1、第十一章三角形尖子生训练卷第十一章三角形尖子生训练卷 一选择题 1已知三角形两边的长度分别为 2 和 7，其周长为偶数，那么第三边的长是（ ） A5 B6 C7 D8 2将一副三角板按如图方式叠放，则角 为（ ） A75 度 B60 度 C45 度 D30 度 3 有两根长度分别为 5cm和 8cm的木棒， 若不改变木棒的长度钉成一个三角形木架， 则另一根木棒应选 （ ） A3cm B5cm C13cm D20cm 4九边形的外角和是（ ） A1 620 度 B1 440 度 C720 度 D360 度 5RtABC中，ACB90，若ACD50，则与BCD相邻的外角度数是（ ） A130 B1
2、40 C30 D40 6三角形的三边为a、b、c，化简|abc|bac|的结果是（ ） A2b B2a C2b2a D2b2c 7如图，在ABC中，已知A50，OB、OC平分ABC和ACB，则BOC的度数是（ ） A72 B54 C46 D115 8下列说法中，正确的个数是（ ） 三角形的三条高都在三角形内，且都相交于一点 任意三角形的外角和都是 360 三角形的一个外角大于任何一个内角 在ABC中，当AC，C时，这个三角形是直角三角形 A1 B2 个 C3 个 D4 个 9如图，在ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，若A50，则BPC等于（ ） A90 B130 C270 D315
3、 10如图：中，A42，12，34，则O1+O2+O3（ ）度 A84 B111 C225 D201 二填空题 11在ABC中，若ABC，则A ，B ，C 12三角形中最多有 个直角或钝角，最少有 个直角或钝角；最多有 个锐角，最少有 个锐角 13 已知一个多边形的内角和为 540 度，则这个多边形为 边形； 如果正多边形的一个外角为 72 度， 那么它的边数是 14 如图，P是ABC内一点， 延长BP交AC于点D， 用小于号 “” 表示1， 2， A之间的关系 15不等边三角形的最长边为 9，最短边为 4，则第三边长为整数的值有 16如图，在ABC中，A26，E是AC边上的点，先将ABE沿着
4、BE翻折，翻折后ABE的AB边交 AC于点D， 又将BCD沿着BD翻折，C点恰好落在BE上， 此时CDB82， 则原三角形的B为 度 三解答题 17（1）如图B+D+1180 又1A+2 2C+E A+C+E+B+D180 （2）将图变形成图，A+DBE+C+D+E仍然为 180，请证明这个结论 （3）将图变形成图，则A+B+C+D+E还为 180，请继续证明这个结论 18已知：ABC中，ADBC，AE平分BAC，请根据题中所给的条件，解答下列问题： （1）如图 1，若BAD60，EAD15，求ACB的度数 （2）通过以上的计算你发现EAD和ACBB之间的关系应为： （3）在图 2 的ABC中
5、，ACB90，那么（2）中的结论仍然成立吗？为什么？ 19已知如图 1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图 1 的图形称之为“8 字形”如图 2， 在图 1 的条件下，DAB和BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N试解 答下列问题： （1）在图 1 中，请直接写出A、B、C、D之间的数量关系： ； （2）仔细观察，在图 2 中“8 字形”的个数： 个； （3）在图 2 中，若D40，B36，试求P的度数； 20请在下列证明过程中，标注恰当的理由如图，在ABC中，ABC的平分线BE与ACD的平分线CE 相交于点E 证明：因为BE是ABC的平分线，
6、CE是ACD的平分线，所以ABC21，ACD22 （ ） 因为ACD是ABC的一个外角， 所以ACDA+ABC（ ） 所以AACDABC（ ） 所以A2221（ ） 2（21） 因为2 是BEC的一个外角， 所以21+E（ ） 所以E21（ ） 所以A2E（ ） 21如图，ABC中，A50， （1）若点P是ABC与ACB平分线的交点，求P的度数； （2）若点P是CBD与BCE平分线的交点，求P的度数； （3）若点P是ABC与ACF平分线的交点，求P的度数； （4）若A，求（1）（2）（3）中P的度数（用含 的代数式表示，直接写出结果） 22在一个三角形中，如果一个角是另一个角的 3 倍，这样的
7、三角形我们称之为“智慧三角形”如，三 个内角分别为 120，40，20的三角形是“智慧三角形” 如图，MON60，在射线OM上找一点A，过点A作ABOM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交 射线OB于点C （1）ABO的度数为 ，AOB （填“是”或“不是”）智慧三角形； （2）若OAC20，求证：AOC为“智慧三角形”； （3）当ABC为“智慧三角形”时，求OAC的度数 23如图 1，已知ACD是ABC的一个外角，我们容易证明ACDA+B，即三角形的一个外角等于与 它不相邻的两个内角的和那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关 系呢？ 尝试探究： （1） 如图 2
