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河北省衡水中学2020届高三卫冕联考文科数学试题(含答案)

1、20202020 届高三卫冕联考文数试卷届高三卫冕联考文数试卷 本试卷共 4 页,23 题(含选考题).全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定 位置. 2.选择题的作答:选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上 的非答题区域均无效. 4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑

2、。答案写在答题卡上对应的答 题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效. 5.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交. 第卷 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数z满足(1)2zii,则z在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合 2 4Ax x, 1Bx yx,则AB ( ) A.2,1 B.2,1 C.0,1 D.,2 3.已知ABC为正三角形,则tan 4 A 的值为( ) A.23 B.23 C.23 D.23 4.已知 2 log3a ,

3、 1 2 log 3b , 2 log 3 2c ,则a,b,c的大小关系为( ) A.cba B.acb C.abc D.bac 5.某地 2019 年 1 月到 10 月居民消费价格指数(CPI(%) )与工业品出厂价格指数(PPI(%) )的曲线图如 下: 则下面说法不正确的是( ) A.2019 年 1 月到 10 月,CPI(%)的值比相应时期的 PPI(%)的值要大 B.2019 年 1 月到 10 月,10 月份 CPI(%)与 PPI(%)之差最大 C.2019 年 1 月到 10 月,CPI(%)的值逐月增长 D.2019 年 1 月到 10 月,PP(%)有 4 个月份为负

4、值 6.已知数列 n a为等差数列,且 2 2a , 6 6a ,则 12232021 111 a aa aa a ( ) A. 18 19 B. 19 20 C. 20 21 D. 21 22 7.我国经典数学名著 九章算术 中有这样的一道题: 今有出钱五百七十六, 买竹七十八个, 欲其大小率之, 问各几何?其意是:今有人出钱 576,买竹子 78 根,拟分大、小两种竹子为单位进行计算,每根大竹子比 小竹子贵 1 钱,问买大、小竹子各多少根?每根竹子单价各是多少钱?则在这个问题中,大竹子每根的单价 可能为( ) A.9 钱 B.8 钱 C.7 钱 D.6 钱 8.在ABC中,1AB ,2AC

5、 ,2BDDC,3AD AC,则cosBAC( ) A. 1 2 B. 1 4 C. 3 2 D. 5 6 9.执行图所示的程序框图,则输出的结果为( ) A. 45 2 B. 50 2 C. 55 2 D. 60 2 10.过双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的右焦点F作倾斜角为60的直线交E于A,B两点,交y轴于 点C,过点F作E的一条渐近线的垂线,垂足为N,且满足3| |FNFC,则E的离心率的取值范围为 ( ) A. 3 5 , 5 B. 2 5 , 3 C. 2 5 1, 3 D. 3 5 1, 5 11.若函数( ) xx f xeex ,则不等式(| 1)(

6、2 )0fxfx的解集为( ) A. 1,) B.(,1 C.(0,1) D.( 1,0) 12.已知函数( )sin(0)f xx在区间 2 , 33 ,上单调递增,且( )1f x 在区间0,2 上有唯一的 实数解,则a的取值范围是( ) A. 3 0, 4 B. 3 3 , 4 2 C. 1 3 , 4 2 D. 1 3 , 4 4 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 1321 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 2223 题为选考题, 考生根据要求作答. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分. 13.抛物线 2 20yx的焦点到其准线的距离为_. 14.已知正项等比数列

7、 n a中, 26 64aa, 5 16a ,则 126 111 aaa _. 15.已知直线:4l yx与曲线 2 :4C yx,在曲线C上随机取一点M,则点M到直线l的距离不大 于 2 的概率为_. 16.已知三棱锥PABC的所有棱长都是 2,四个顶点P,A,B,C都在球O的球面上,记球O的表面 积是S,过棱AB的平面被球O截得的截面面积的最小值为 2 S,则的值为_. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 在我国抗击新型冠状病毒肺炎期间,素有“南抖音,北快手”之说的小视频除了给人们带来生活中的快乐 外,更在于传递了一种正能量,为抗疫起到了积

