1、20202020 年黑龙江省哈师大附中高考数学模拟试卷 （理科）（年黑龙江省哈师大附中高考数学模拟试卷 （理科）（6 6 月份）月份） 一、选择题（共 12 小题）. 1复数，则复数|z|（ ） A B C D 2若全集UR，集合Ax|ylg（6x），Bx|2 x1，则图中阴影部分表示的集合 是（ ） A（2，3） B（1，0 C0，6） D（，0 3已知数列an是等比数列，a312，a5a66a11，则a9（ ） A24 B48 C192 D768 4ABC中，D是BC边的中点，则（ ） A0 B C D 5 为贯彻落实健康第一的指导思想， 切实加强学校体育工作， 促进学生积极参加体育锻炼，
2、 养成良好的锻炼习惯， 提高体质健康水平 某市抽调三所中学进行中学生体育达标测试， 现简称为A校、B校、C校现对本次测试进行调查统计，得到测试成绩排在前 200 名学 生层次分布的饼状图、A校前 200 名学生的分布条形图， 则下列结论不一定正确的是 （ ） A测试成绩前 200 名学生中A校人数超过C校人数的 2 倍 B测试成绩前 100 名学生中A校人数超过一半以上 C测试成绩前 151200 名学生中C校人数最多 33 人 D测试成绩前 51100 名学生中A校人数多于B校人数 6著名数学家华罗庚先生曾说过： “数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好， 隔裂分家万事休”在数学的学
3、习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也 经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如：函数的图象大致是 （ ） A B C D 7运行如图所示的程序框图，若输出S的值为 35，则判断框中可以填（ ） Ai4？ Bi5？ Ci6？ Di7？ 8已知f（x）是定义在 R 上单调递增的奇函数，若， ，则a，b，c的大小关系为（ ） Aabc Bbca Ccba Dcab 9已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，若PA平面ABC，PABC2，sin BAC，则球O的表面积为（ ） A B C80 D40 10设函数，已知f（x）在0，2有且仅有 5 个零点，则 的取值范围是（ ） A
4、 B C D 11已知双曲线E：1（a0，b0）的右焦点为F2，A和B为双曲线上关于原点 对称的两点，且A在第一象限连结AF2并延长交E于P，连结BF2，PB，若BF2P是以 BF2P为直角的等腰直角三角形，则双曲线E的离心率为（ ） A B C D 12已知数列an中的前n项和为Sn，Sn（1） na n+2n6，且 对任意nN *恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A B2，） C D 二、填空题（共 4 小题）. 13已知函数，若曲线yf（x）在（1，f（1）处的切线与直线 2x y+10 平行，则a 14设，则二项式的展开式中x 2的系数是 15如图是古希腊数学家希波克拉底所研究的弓月
5、形的一种，此图是以BC，AB，AC为直径 的三个半圆组成，BC2，点A在弧上，若在整个图形中随机取一点，点取自阴影部 分的概率是P，则P的最大值是 16棱长为 1 的正方体ABCDA1B1C1D1内部有一圆柱OO1，此圆柱恰好以直线AC1为轴有下 列命题： 圆柱OO1的母线与正方体ABCDA1B1C1D1所有的棱所成的角都相等； 正方体ABCDA1B1C1D1所有的面与圆柱OO1的底面所成的角都相等； 在正方体ABCDA1B1C1D1内作与圆柱OO1底面平行的截面， 则截面的面积； 圆柱OO1侧面积的最大值为 其中正确的命题是 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
6、（一）必考题：共 60 分. 17图中组合体由一个棱长为 2 的正方体ABCDA1B1C1D1和一个四棱锥SABCD组成（SD 平面ABCD，S，D，D1三点共线，SD2），E是DD1中点 （）求证：SB平面EA1C1； （）点F在棱SB上靠近S的三等分点，求直线EF与平面EA1C1所成角的正弦值 18已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ABC只能满足以下三个条件 中的两个： ； 函数f（x）Psin（xA）（P、0）的部分图象如图所示： ，满足 （）请指出ABC满足哪两个条件，并证明； （）若 sinBsinC，点D为线段AB上的点，且CD2，求ACD面积的最大值 19 某