8、， DBC与ECB分别为ABC的两个外角， 则DBC+ECB A+180 （横线上填、 或） 初步应用： （2）如图 3，在ABC纸片中剪去CED，得到四边形ABDE，1135，则2C （3）解决问题：如图 4，在ABC中，BP、CP分别平分外角DBC、ECB，P与A有何数量关系？ 请利用上面的结论直接写出答案 （4）如图 5，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角EBC、 FCB， 请利用上面的结论探究P与A、 D的数量关系 参考答案参考答案 一选择题 1解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，5a9 由于这个三角形的周长是偶数，则a为整数，可以为 6 或 7 或 8 又两边之和已为
9、2+79 a只能为奇数了 a7故选C 2解：由题意得，C30，ABD45， DBC45， DBC+C75 故选：A 3解：设另一根木棒的长为l， 则 8dm5dml5dm+8dm，即 3dml13dm 故选：B 4解：任意多边形的外角和是 360， 九边形的外角和是 360 故选：D 5解：ACB90，ACD50， BCD40， 则与BCD相邻的外角度数是 18040140， 故选：B 6解：三角形的三边为a、b、c， abc0，bac0， |abc|bac| a+b+c+bac 2b2a 故选：C 7解：A50， ABC+ACB180A130， OB、OC分别平分ABC、ACB， OBCAB
10、C，OCBACB， OBC+OCB（ABC+ACB）65， BOC180（OBC+OCB）18065115； 故选：D 8解：三角形的三条高都在三角形内，且都相交于一点，钝角三角形的高有 2 条在外部，故错误； 任意三角形的外角和都是 360，说法正确； 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，故错误； 在ABC中，当AC，C时，没有角为直角，这个三角形不是直角三角形故错误； 所以正确的只有 故选：A 9解：A50，CDAB， ACD40 BEAC， CEP90， BPC为CPE的外角， BPC130 故选：B 10解：中，A42，12，34， 中，2+4 （1+2+3+4） （1804
11、2）69，故O118069111； 中，O242（3+4）（1+2）A21； 中，ABC+ACB180A18042138，则1+2+3+4180+180138 222 故O3180（2+3）18022269 O1+O2+O3111+21+69201 故选：D 二填空题（共 6 小题） 11解：ABC， 设Ax，则B2x，C3x x+2x+3x180， x30 A30，B60，C90 12解：三角形中最多只有一个直角或钝角， 最少有 0 个直角或钝角 最多有 3 个锐角，最少有 2 个锐角 13解：由（n2）180540，解得：n5则这个多边形为 5 边形； 360725，则如果正多边形的一个外
12、角为 72 度，那么它的边数是 5 14解：1 是CPD的外角， 12， 2 是ABD的外角， 2A， A21， 故答案为：A21 15解：设第三边长是c，则 94c9+4， 即 5c13， 又第三边的长是整数，不等边三角形的最长边为 9，最短边为 4， c6 或 7 或 8 故答案为：6 或 7 或 8 16解：如图，由折叠可得，BDGBDC82，FBEABEABG， BDG是BDF是外角， DBFBDGF822656， FBEABE28， FBG32884， 即原三角形的B为 84， 故答案为：84 三解答题（共 7 小题） 17证明：（2）ABEC+E，DBCA+D， ABE+DBE+D
13、BC180， A+DBE+C+D+E180 将图变形成图A+DBE+C+D+E仍然为 180； （3）在FGD中，DFG+FGD+D180， DFGB+E，FGDA+C， A+B+C+D+E180， 将图变形成图，则A+B+C+D+E还为 180 18解：（1）BAD60，EAD15， BAEBADEAD45， AE平分BAC， BAC2BAE90 ADBC，BAD60， B30， ACB903060； （2）（1）中EAD15，ACBB603030，发现ACBB2EAD， 推测ACBB2EAD； （3）在图 2 的ABC中，ACB90，那么（2）中的结论仍然成立 理由如下： 在ABC中，AD