8、极的作用,但一个优秀的小视频在有很好的素材与拍摄成 品外, 更要有制作上的技术要求.某同学为提高自己的制作水平, 将所制作的某小视频发到自己的朋友圈里, 并请朋友圈的朋友按自己的审美给予评价,通过收集 100 位朋友(男、女各前 50 位)的评价,得到下面的 列联表: 优秀 不优秀 男性朋友 35 15 女性朋友 27 23 (1)分别估计男、女性朋友对该小视频评价优秀的概率; (2)能否有 95%的把握认为对该小视频的制作评价是否优秀与性别有关? 附: 2 2 () ()()()() n adbc Knabcd ab cd ac bd . 2 0 P Kk 0.050 0.010 0.001

9、 0 k 3.841 6.635 10.828 18.(本小题满分 12 分) 已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足 2 sin2 3 sin 2 A aBb. (1)求角A的大小; (2)若ABC的外接圆半径为 1,求bc的最大值. 19.(本小题满分 12 分) 如图所示的斜三棱柱 111 ABCABC中,点 1 A在底面ABC的投影O为AC边的中点,3AB,4AC , 5BC , 1 4AA . (1)证明:平面 1 ABC 平面 11 ACC A; (2)求点C到平面 1 ABC的距离. 20.(本小题满分 12 分) 如图所示椭圆 22 22 :1(0) xy

10、Cab ab 的左、右顶点分别为 1 A, 2 A,上、下顶点分别为 1 B, 2 B,右焦 点为F, 1 3AF ,离心率 1 2 e . (1)求椭圆C的方程; (2)过点(0,1)E作斜率为的直线l与椭圆C交于点M,N(点N在第一象限) ,直线 1 MB与直线 2 NB交 于点T,求点T的坐标. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数( )ln x f xxe. (1)求曲线( )yf x在点(1, (1)Pf处的切线方程; (2)证明:( )20f x . 请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与

11、参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 cos sin x y (为参数) ,以坐标原点为极点,x轴正半轴为 极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2 cos1 4 . (1)写出曲线C的极坐标方程及直线l的直角坐标方程; (2)设直线l与曲线C的交点分别为A,B,点P(异于A,B两点)在曲线C上运动,求PAB面积 的最大值. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知不等式|1|3(0)xmxm对xR恒成立. (1)求实数m的取值范围; (2)记m的最大值为k,若0a ,0b ,abk,证明:2ab. 20202020 届高三卫冕联考文数参考答案及评分细则届高三

12、卫冕联考文数参考答案及评分细则 一、选择题 1.A【解析】由(1)2zii,得 22 (1) 1 1(1)(1) iii zi iii ,所以z在复平面内对应的点位于第一象限. 故选 A. 2.D【解析】因为 2 422Ax xxx, 1101Bx yxxxx x,所 以2ABx x.故选 D. 3.B 【解析】 因为ABC为正三角形, 所以 3 A , 所以 tantan 31 34 tan23 413 1tantan 34 A . 故选 B. 4.D【解析】因为 22 0log3log 21a, 11 22 log 3log 10b , 2 log 3 23c ,所以bac. 故选 D.

13、5.C【解析】对于 A,由图可知 CPI(%)对应的曲线在 PPI(%)对应的曲线的上方,所以 A 正确;对于 B, 从图中可知 2019 年 10 月份 CPI(%)对应的点在最高处,而相应 PPI(%)对应的点在最低处,所以 CPI (%)与 PPI(%)之差最大,故 B 正确;对于 C,CPI(%)的值先降低后增长,故 C 错误;对于 D,从 PPI(%)的值,可知 7,8,9,10 四个月份为负值,所以 D 正确.故选 C. 6.C【解析】设数列 n a的公差为d,由题意得, 1 1 2 56 ad ad ,解得 1 1a ,1d , 1 (1) 1 n ann , 1 1111 (1

14、)1 nn a an nnn , 12232021 11111111120 11 22320212121a aa aa a .故选 C. 7.B【解析】题可设买大竹子x根,每根单价为m钱,则买小竹子78x根,每根单价为1m钱,所以 586(78)(1)mxx m,即78654mx,即6 109 13xm,即6 109 13xm,因为 078x,所以 109 109 130 96109 13 6(109 13 )78961313 13 m m m m m ,根据选项,8m,30 x,所以 买大竹子 30 根,每根 8 钱.故选 B. 8.A【解析】因为 2212 () 3333 ADABBDAB