7、高中数学建模兴趣小组的同学为了研究所在地区男高中生的身高与体重的关系， 从若 干个高中男学生中抽取了 1000 个样本，得到如下数据 数据一：身高在170，180）（单位：cm）的体重频数统计 体重（kg） 50， 55） 55， 60） 60， 65） 65， 70） 70， 75） 75， 80） 80， 85） 85， 90） 人数 20 60 100 100 80 20 10 10 数据二：身高所在的区间含样本的个数及部分数据 身高x（cm） 140，150） 150，160） 160170） 170180） 180190） 平均体重y（kg） 45 53.6 60 75 （）依据数据
8、一将下面男高中生身高在170180）（单位：cm）体重的频率分布直方 图补充完整，并利用频率分布直方图估计身高在170180）（单位：cm）的中学生的平 均体重；（保留小数点后一位） （）依据数据一、二，计算身高（取值为区间中点）和体重的相关系数约为 0.99，能 否用线性回归直线来刻画中学生身高与体重的相关关系，请说明理由；若能，求出该回 归直线方程； （）说明残差平方和或相关指数R 2与线性回归模型拟合效果之间关系（只需写出结 论，不需要计算） 参考公式： ， 参考数据：（1）14545+15553.6+16560+1857538608； （2）145 2+1552+1652+1752+1
9、852516521000 （3）663175116025，664175116200，665175116375 （4）728165120120 20已知动圆M经过点N（0，2），且动圆M被x轴截得的弦长为 4，记圆心M的轨迹为曲 线C （）求曲线C的标准方程； （）过x轴下方一点P（m，n）向曲线C作切线，切点记作A、B，直线OP交曲线C于 点Q，若直线AB、OP的斜率乘积为2，点Q在以AB为直径的圆上，求点P的坐标 21已知函数f（x）e x+ex，其导函数为 f（x） （）讨论函数g（x）在定义域内的单调性； （）已知a1，设函数h（x）f（x）（2+ax 2） 证明：函数h（x）在（0，+
10、）上存在唯一极值点x0； 在的条件下，当时，求h（x0）的范围 选考题：共 10 分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数， 为直线l的 倾斜角），以直角坐标系的原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2 （）写出直线l和曲线C的普通方程； （）若点P（1，0），直线l与曲线C交于不同的两点A，B，且|PA|PB|PA| |PB|，求 tan 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数f（x）x 22x+3 （）若a，bR +，且 a+b2，求f（a）+f（b）的最小值； （）若|xa|2，求证：|f（x）f（a）|4
11、（|a|+2） 参考答案 一、选择题（共 12 小题）. 1复数，则复数|z|（ ） A B C D 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解 解：， |z| 故选：B 2若全集UR，集合Ax|ylg（6x），Bx|2 x1，则图中阴影部分表示的集合 是（ ） A（2，3） B（1，0 C0，6） D（，0 【分析】求出集合A，B，从而求出UB，图中阴影部分表示的集合为A（UB），由此能 求出结果 解：全集UR，集合Ax|ylg（6x）x|x6， Bx|2 x1x|x6， 图中阴影部分表示的集合为： 故选：D 3已知数列an是等比数列，a312，a5a66a11，则a9