14、BC，AE平分BAC， ADCADB90，BAECAE， ACBB90+CAD（90BAD）BAD+CAD， 又BADBAE+EAD，CADEADCAE， ACBB2EAD+BAECAE2EAD 19解：（1）A+D+AODC+B+BOC180，AODBOC（对顶角相等）， A+DC+B； （2）线段AB、CD相交于点O，形成“8 字形”； 线段AN、CM相交于点O，形成“8 字形”； 线段AB、CP相交于点N，形成“8 字形”； 线段AB、CM相交于点O，形成“8 字形”； 线段AP、CD相交于点M，形成“8 字形”； 线段AN、CD相交于点O，形成“8 字形”； 故“8 字形”共有 6 个
15、； （3）DAP+DP+DCP， PCB+BPAB+P， DAB和BCD的平分线AP和CP相交于点P， DAPPAB，DCPPCB， 由+得： DAP+D+PCB+BP+DCP+PAB+P， 即 2PD+B， 又D40，B36， 2P40+3676， P38 故答案是：（1）A+DC+B； （2）6 20证明：因为BE是ABC的平分线，CE是ACD的平分线， 所以ABC21，ACD22（角平分线的定义） 因为ACD是ABC的一个外角， 所以ACDA+ABC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 所以AACDABC（等式的性质） 所以A2221（等量代换） 2（21）， 因为2 是BE
16、C的一个外角， 所以21+E（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 所以E21（等式的性质） 所以A2E（等量代换） 故答案为：角平分线的定义；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；等式的性质；等量代 换；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；等式的性质；等量代换 21解；（1）A50， ABC+ACB18050130， 点P是ABC与ACB平分线的交点， PBCABC，PCBACB， PBC+PCB（ABC+ACB）13065， P180（PBC+PCB）115； （2）ABC+ACB18050130， CBD+BCE360130230， 点P是CBD与BCE平分线
17、的交点， PBC+PCB（CBD+BCE）115， P18011565； （3）点P是ABC与ACF平分线的交点， PBCABC，PCFACF， PCFP+PBC，ACFA+ABC， 2（P+PBC）A+ABC， PA25； （4）若A，在（1）中，P180（180）90+； 在（2）中，同理得：P90； 在（3）中同理得：PA 22解：（1）ABOM， OAB90， ABO90MON30， OAB3ABO， AOB为“智慧三角形”， 故答案为：30；是； （2）AOC60，OAC20， AOC3OAC， AOC为“智慧三角形”； （3）ABC为“智慧三角形”， 当点C在线段OB上时，ABO3
18、0， BAC+BCA150，ACB60，BAC90， 、当ABC3BAC时，BAC10， OAC80， 、当ABC3ACB时， ACB10 此种情况不存在， 、当BCA3BAC时， BAC+3BAC150， BAC37.5， OAC52.5， 、当BCA3ABC时， BCA90， BAC60， OAC906030， 、当BAC3ABC时， BAC90， OAC0， 、当BAC3ACB时， 3ACB+ACB150， ACB37.5， 此种情况不存在， 当点C在线段OB的延长线上时， ACO30， ABC150， ACB+BAC30， 、当ACB3BAC时， 3BAC+BAC30， BAC7.5，
19、 OAC90+BAC97.5， 、当BAC3BCA时， 3BCA+BCA30， BCA7.5， BAC3BCA22.5， OAC90+22.5112.5 当ABC为“智慧三角形”时，OAC的度数为 80或 52.5或 0或 30或 97.5或 112.5 23解：（1）DBC+ECBA180， 理由是：DBCA+ACB，ECBA+ABC， DBC+ECB2A+ACB+ABC180+A， DBC+ECBA+180 故答案为： （2）2C45 理由是：2+1C180，1135， 2C+135180， 2C45 故答案为：45； （3）P90A， 理由是：BP平分DBC，CP平分ECB， CBPDBC，BCPECB， BPC中，P180CBPBCP180（DBC+ECB）， DBC+ECB180+A， P180（180+A）90A 故答案为：P90A， （4）P180（A+D） 理由是：EBC1801，FCB1802， BP平分EBC，CP平分FCB， 3EBC901，4FCB902， 3+4180（1+2）， 四边形ABCD中，1+2360（A+D）， 又PBC中，P180（3+4）（1+2）， P360（A+D）180（A+D）