的平分线上.,1. 理解角平分线判定定理.,2. 掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.,回 顾旧知,O,D,P,P到OA的距离PD,P到OB的距离PE.,P是角平分线上的点,几何语言描述：, OC平分AOB，且PDOA， PEOB., PD= PE.,A,C,B,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,叙述角平分线的性质定理.,不必再证全等,E,角平
13、分线的判定,角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上,交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？,角平分线的性质：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等., OC平分AOB，且PDOA， PEOB PD= PE,几何语言：,猜想:,这个结论正确吗？,已知：如图，PDOA，PEOB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在AOB的平分线上.,证明：,作射线OP，,点P在AOB的平分线上.,在RtPDO和RtPEO 中，,（全等三角形的对应角相等）.,OP=OP（公共边），,PD= PE（已知 ），,PDOA，PEOB.,PDO=PEO=90，,RtPDORt
14、PEO（ HL）.,AOP=BOP,猜想证明,判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.,应用所具备的条件：,定理的作用：判断点是否在角平分线上.,应用格式：, PDOA，PEOB，PD=PE.,点P 在AOB的平分线上.,例1 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为120000）？,D,C,S,解：作夹角的角平分线OC，,截取OD=2.5cm ， D即为所求.,O,方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.,
15、角平分线的判定的应用,1如图，点P在AOB内部，PCOA于点C，PDOB于点D，PC3 cm，当PD_cm时点P在AOB的平分线上,3,3,2如图，ABCD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则点P是 的平分线与 的平分线的交点,ABC,BCD,分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？,三角形的内角平分线,发现：三角形的三条角平分线相交于一点.,分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？,发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.,你能证明这个结论吗？,已知：如图，ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.,证明：过
16、点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.,BM是ABC的角平分线，点P在BM上， PD=PE.同理PE=PF. PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.,D,E,F,证明结论,点P在A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？,点P在A的平分线上.,结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.,D,E,F,E,O,3.如图，在直角ABC中，C90，AP平分BAC，BD平分ABC；AP，BD交于点O，过点O作OMAC，若OM4. (1)求点O到ABC三边的距离和.,12,B,C,A,解：连接OC.,(2)若ABC的周
17、长为32，求ABC的面积.,巩固练习,3.如图，在直角ABC中，C90，AP平分BAC，BD平分ABC；AP，BD交于点O，过点O作OMAC，若OM4.,1.应用角平分线性质：,存在角平分线,涉及距离问题,2.联系角平分线性质：,距离,面积,周长,条件,例2 如图，在ABC中，点O是ABC内一点，且点O到ABC三边的距离相等若A40，则BOC的度数为(),A110 B120 C130 D140,A,解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，即三条角 平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 所以有CBOABO ABC， BCOACO ACB， ABCACB18040140， OBCOCB70
18、， BOC18070110.,利用三角形的内角平分线的性质求值,方法点拨,由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是三角形三条内角平分线的交点，再利用三角形内角和定理即可求出BOC的度数,角的平分线的性质,OP平分AOB,PDOA于D,PEOB于E,PD=PE,OP平分AOB,PD=PE,PDOA于D,PEOB于E,角的平分线的判定,归纳总结,4.到三角形三边距离相等的点是() A三边垂直平分线的交点 B三条高所在直线的交点 C三条角平分线的交点 D三条中线的交点 5.如图，河南岸有一个工厂在公路西侧，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与B的距离为300 m，在图上标出工厂的位置，并说明
19、理由,解：作小河与公路夹角的角平分线BM，在BM上截取BP1.5 cm，则点P即为所求的工厂的位置,C,证明：BFAC，CEAB， BEDCFD90， 又BDECDF， BECF， BDECDF(AAS) DEDF， AD平分BAC.,如图，已知，BECF，BFAC于点F，DEAB于点E，BF，CE交于点D. 求证：AD平分BAC.,1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.,小区C,A,O,B,M,N,2. 如图所示，已知ABC中，PEAB交BC于点E，PFAC交BC于点F，点P是AD上
20、一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分BAC，并说明理由,解：AD平分BAC理由如下： D到PE的距离与到PF的距离相等， 点D在EPF的平分线上 12又PEAB，13 同理，24 34，AD平分BAC,P,过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M.,E,证明：,点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBC.,FGFM.,又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBC，,FMFH，,FGFH.,点F在DAE的平分线上.,G,H,M,A,B,C,F,D,如图，已知CBD和BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在DAE的平分线上,如图， 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路， 现要建一个货物中转站， 要求它到三条公路的距离相等， 可选择的地址有几处? 画出它的位置.,P1,P2,P3,P4,l1,l2,l3,角平分线 的判定定理,内容,角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上,作用,判断一个点是否在角的平分线上,结论,三角形的角平分线相交于内部一点,