12、（ ） A24 B48 C192 D768 【分析】设等比数列的公比为q，由已知利用等比数列的通项公式可得a16q，q 32， 进而即可求解 解：设等比数列的公比为q， 由于a312，可得：a1q 212， 代入可得：q 32， 故选：B 4ABC中，D是BC边的中点，则（ ） A0 B C D 【分析】根据D是BC的中点即可得出，然后根据 进行数量积的运算即可求出答案 解：如图，D是BC的中点， 故选：C 5 为贯彻落实健康第一的指导思想， 切实加强学校体育工作， 促进学生积极参加体育锻炼， 养成良好的锻炼习惯， 提高体质健康水平 某市抽调三所中学进行中学生体育达标测试， 现简称为A校、B校
13、、C校现对本次测试进行调查统计，得到测试成绩排在前 200 名学 生层次分布的饼状图、A校前 200 名学生的分布条形图， 则下列结论不一定正确的是 （ ） A测试成绩前 200 名学生中A校人数超过C校人数的 2 倍 B测试成绩前 100 名学生中A校人数超过一半以上 C测试成绩前 151200 名学生中C校人数最多 33 人 D测试成绩前 51100 名学生中A校人数多于B校人数 【分析】A，由饼状图知测试成绩前 200 名学生中A校人数超过C校人数的 2 倍； B，由条形图知测试成绩前 100 名学生中，A校人数超过一半以上； C，由条形图知测试成绩前 151200 名学生中，C校人数最
14、多为 33 人； D，由条形图知测试成绩前 51100 名学生中，A校人数不一定比B校多 解：对于A，由饼状图知，测试成绩前 200 名学生中A校占 46%，C校占 20%， 所以前 200 名学生中A校人数超过C校人数的 2 倍，选项A正确； 所以A校人数超过一半以上，选项B正确； 所以C校人数最多为 33 人，选项C正确； 所以B校人数最多也可以是 25 人，A校人数不一定比B校多，选项D错误 故选：D 6著名数学家华罗庚先生曾说过： “数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好， 隔裂分家万事休”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也 经常用函数的解析式来琢磨函数
15、的图象的特征，如：函数的图象大致是 （ ） A B C D 【分析】根据题意，分析函数的值域排除C，分析函数的变化趋势排除A、B；即可得答 案 解：根据题意，其定义域为x|x0， 当x0 时，x 20，|ex1|0，则有 f（x）4，必有f（x）0，函数的图象在x轴 上方，排除C， 当x+时，f（x）0，排除B， 故选：D 7运行如图所示的程序框图，若输出S的值为 35，则判断框中可以填（ ） Ai4？ Bi5？ Ci6？ Di7？ 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 解：模拟程序的运行，
16、可得： i0，n0，S0 不满足判断框内的条件，执行循环体，i8，n3，S4 不满足判断框内的条件，执行循环体，i4，n10，S20 由题意，此时满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为 35 故选：B 8已知f（x）是定义在 R 上单调递增的奇函数，若， ，则a，b，c的大小关系为（ ） Aabc Bbca Ccba Dcab 【分析】 根据题意， 由对数的性质可得bf（） ， 由对数、 指数的性质判断、 和3 的大小，结合函数的单调性，可得答案 解：根据题意，f（）， 02 01 227， 故选：C 9已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，若PA平面ABC，PABC2，sin B
17、AC，则球O的表面积为（ ） A B C80 D40 【分析】首先利用正弦定理求出ABC的外接圆的半径，进一步求出三棱锥PABC的外 接球的球心，最后利用勾股定理求出外接球的半径和球的表面积 解：如图所示： 则ABC的外接圆的半径满足， 三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面，设外接球的半径为r， 所以球O的表面积为 故选：D 10设函数，已知f（x）在0，2有且仅有 5 个零点，则 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】结合正弦函数的五点作图法即可求解 解：f（x）在0，2有且仅有 5 个零点， 令 x+5 可得x2，解可得， 故 故选：A 11已知双曲线E：1（a0，b0）的右焦点为