15、BCABACABABAC, 所以 121218 1 2 cos3 333333 AD ACABACACAB ACACBAC ,解得 1 cos 2 BAC.故选 A. 9.C【解析】按程序框图执行程序如下:1n , 1S , 1 22a ,1 22S ,1 10不成立,继续 循环;2n, 2 2a , 2 1 2 2S ,210不成立, 继续循环;3n, 3 2a , 23 1 2 22S ,3 10 不成立,继续循环;10n, 10 2a , 2310 1 2 222S ,退出循环,输出 (1 10) 10 23101 2 31055 2 1 2 222222S .故选 C. 10.A【解析

16、】设O为坐标原点,因为直线AB的倾斜角为60,所以30FCO,因为|OFc(其中 222 cab) ,所以| 2FCc,因为过点F作E的一条渐近线的垂线,垂足为N所以由双曲线的性质, 可知|FNb,所以由3| |FNFC,得32bc,两边平方得 22222 93 5 9459 55 bccaee.故选 A. 11.A【解析】因为函数( ) xx f xeex的定义域为R,且满足()() xxxx fxeexeex ( )f x,所以( )f x为R上的奇函数,某( )10 xx fxee 恒成立,所以 f x为R上的增函数.而 (| 1)(2 )0fxfx可化为(| 12 )2 )(ffxxf

17、x,所以原不等式等价于不等式| 12xx . 当0 x时, 可化为 1 12 3 xxx , 所以0 x; 当0 x时, 可化为211xxx, 所以10 x .综上,原不等式的解集为 1,) .故选 A. 12.D 【解析】 因为( )sin(0)f xx, 令22 , 22 kxkk Z, 即 2 22 k x 2 , k k Z,所以函数( )f x的单调递增区间为 22 , 22 kk k Z,又因为函数( )f x在 2 , 33 上单调递增,所以 222 , 3322 kk ,得 2 23 ,且 32 , 又因为0,所以 3 0 4 ,又( )1f x 在区间0,2 上有唯一的实数解

18、,所以 12 2 4 ,且 52 2 4 ,可得 1 5 , 4 4 .综上, 1 3 , 4 4 .故选 D. 二、填空题 13.10【解析】由题知,10p ,则焦点到准线的距离为 10. 14. 63 32 【解析】由 2 264 aaa,得 4 8a ,又0 n a ,则 4 8a ,又 5 16a ,2q , 1 2n n a , 6 5 126 1 11 11111632 1 1 2232 1 2 aaa . 15. 1 2 【解析】作出示意图 曲线 2 :4C yx是圆心为原点,半径为 2 的一个半圆.圆心O到直线:4l yx的距离 22 |004| 2 2 11 d ,而点O到直

19、线:2AB xy的距离为2,故若点M到直线4xy的距离不 大于2,则点M在阴影部分所对的劣弧上,由几何概型的概率计算公式知,所求概率为 1 2 1 2 22 . 16.6【解析】由题意知,三棱锥PABC是正三棱锥,如图所示, 设点P在底面ABC内的投影是G, 球O的半径为R, 从而有 22 3 33 CGCD, 22 PGPCCC 2 2 32 6 4 33 , 所以 22 2 2 62 3 33 RR , 解得 6 2 R , 所以球O的表面积是 1 4S 2 6 6 2 .易知当棱AB是截面圆的直径时,过棱AB的平面被球O截得的截面面积取最小值 2 S, 所以 1 2 6 S S . 三、

20、解答题 17.解: (1)由表中数据,男性朋友对该小视频评价优秀的比率为 35 0.7 50 ,因此男性朋友对该小视频评价 优秀的概率的估计值为 0.7. 女性朋友对该小视频评价优秀的比率为 27 0.54 50 ,因此女性朋友对该小视频评价优秀的概率的估计值 为 0.54. (2)由列联表可知, 2 2 100 (35 2327 15) 2.7163.841 62 38 50 50 K ,所以没有 95%的把握认为对该小视 频的制作评价是否优秀与性别有关. 18.解: (1)由正弦定理及 2 sin2 3 sin 2 A aBb, 得 2 sinsin2 3sinsin 2 A ABB, 因

21、为(0, )B, 所以sin0B, 所以 2 sin2 3sin 2 A A , 即 2 2sincos2 3sin 222 AAA , 即 3 tan 23 A . 因为(0, )A,所以 26 A , 所以 3 A . (2)由ABC的外接圆半径为 1,得 3 2sin23 2 aA, 由余弦定理及基本不等式,得 2 2222222 3() 2cos()3() 4 bc abcbcAbcbcbcbcbc , 即 2 () 3 4 bc ,当且仅当3 bc时取等号. 所以2 3bc. 所以bc的最大值为2 3. 19.解: (1)因为3AB,4AC ,5BC , 所以 222 ABACBC,

