1、11.2 与三角形有关的角 11.2.2 三角形的外角,人教版 数学 八年级 上册,足球比赛中的数学知识,在绿茵场上，足球员在E处受到阻挡需要传球，请帮 助作出选择，应传给在B处的球员还是C处的球员，其射 门不易射偏？（不考虑其他因素）,在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯 的地方都转了一个角度（1，2，3），那么回到 原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？,2. 掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和及三角形的内角和,1. 理解并掌握三角形的外角的概念，能够在复杂图形中找出外角.,3. 会利用三角形的外角性质解决问题.,B,D,C,A,O,40 ,70 ,？,发现懒
2、羊羊独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒羊羊，已知BAC=40 ， ABC=70.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？,三角形的外角的概念,利用“三角形的内角和为180”来求BCD，你会吗？,思考：像BCD这样的角有什么特征吗？试猜想它的性质.,B,D,C,A,O,40 ,70 ,？,由三角形内角和易得BCA=180ACBA=70，所以BCD=180BCA=110.,定义 如图，把ABC的一边BC延长，得到ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.,ACD是ABC的一个外角
3、.,C,B,A,D,如图，延长AC到E，BCE是不是ABC的一个外角？DCE是不是ABC的一个外角？,E,在三角形每个顶点处都有两个外角.,ACD 与BCE为对顶角，ACD =BCE；,BCE是ABC的一个外角，DCE不是ABC的一个外角.,如图，ACD与BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？,问题1：,问题2：,画出ABC的所有外角，共有几个呢?,每一个三角形都有6个外角 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.,三角形的外角应具备的条件：,角的顶点是三角形的顶点； 角的一边是三角形的一边； 另一边是三角形中一边的延长线.,F,A,B,C,D,E,如图， BEC是哪
4、个三角形的外角？AEC是哪个三角形的外角？EFD是哪个三角形的外角？,BEC是AEC的外角;,AEC是BEC的外角;,EFD是BEF和DCF的外角.,三角形的外角的性质,如图，ABC的外角BCD与其相邻的内角ACB有什么关系？,BCD与ACB互补.,如图，ABC的外角BCD与其不相邻的两内角(A，B)有什么关系？,A+B+ACB=180，BCD+ACB=180， A+B=BCD.,你能用作平行线的方法证明此结论吗？,D,证明：过C作CE平行于AB，,A,B,C,1= B， （两直线平行，同位角相等）,2= A ， （两直线平行，内错角相等）,ACD= 1+ 2= A+ B.,已知：如图，ABC
5、，求证：ACD=A+B.,三角形内角和定理的推论,三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.,应用格式： ACD是ABC的一个外角. ACD= A+ B.,1.说出下列图形中1和2的度数：,1=40 ， 2=140 ,1=18 ， 2=130 ,例1 如图，A=42，ABD=28，ACE=18，求BFC的度数., BEC是AEC的一个外角，, BEC= A+ ACE，,A=42 ，ACE=18，, BEC=60., BFC是BEF的一个外角，, BFC= ABD+ BEF，, ABD=28 ，BEC=60，, BFC=88.,解：,F,A,C,D,E,B,利用三角形外角的性质求角的度数,分析：
6、根据平行线的性质求出C， 再根据三角形外角性质即可求出3. 解： ABCD，145，C145. 又235， 32C354580.,2. 如图，直线AB，CD被BC 所截，若ABCD，145，235， 则3_度,80,例2 如图，P为ABC内一点，BPC150， ABP20，ACP30，求A的度数,分析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出A的度数,E,借助辅助线求角的度数,解：延长BP交AC于点E， 则BPC，PEC分别为PCE，ABE的外角， BPCPECPCE， PECABEA， PECBPCPCE 15030120. APECABE1202010
7、0.,方法点拨：求角的度数，常连接并延长或延长三角形的边长，通过构造三角形的外角，利用外角的性质解决.,如图，A=51，B=20，C=30，求BDC的度数.,思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.,解法一：连接AD并延长于点E. 在ABD中，1+ABD=3， 在ACD中，2+ACD=4. 因为BDC=3+4，BAC=1+2， 所以BDC=BAC+ABD+ACD =51 +20+30=101.,E,),),1,2,),3,),4,你发现了什么结论？,E,),1,解法二：延长BD交AC于点E. 在ABE中，1=ABE+BAE， 在ECD中，BDC=1+ECD. 所以BDC=BAC