18、F2，A和B为双曲线上关于原点 对称的两点，且A在第一象限连结AF2并延长交E于P，连结BF2，PB，若BF2P是以 BF2P为直角的等腰直角三角形，则双曲线E的离心率为（ ） A B C D 【分析】 设双曲线的半焦距为c， |BF2|PF2|t， 首先判断四边形AF1BF2为平行四边形， 可得F1AF290， 连接PF1， 运用双曲线的定义， 在直角三角形AF1F2和直角三角形PAF1 中，运用勾股定理，化简可得a，c的关系式，即可得到所求离心率 解：设双曲线的半焦距为c，|BF2|PF2|t， 由|OA|OB|，|OF1|OF2|，可得四边形AF7BF2为平行四边形， 连接PF1，由双曲
19、线的定义可得|PF1|PF2|+2at+2a， 在直角三角形AF1F8中，可得t 2+（t2a）24c2， 化为t3a，代入可得 9a 2+a64c2， 故选：C 12已知数列an中的前n项和为Sn，Sn（1） na n+2n6，且 对任意nN *恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A B2，） C D 【分析】先由题设条件推导出数列an相邻两项之间的关系式，然后求出通项公式，再 根据对任意nN *恒成立，求得 的取值范围即可 解：Sn（1） na n+2n6， Sn+4（1） n+1a n+1+2（n+1）6， （4）当n2k1，kN *时，有 a2ka2k+a7k1（） 2k+5，即 a2
20、k1（） k2； 整理得：a7k6（） k 当n8k1，kN *时，有 a2k1+（） k7+0 恒成立，即 2（ ） k恒 成立2； 综合以上，知：2 故选：B 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填写在答题纸相应位置上 13已知函数，若曲线yf（x）在（1，f（1）处的切线与直线 2x y+10 平行，则a 【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件，解方程可得a的 值 解：函数的导数为f（x）2ax， 可得曲线yf（x）在（6，f（1）处的切线的斜率为k12a， 解得a， 故答案为： 14设，则二项式的展开式中x 2的系数是 10 【分析
21、】先利用微积分基本定理求出m的值，然后写出展开式的通项，进而求出x 2的系 数 解： 故二项式为，其展开式的通项为：， 故答案为：10 15如图是古希腊数学家希波克拉底所研究的弓月形的一种，此图是以BC，AB，AC为直径 的三个半圆组成，BC2，点A在弧上，若在整个图形中随机取一点，点取自阴影部 分的概率是P，则P的最大值是 【分析】设两个小圆的半径分别是r1，r2，大圆半径为R，根据几何概型结合均值不等式 计算得到答案即可 解：设两个小圆的半径分别是r1，r2，大圆半径为R1，则（2R） 2（2r 1） 2+（2r 2） 2， 即R 2 +1；根据几何概型：P ， 故答案为： 16棱长为 1
22、 的正方体ABCDA1B1C1D1内部有一圆柱OO1，此圆柱恰好以直线AC1为轴有下 列命题： 圆柱OO1的母线与正方体ABCDA1B1C1D1所有的棱所成的角都相等； 正方体ABCDA1B1C1D1所有的面与圆柱OO1的底面所成的角都相等； 在正方体ABCDA1B1C1D1内作与圆柱OO1底面平行的截面， 则截面的面积； 圆柱OO1侧面积的最大值为 其中正确的命题是 【分析】 通过计算AC1与过A的三条棱所成角的大小判断，根据各平面法向量夹角判断 ，根据计算最大截面面积判断，设圆柱底面半径为r，根据相似比计算圆柱高，代入 侧面积公式判断 解：对于，连接A1C1，则 cosA1AC1， 同理可
23、得 cosBAC2，cosDAC1， 又圆柱OO1的母线与AC8平行，正方体的其他棱都与AB，AD，AA1中的其中一条平行， 对于，连接BD，A1B，A1D，则可知AC1平面A1BD， 为平面A1BD的法向量，为正方体上下面的法向量，为正方体左右平面的法 向量，为正方体前后面的法向量，由可知|cos，|cos， |cos，|， 对于，若平行圆柱底面的截面为正六边形EFGHKL，其中正六边形的各顶点均为正方体 棱的中点， 对于，当圆柱侧面积最大时，圆柱底面圆周上必有一点M在AB1上，连接OM，则OM AC1且OM为圆柱底面半径， AOr，故圆柱的高为AC12AO2r， 故答案为： 三、解答题：共