22、 所以90BAC,即ABAC. 因为O为 1 A在底面ABC的投影, 所以 1 AO 平面ABC,所以 1 AOAB. 因为 1 AOACO,所以BA 平面 11 ACC A, 又BA平面 1 ABC, 所以平面 1 ABC 平面 11 ACC A. (2)由条件可知, 1 4AA ,2AO, 所以 1 2 3AO, 所以点 1 A到平面ABC的距离为 1 2 3AO. 因为 11 AC平面ABC, 所以点 1 C到平面ABC的距离等于点 1 A到平面ABC的距离,即为2 3, 且 11 4 36 22 ABC SAC AB . 又由 1 4AA ,2AO, 1 AOAO,可知 1 =60A

23、AO, 所以 1 120ACC, 所以在 1 ACC中, 222 111 2cos120ACACCCAC CC , 所以 2 11 484 3ACAC. 由(1)的证明,可知AB 平面 11 ACC A, 所以 1 ABAC, 所以 1 1 11 3 4 36 3 22 BAC SAB AC . 设点C到平面 1 ABC的距离为d, 由等体积法,可知 1 1 11 33 ABCABC SdSAO , 即6 36 2 32dd , 所以点C到平面 1 ABC的距离为 2. 20.解: (1)由 1 3AF 及 1 2 e , 可知 3 2 1 1 2 ac a c c a , 所以 222 3b

24、ac, 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy . (2)依题可设过点(0,1)E且斜率为 5 2 的直线 5 :1 2 l yx, 11 ,M x y, 22 ,N x y, 联立方程组 22 2 1 43 7520 5 1 2 xy xx yx , 解得 1 1x , 2 2 7 x ,则 1 3 2 y , 2 12 7 y , 所以 3 1, 2 M , 2 12 , 77 N , 由(1)知, 1(0, 3) B, 2(0, 3)B. 所以直线 1 3 :33 2 MByx , 直线 2 7 3 :63 2 NByx , 由,解得 6 310 3 x y , 所以点T的坐标为(6

25、310,3). 21.解: (1)由( )ln x f xxe,得 1 ( )exfx x , 所以切线的斜率(1)1kfe , 又因为当1x 时,(1)fe , 所以切线方程为(1)(1)yee x, 即(1)1ye x. (2)欲证( )20f x ,即证ln20 x xe, 即证ln11 x xe , 设( )ln1g xxx ,则 11 ( )1 x g x xx , , 当01x时,( )0g x,( )g x在(0,1)上单调递增, 当1x 时,( )0g x,( )g x在(1,)上单调递减, 所以( )g x在1x 处取得极大值,即为最大值, 所以( )(1)0g xg, 所以

26、ln1xx . 设( )1(0) x h xex x ,则( )10 x h xe , 所以( )h x在(0,)上单调递增, 所以( )(0)0h xh, 所以1 x ex 在0 x时成立, 所以ln11 x xxe , 所以ln11 x xe , 所以ln20 x xe, 即( )20f x 成立. 22.解: (1)将曲线C的参数方程 cos sin x y (为参数) ,消去参数, 可得其普通方程为 22 1xy, 将 222 xy代入上式, 得曲线C的极坐标方程为1. 直线l的极坐标方程为2 cos1 4 可化为cossin1, 将cosx,siny代入上式, 得直线l的直角坐标方程

27、为10 xy . (2)易知直线:10l xy 与圆 22 :1C xy的两个交点分别为(1,0),(0, 1), 所以|2AB . 因为点P在曲线C上, 所以可设(cos ,sin )P, 则点(cos ,sin )P到直线l的距离为 2sin1 4|cossin1| 22 d , 所以当sin1 4 时, max 21 2 d , 所以 max max 112121 |2 2222 PAB SABd . 所以PAB面积的最大值为 21 2 . 23.解: (1)设 1,1 21, 1 1, ( ) |1|f x mx xxmxmxm mxm , 故实数m的取值范围是(0,2. (2)由(1)可知,m的最大值为 2,即2k , 所以2ab, 所以 22 ()() 1 222 ababab , 所以2ab,当且仅当1ab时等号成立.