8、+ABD+ACD =51 +20+30=101.,解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.,),2,F,3.如图，求证：BOCABC.,证明：延长BO交AC于点D， 因为三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和. 所以BDCAB，BOCBDCC， 所以BOCABC.,D,如图 ，试比较2 、1的大小；,如图 ，试比较3 、2、 1的大小.,图,图,解：2=1+B， 21.,解：2=1+B， 3=2+D， 321.,三角形的外角大于与它不相邻的内角.,4. 如图，A，1，2的大小关系是() AA12 B21A CA21 D2A1,B,三角形的外角和定理,例3 如图， BAE，
9、 CBF， ACD是ABC的三个外角，它们的和是多少？,解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 BAE= 2+ 3， CBF= 1+ 3， ACD= 1+ 2. 又知1+ 2+ 3=180 ， 所以BAE+ CBF+ ACD =2(1+ 2+ 3)=360 .,你还有其他解法吗？,解法二：如图，BAE+1=180 ， CBF +2=180 ， ACD +3=180 ， 又知1+ 2+ 3=180 ， + + 得 BAE+ CBF+ ACD+(1+ 2+ 3)=540 ， 所以BAE+ CBF+ ACD=540 180=360.,解法三：过A作AM平行于BC，,3 4,B,C,1
10、,2,3,A,2 BAM，,所以 1 2 3 1 4 BAM=360,2 3 4BAM，,结论：三角形的外角和等于360.,思考 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？,D,E,F,5. 下列对三角形的外角和叙述正确的是() A三角形的外角和等于180 B三角形的外角和就是所有外角的和 C三角形的外角和等于所有外角和的一半 D以上都不对,C,1.如图，ACD是ABC的外角，CE平分ACD，若A=60，B=40，则ECD等于（） A40B45C50D55,解析：A=60，B=40， ACD=A+B=100， CE平分ACD， ECD= ACD=50,C,解析：如图，ACD=90、F=45， CG
11、F=DGB=45， 则=D+DGB=30+45=75.,2.将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30角的三角板的一条直角边和含45角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则的度数是（） A45B60C75D85,C,1. 判断下列命题的对错. （1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ） （2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （ ） （3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ） （4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ） （5）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ） （6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ）,2.如图，点D在ABC
12、边AB的延长线上，DEBC若A=35，C=24，则D的度数是（） A24B59C60D69,B,1.（1）如图，BDC是_的外角，也是 的外角； （2）若B=45 ，BAE=36 ，BCE=20 ，试求AEC的度数.,A,B,C,D,ADE,ADC,解：根据三角形外角的性质有 ADC= B+ BCE， AEC= ADC+ BAE. 所以AEC= B+BCE+ BAE =45 +20 +36 =101 .,2. 如图，在RtABC中，ACB=90，A=40，ABC的外角CBD的平分线BE交AC的延长线于点E （1）求CBE的度数； （2）过点D作DFBE，交AC的延长线于点F，求F的度数,解：（
13、1）在RtABC中，ACB=90，A=40，ABC=90A=50，CBD=130 BE是CBD的平分线，CBE=CBD=65； （2）ACB=90，CBE=65， CEB=9065=25 DFBE，F=CEB=25,1,2,F,G,解：1是FBE的外角，,1=B+ E，,同理2=A+D.,在CFG中， C+1+2=180，,A+ B+C+ D+E = 180.,1. 如图，求A+ B+ C+ D+ E的度数.,B,A,C,P,N,M,D,E,F,2. 如图，试求出ABCDEF =_.,360,三角形的外角,定义,角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线,性质,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,三角形的外角和,三角形的外角和等于360 ,辅助线总结,求角的度数，通过三角形一顶点的平行线，利用平行线的性质解决 求角的度数，延长三角形一边或连接并延长，利用三角形外角性质解决,