24、 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共 60 分. 17图中组合体由一个棱长为 2 的正方体ABCDA1B1C1D1和一个四棱锥SABCD组成（SD 平面ABCD，S，D，D1三点共线，SD2），E是DD1中点 （）求证：SB平面EA1C1； （）点F在棱SB上靠近S的三等分点，求直线EF与平面EA1C1所成角的正弦值 【分析】（）由已知证明四边形SDB1B是平行四边形，得SBDB1，由平行公理得SB EO，再由直线与平面平行的判定可得SB平面EA1C1； （）以D1为坐标原点，分别以D1A1、D1C1、D1D所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐 标系，求出与平面
25、EA1C1的一个法向量，再由两向量所成角的余弦值可得直线EF与平 面EA1C1所成角的正弦值 【解答】（）证明：连接DB1，连接D1B1 交A1C2 于O，则D1OOB1 D1EED，EODB1， SB平面EA5C1，EO平面EA1C1， （）解：以D1为坐标原点，分别以D1A1、D3C1、D1D所在直线为x、y、z轴建立空间直 角坐标系 ， 由，取x1，得 则 sin|cos| 直线EF与平面EA1C1所成角的正弦值为 18已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ABC只能满足以下三个条件 中的两个： ； 函数f（x）Psin（xA）（P、0）的部分图象如图所示： ，满足 （）
26、请指出ABC满足哪两个条件，并证明； （）若 sinBsinC，点D为线段AB上的点，且CD2，求ACD面积的最大值 【分析】（）首先利用三角函数关系式的变换和正弦定理的应用求出B的值，进一步 利用三角函数的关系式和正弦型函数的性质的应用求出结果 （）利用余弦定理和三角形面积公式和基本不等式的应用求出最值 解：（）满足两个条件， 证明如下：， 所以，解得 函数f（x）Psin（xA）（P、0）的部分图象如图所示： 得到：P7，故T， 所以f（x）2sin（2xA） 由于A（0，）， 所以，解得A ，满足 所以满足两个条件 所以bc，整理得BC 由于A，C， 所以， 此时bAD 此时的最大值为
27、19 某高中数学建模兴趣小组的同学为了研究所在地区男高中生的身高与体重的关系， 从若 干个高中男学生中抽取了 1000 个样本，得到如下数据 数据一：身高在170，180）（单位：cm）的体重频数统计 体重（kg） 50， 55） 55， 60） 60， 65） 65， 70） 70， 75） 75， 80） 80， 85） 85， 90） 人数 20 60 100 100 80 20 10 10 数据二：身高所在的区间含样本的个数及部分数据 身高x（cm） 140，150） 150，160） 160170） 170180） 180190） 平均体重y（kg） 45 53.6 60 75 （）
28、依据数据一将下面男高中生身高在170180）（单位：cm）体重的频率分布直方 图补充完整，并利用频率分布直方图估计身高在170180）（单位：cm）的中学生的平 均体重；（保留小数点后一位） （）依据数据一、二，计算身高（取值为区间中点）和体重的相关系数约为 0.99，能 否用线性回归直线来刻画中学生身高与体重的相关关系，请说明理由；若能，求出该回 归直线方程； （）说明残差平方和或相关指数R 2与线性回归模型拟合效果之间关系（只需写出结 论，不需要计算） 参考公式： ， 参考数据：（1）14545+15553.6+16560+1857538608； （2）145 2+1552+1652+17
29、52+1852516521000 （3）663175116025，664175116200，665175116375 （4）728165120120 【分析】（1）计算总人数得到频率，补充频率直方图并计算平均值得到答案 （2）根据 r0.991 得到线性相关很强，再利用回归方程公式计算得到答案 （3）直接根据残差平方和或相关指数 R 2 的定义得到答案 解：（1）身高在170，180）的总人数为： 20+60+100+100+80+20+10+10400， ， ， 52.56.05+57.50.15+62.50.25+67.55.25+72.50.2 （2）因为 r0.998，线性相关很强，故
30、可以用线性回归直线来 ， ， （4）残差平方和越小或相关指数 R 2 越接近于 1，线性回归模型拟合效果越好 20已知动圆M经过点N（0，2），且动圆M被x轴截得的弦长为 4，记圆心M的轨迹为曲 线C （）求曲线C的标准方程； （）过x轴下方一点P（m，n）向曲线C作切线，切点记作A、B，直线OP交曲线C于 点Q，若直线AB、OP的斜率乘积为2，点Q在以AB为直径的圆上，求点P的坐标 【分析】（）设M（x，y），根据题设条件建立关于x，y的关系式，化简整理即可求 得曲线C的方程； （） 求得切线方程为， 将P（m，n） 代入可得， 由此可得，又，结合题意建立方程，解出即可 解：（）设M（x，y
31、），依题意，y 2+23x2+（y2）22， 化简可得，曲线C的标准方程为x 25y； 又由曲线C的方程可得，则切线方程为， 设A（x1，y2），B（x2，y2），则， ，解得n4， 因此，点P到x轴的距离为 4 21已知函数f（x）e x+ex，其导函数为 f（x） （）讨论函数g（x）在定义域内的单调性； （）已知a1，设函数h（x）f（x）（2+ax 2） 证明：函数h（x）在（0，+）上存在唯一极值点x0； 在的条件下，当时，求h（x0）的范围 【分析】（）依题意，求得g（x）的解析式，求导，进而得出其单调性情况； （）求得h（x）的解析式，求导可得h（x）e xex2ax，令 （x）
32、exe x2ax，再次求导可得即可得证； 依题意，2a（2，ee 1），0 x 01，再利用导 数求其取值范围即可 解：（）f（x）e x+ex， f （x） e x e x ，g（x） （x 0 ） ， 则 ， 当x0 时，p（x）6；当x0 时，p（x）0， g（x）的减区间为（，0），增区间为（0，+）； 令 （x）e xex2ax，则 （x）ex+ex5a， 由x0，e x1， ， h（x）在（0，m）递减，在（m，+）递增， （e m+em）（emem2m）3， 从而有，h（x）在（0，x0）递减，h（x）在（x0，+）递增，函数h（x）在（0，+ ）上存在唯一极值点x0； ，4a（
33、2，ee 1）， 在（5，+）递增，g（1）ee 1， ， k（x）在（0，1）上递减， h（x0）的取值范围为 选考题：共 10 分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数， 为直线l的 倾斜角），以直角坐标系的原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2 （）写出直线l和曲线C的普通方程； （）若点P（1，0），直线l与曲线C交于不同的两点A，B，且|PA|PB|PA| |PB|，求 tan 【分析】（）直接利用转换关系，把直线的参数方程转换为普通方程，进一步把曲线 的极坐标方程转换为普通方程 （）利用一元二次方程
34、根和系数关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结 果 解：（）直线l的参数方程为（t为参数， 为直线l的倾斜角）， 当 ，转换为直角坐标方程为x1 曲线C的极坐标方程为 2 ，根据转换为直角坐标方程为 得到（1+sin 2）t2+4sint10， 由于|PA|PB|PA|PB|， 解得， 故 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数f（x）x 22x+3 （）若a，bR +，且 a+b2，求f（a）+f（b）的最小值； （）若|xa|2，求证：|f（x）f（a）|4（|a|+2） 【分析】（）根据基本不等式即可求出最小值， （）根据绝对值三角不等式即可证明 【解答】（）解：因为函数f（x）x 22x+3，a，bR+，且 a+b5， 所以f（a）+f（b）a 2+b22（a+b）x+6（a+b）22ab+862ab62 4， 所以f（a）+f（b）的最小值为 4 所以|f（x）f（a）|（x 2a2）2（xa）|xa|x+a2|2|x+a5|2| （xa）+2a2|2|xa|+4|a|+6， 所以|f（x）f（a）|4（|a|+2）